INTRODUCTION A LA TOPOLOGIE CALCUL DIFFERENTIEL LM350 Universite Pierre-et-Marie Curie, Paris VI

INTRODUCTION A LA TOPOLOGIE CALCUL DIFFERENTIEL

LM350

Universite Pierre-et-Marie Curie, Paris VI

Catherine DOSS

9 d´ ecembre 2010

2

Chapitre 1

Espace m´ etrique

1.1 D´ efinition

Definition 1.1.1 Une distance sur un espace non vide E est une application d de E dans R⁺ v´erifiant :

1)d(x, y) = d(y, x)∀x, y ∈E×E 2)d(x, y) = 0⇔x=y

3)d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z)∀x, y, z ∈E

Definition 1.1.2 Un espace m´etrique (E, d)est un espaceE muni d’une telle application.

On remarque que la propri´et´e 3 entraine : |d(x, z)−d(y, z)| ≤ |d(x, y)|∀x, y, z ∈E

Exemple :

Sur tout espace E on d´efinit la distance grossi`ere par : d(x, y) = 1⇔x6=y,d(x, y) = 0⇔x=y .

Sur Rⁿ on peut d´efinir les distances : d₁(x, y) = P

i=1,n|x_i−y_i| d₂(x, y) = {P

i=1,n|x_i−y_i|²}^1/2 qui est la distance euclidienne.

3

4 CHAPITRE 1. ESPACE M ´ETRIQUE d₃(x, y) = max_i=1,n|x_i−y_i|

1.2 Topologie des espaces m´ etriques

Definition 1.2.1 Soit (E, d) un espace m´etrique, x ∈ E, r > 0; les boules ouvertes BE(x, r) et ferm´ees B¯E(x, r) de centre x et de rayon r sont d´efinies par :

BE(x, r) = {y∈E, d(x, y)< r}

B¯_E(x, r) = {y∈E, d(x, y)≤r}

Exercice :

Dessiner les boules B_i(0,1) de R² pour chacune des distances d₁, d₂, d₃.

Definition 1.2.2 Une partie A de E est born´ee si et seulement si ∃x, x ∈E, r > 0, A ⊂ B(x, r).

Definition 1.2.3 Ouvert, ferm´e, voisinage :

1) Une partie A de E est ouverte ⇔ ∀x∈E,∃r >0;B(x, r)⊂A 2) Une partie A de E est ferm´ee ⇔A^c=E−A est ouvert.

3)Une partie A de E est un voisinage d’un point x de E ⇔ ∃r >0;B(x, r)⊂A.

L’ensemble des ouverts de E d´efinissent une topologie surE.

Proposition 1.2.1 1)L’espace E tout entier et l’ensemble vide sont des ouverts.

2)Toute r´eunion quelconque d’ouverts est ouverte.

1.2. TOPOLOGIE DES ESPACES M ´ETRIQUES 5 3)Toute intersection finie d’ouverts est ouverte.

On a des r´esultats analogues pour les ferm´es par passage au compl´ementaire en remplacant union par intersection et intersection par union.

Contre-exemple : 1)T

{]−1/n,1/n[, n∈N}={0}et donc n’est pas ouvert.

2))S

{]0,1−1/n[, n ∈N}= [0,1[ qui n’est ni ouvert ni ferm´e.

Preuve :

2)Soit O r´eunion des ouverts O_i alors : ∀x ∈ O;O ⊂ O_i ⇒ ∃i, x ∈ O_i et comme O_i est ouvert :∃r_i;B(x, r_i)⊂O_i ⊂O et doncO est ouvert.

3)SoitO intersection des n ouvertsO_i;i∈[1, n] : alors∀x∈0 :x∈0_i,∀i∈[1, n] et comme chaqueO_i est ouvert :∃r_i, x∈B(x, r_i). Si on Choisitr = minr_i on a alors B(x, r)⊂O et donc O est ouvert.

Proposition 1.2.2 1)Si A ⊂ E, il existe un plus grand ouvert contenu dans A appel´e int´erieur de A ( not´e A^◦) et un plus petit ferm´e contenant A appel´e adh´erence de A (not´e A). L’ensemble¯ A¯−A^◦ not´e ∂A) d´efinit la fronti`ere de A. On a donc A^◦ ⊂A ⊂A¯

2)A ouvert ⇔A=A^◦. A ferm´e ⇔A= ¯A.

Preuve

1)Soit A^◦ l’ensemble des points de E dont A est un voisinage : ∀x ∈ A^◦,∃B(x, r_x) ⊂ A donc S

x∈A^◦B(x, r_x) est un ouvert contenu dans Aet il contient tout ouvert inclus dans A donc c’est le plus grand.

6 CHAPITRE 1. ESPACE M ´ETRIQUE De mˆeme ¯A est l’intersection de tous les ferm´es contenantA.

2)Cons´equence directe du 1).

Exercice : Q=R−Q=R.

Definition 1.2.4 Point interieur,adh´erent,fronti´ere : 1)x est point int´erieur A ⇔ {∃r >0, B(x, r)⊂A}.

2)x est point adh´erent A⇔ {∀r >0,{B(x, r)T

A} 6=∅}.

3)x est point fronti`ere de A⇔ {∀r >0, B(x, r)T

A6=∅,{E−B(x, r)}T

A6=∅}.

4)A est dense dans A⇔A¯=E.

Beaucoup de propri´et´es topologiques peuvent se traduire par des propri´et´es des suites.

Definition 1.2.5 Soit (E, d) un espace m´etrique, (x_n) une suite d’´el´ements de E. On dit que la suite (x_n) est convergente et on note l sa limite si et seulement si :

∀ >0,∃N ∈N,∀n > N;d(l, x_n)≤.

Proposition 1.2.3 Toute suite convergente admet une et une seule limite.

Preuve

Supposons par l’absurde que la suite convergente (x_n) admette deux limites l₁ etl₂. Pour chacun des limites li; i= 1,2 on a :

∀ >0,∃N_i ∈N,∀n > N_i;d(l_i, x_n)≤

Soit N₀ = sup (N₁, N₂) on a alors par l’in´egalit´e triangulaire :

∀ >0,∀n > N₀ on a : d(l₁, l₂)≤d(l₁, x_n) +d(x_n, l₂)⇔d(l₁, l₂)≤2

1.3. SUITES DE CAUCHY-ESPACES M ´ETRIQUES COMPLETS 7 d’o`u ∀ >0;d(l₁, l₂)≤, soit d(l₁, l₂) = 0 et donc l₁ =l₂.

Proposition 1.2.4 1)L’´el´ement x est dans l’adh´erence de la partie A si et seulement si x est limite d’une suite (x_n) de A.

2)La partie A est fermee si et seulement si pour toute suite x_n convergente d’´el´ements de A, la limite de la suite (xn) appartient a A.

Preuve

1)D’apr`es la d´efinition de l’adh´erence, si x est dans ¯A on peut construire une suite (x_n) avecx_n ∈B(x,1/n)T

A. Pour tout n, d(x, x_n)<1/n, x est donc limite de la suite (x_n) de points de A.

2)D´ecoule du r´esultat pr´ec´edent puisque A est ferm´e et coincide donc avec son adh´erence.

1.3 Suites de Cauchy-Espaces m´ etriques complets

Definition 1.3.1 Soit (E, d) un espace m´etrique, une suite (x_n) de points de E est une suite de Cauchy si et seulement :

{∀ >0,∃N ∈N^∗,∀(p, q)∈N², p≥N, q≥N;d(x_p, x_q)≤} ⇔limN→∞sup_p≥N,q≥Nd(x_p, x_q) = 0.

Toute suiite convergente est de Cauchy, mais la r´eciproque peut ne pas ˆetre v´erifi´ee comme on peut le constater sur le contre-exemple suivant :

Contre-exemple : E =]0,1[;x_n= 2⁻ⁿ.

Definition 1.3.2 Un espace m´etrique (E, d) est complet si et seulement si toute suite d’´el´ements de E converge dans E.

8 CHAPITRE 1. ESPACE M ´ETRIQUE Exemple et contre-exemple :

1)Les espaces (R^N, d_i), i= 1,2,∞ d´efinis pr´ec´edemment sont complets.

2)(Q, d₁) est non complet puisque limn→∞Pk=n

k=01/k! =e avec e non rationnel.

Proposition 1.3.1 Soit (E, d) un espace metrique complet. Tout ferm´e F inclu dans E est complet.

Preuve

Toute suite de Cauchy deF est de Cauchy dansE donc convergente et sa limite appartient a F puisque celui ci est ferm´e.

Proposition 1.3.2 Soit (E, d) un espace m´etrique complet et F_n une suite d´ecroissante de ferm´es non vides de diam`etre tendant vers 0 alors l’intersection des Fn est non vide.

Preuve

Soit dn le diam`etre de Fn, dn = max{d(x, y),(x, y) ∈ Fn2} et (xn) une suite de points de Fn. Comme la suite des Fn est d´ecroissante ∀(p, q)∈ N², p ≥N, q ≥ N;d(xp, xq)≤ dn et comme d_n → 0 (x_n) est une suite de Cauchy dans E complet, soit x sa limite. Pour tout n,x est aussi limite de la suite (x_p), p≥n deF_n qui est ferm´e. Donc x∈T

F_n etT F_n est non vide.

1.4 Points fixes de contraction dans les espaces m´ etriques complets

Le th´eor`eme suivant est tr`es utile dans beaucoup de situations. Il sert en particulier `a d´emontrer les th´eor`emes de Cauchy-Lischitz d’existence et d’unicit´e de solutions d’´equations

1.5. COMPACIT ´E 9 diff´erentielles, le th´eoreme d’inversion locale. Il illustre parfaitement la notion de compl´etude.

Theorem 1.4.1 Soit E un espace m´etrique complet et f une application contractante de E dans E (k-lipschitzienne de rapport k <1). Alors f admet un unique point fixe x.

De plus x est la limite de la suite definie par recurrence par x_n+1 = f(x_n) et de premier terme x₀ quelconque dans E.

Preuve

1)Si f admet deux points fixes x1, x2 alors f(x1) = x1, f(x2) = x2. Par cons´equent comme f est k-lipschitzienne d(x₁, x₂) = d(f(x₁), f(x₂)) < kd(x₁, x₂) avec k < 1 ce qui entraine d(x₁, x₂) = 0 soit x₁ =x₂.

2)Soit (x_n) la suite d´efinie par r´ecurrence. En utilisant n fois la propri´et´e k-lipschitzienne def on obtient :

d(x_n+1, x_n) =d(f(x_n), f(xn−1))≤kd(x_n, xn−1)≤ · · · ≤kⁿd(x₁, x₀).

On a donc par l’in´egalit´e triangulaire pour tout p≥q≥N :

d(xp, xq)≤d(xp, xp+1) +d(xp+1, xp+2) +· · ·+d(xq−1, xq)≤(k^p+k^p+1+· · ·+k^q−1)d(x1, x0)≤

k^N

1−kd(x₁, x₀).

Commek∈]0,1[, k^N →0. Donc la suitex_n est de Cauchy dansE complet. Elle admet une limite x qui v´erifie puisque f est continue : limx_n+1 = limf(x_n)soit x=f(x).

1.5 Compacit´ e

Definition 1.5.1 On appelle sous-suite extraite de la suite (x_n) toute suite de la forme (x_ϕn) ou ϕ est une application strictement croissante de N dans N.

Definition 1.5.2 Soit (E, d) un espace m´etrique et (x_n) une suite de E. x est une valeur d’adh´erence de la suite (x_n) si et seulement si l’une des trois propri´et´es ´equivalentes sui-

10 CHAPITRE 1. ESPACE M ´ETRIQUE vantes est v´erifi´ee :

1)(x_n) admet une sous suite convergente.

2)∀ >0,∃N,∀n > N :d(x_n, x)< .

3)Pour tout >0 l’ensemble des entiers n tel que d(x_n, x)< est infini.

Preuve

1 ⇒ 2 : soit x_nk la sous suite convergente de limite x, n_k → ∞ et par cons´equent

∀ >0,∀N,∃n > N :d(x_n, x)<

2⇒1 : en choisissant = 1/N on construit une suite n_N strictement croissante telle que x_nN converge vers x.

13 : ´evident.

Exemple : la suite (−1)ⁿ admet les deux valeurs d’adh´erence (−1),(+1).

Definition 1.5.3 L’espace m´etrique(E, d)est compact si et seulement si toute suite d’´el´ements de E admet une sous suite convergent dans E. (Idem pour A partie compacte).

Theorem 1.5.1 Soit (E, d) un espace m´etrique, A est une partie compacte de E si et seulement si de tout recouvrement de A par une famille d’ouverts on peut extraire un sous recouvrement fini.

Preuve : admise

Proposition 1.5.1 Dans un espace m´etrique toute partie compacte est ferm´ee born´ee.

Preuve :

Soit (x_n) une suite de points de A convergent dans E; notons x sa limite. A est compact

1.5. COMPACIT ´E 11 donc (x_n) admet une sous suite qui converge dans A et n´ecessairement vers x; donc x appartient `a A etA est ferm´e.

SupposoneAnon born´e alors le diam`etre deAest infini et il existe deux suites (x_n) et (y_n) deA tel que d(x_n, y_n)→ ∞. Comme A est compact ces deux suites de A admettent deux sous suites (xϕn) et (yϕn) convergeant respectivement vers deux points x ety de A donc : d(x_ϕn, y_ϕn)≤d(x_ϕn, x)+d(x, y)+d(y, y_ϕn)→d(x, y) ce qui contredit le fait qued(x_n, y_n)→

∞.

Proposition 1.5.2 Dans un espace m´etrique compact il y a ´equivalence entre partie ferm´ee et partie compacte..

Preuve :

D’apr`es le proposition pr´ec´edente il suffit de montrer la r´eciproque.

Soit Aferm´e et (x_n) une suite de points deA, comme E est compact (x_n) admet une sous suite qui converge vers un pointx qui appartient n´ecessairement `aA puisqueA est ferm´e.

Donc (x_n) admet une sous suite qui converge dans A ce qu’il fallait montrer.

Proposition 1.5.3 Tout espace m´etrique compact est complet.

Preuve :

Soit (E, d) un espace m´etrique compact et (x_n) une suite de Cauchy de E. Comme E est compact (x_n) admet une valeur d’adh´erence x ∈ E; montrons que la suite (x_n) converge vers x.

Comme (xn) est une suite de Cauchy :

∀ >0,∃N₁ ∈N^∗,∀(p, q)∈N², p≥N₁, q≥N2;d(x_p, x_q)≤/2

et comme x est valeur d’adh´erence ∃N₂ > N₁ :d(x_N2, x)≤/2 et donc on obtient :

∀ >0,∃N₂ ∈N,∀p > N₂d(x_p, x)< d(x_p, x_N2) +d(x_N2, x)≤

12 CHAPITRE 1. ESPACE M ´ETRIQUE ce qui prouve que (x_n) converge versx.

On note que la r´eciproque et fausse puisque R est complet mais non compact.

Theorem 1.5.2 Dans R tout ferm´e born´e est compact.

Preuve :

Soit F un ferm´e born´e de R, puisqueF est born´e,F est inclu dans un intervalle [a, b] que l’on peut supposer ˆetre [0,1]. Soit alors (x_n) une suite de points de [0,1]. Il faut montrer que (x_n) admet une sous suite de Cauchy qui sera par cons´equent convergente puisque R est complet.

Pour tout entier p on d´ecompose l’intervalle [0,1] en 2^p segments de longueur 2^−p : [0,1] =Sk=2^p−1

k=0 I_k^p, I_k^p = [k2^−p,(k+ 1)2^−p].

Pour p=1, l’un au moins des deux intervallesI₁¹, I₂¹ que l’on noteraJ₁ est tel que l’ensemble {n∈N, x_n ∈J₁} est infini.

Pour p=2 J₁ =S

I_k² ou les entiers k sont choisis dans l’ensemble {k ∈ {0,4}, I_k² ⊂ J₁, et comme pr´ec´edemment il existe un entier k ∈ {0,4} tel que l’un des intervalles I₂¹,· · · , I₂⁴ que l’on noteraJ₂ soit tel que l’ensemble {n∈N, x_n∈J₂} est infini.

On construit ainsi par r´ecurrence une suite d´ecroissante d’intervalles ferm´esJ_p de longueur 2−p tel que l’ensemble{n ∈N, xn ∈Jp}soit infini et v´erifiant donc J1 ⊂J2 ⊂ · · · ⊂Jp. Soit n₁ le premier entier k tel que x_k∈J₁,n₂ le premier entier k ≥n₁+ 1 tel que x_k ∈J₂, et ainsi de suite. La suite (x_np) est une sous suite de (x_n) qui v´erifie par construction

∀r, s≥ p, x_ns, x_nr ∈J_p et comme le diam`etre de J<sub>p</sub> est inf´erieur `a 2^−p :d(x_nr, x_ns)≤ 2−p. Donc la suite (x_n) admet une sous suite convergente et sa limite appartient `aF puisque F est ferm´e. F est donc bien compact.

Chapitre 2 Continuit´ e

2.1 Application continue et uniform´ ement continue

Definition 2.1.1 Soit (E₁, d₁),(E₂, d₂) deux espaces m´etriques ; Une application f de E₁ dans E₂ est continue en x∈E₁ si et seulement si :

∀ >0,∃δ >0;d₁(x, y)< δ ⇒d₂(f(x), f(y))<

Exemple :

f :E →R d´efinie parf(x) =d(x, x₀) o`‘u (E, d) est un espace m´etrique, x₀ un point deE.

Proposition 2.1.1 Si f est une application d’un espace m´etrique (E1, d1) dans un espace m´etrique (E₂, d₂), on a les ´equivalences :

1)f est continue sur E₁.

2)L’image reciproque de tout ouvert de E₂ est un ouvert de E₁. 3)L’image reciproque de tout ferm´e de E₂ est un ferm´e de E₁.

4)Pour toute suite(x_n)deE₁ convergeant versxdansE₁, la suitef(x_n)converge versf(x).

Preuve : 1)⇒2) :

13

14 CHAPITRE 2. CONTINUIT ´E Soit O un ouvert de E et x un point quelconque de f⁻¹(O). f(x) = y est un point de l’ensemble O qui est ouvert ; on a par cons´equent l’existence de > 0;B(x, )⊂ O ce qui entraine par la continuit´e de f l’existence de δ > 0,∀x⁰ ∈ B(x, δ) : f(x⁰) ∈ B(f(x), ) = B(y, ) ⊂ O. Par cons´equent B(f(x), δ) ⊂ f⁻¹(O) et f⁻¹(O) est donc bien un ouvert de E1.

2)⇒3) par passage au compl´ementaire.

3)⇒4) par l’absurde :

Soit (x_n) une suite convergente vers x ∈ E₁, si f(x_n) ne converge pas vers f(x) alors :

∃,∀n > N : d₂(f(x_n), f(x)) ≥ . Pour le ferm´e F = E −B(f(x), ) l’image r´eciproque f⁻¹(F) est ferm´ee par hypoth`ese et contient la suitex<sub>n</sub>d’apr`es l’assertion pr´ec´edente, celle ci est donc convergente vers un pointxdef⁻¹(F). On a doncd₂(f(x), f(x))≥ ce qui est absurde.

4)⇒1) par la contrapos´ee :

Supposonsf non continue enx:∃ >0,∀δ >0;∃x_δ :d₁(x_δ, y)< δavecd₂(f(x_δ), f(x))> . En prenant δ_n = _n¹ et x_n =x_δn la suite x_n converge vers x et v´erifie d₂(f(x), f(x))≥ ce qui est la contrapos´ee de l’assertion 4.

Proposition 2.1.2 Soit trois espaces m´etriques (E₁, d₁),(E₂, d₂),(E₃, d₃) et trois applica- tions continues f :E₁ →E₂, g :E₂ →E₃ alors la compos´e g◦f est continue de E₁ →E₃ Preuve : laiss´ee en exercice

Definition 2.1.2 Soit deux espaces m´etriques (E1, d1),(E2, d2). Une application f est uni- formement continue de E₁ dans E₂ si et seulement :

∀ >0,∃δ >0;∀x, y ∈E₁ :d₁(x, y)< δ ⇒d₂(f(x), f(y))<

Exemple :

f d´efinie par f(x) = √

x est uniform´ement continue sur R⁺ mais g d´efinie par g(x) = x²

2.2. CONTINUIT ´E ET COMPACIT ´E 15 est seulement continue.

Definition 2.1.3 Soit deux espaces m´etriques (E₁, d₁),(E₂, d₂) et k un r´eel positif. Une application f est k-lipschitzienne de E₁ dans E₂ si et seulement si :

∀x, y ∈E₁ :d₂(f(x), f(y))< kd₁(x, y)

Proposition 2.1.3 Tout application k-lipschitzienne d’un espace m´etrique dans un autre est uniform´ement continue.

2.2 Continuit´ e et compacit´ e

Proposition 2.2.1 Soit (E₁, d₁) et .(E₂, d₂) deux espaces m´etriques compacts et f une application continue de (E₁, d₁) dans (E₂, d₂).

Si E1 est compact alors f(E1) est une partie compacte de E2

Preuve :

Soit yn une suite de f(E1). Elle d´etermine une suite xn = f⁻¹(yn) de E1. Celui ci ´etant compact on peut en extraire une sous suite x_nk convergeante . Comme f est continue la sous suite y_nk =f(x_nk) est une suite convergeante extraite de la suite y_n ce qui prouve la compacit´e de f(E₁).

corollaire 2.2.1 Si (E, d) est un espacs metrique compact et f une application continue sur E alors f atteind ses bornes sur E.

Preuve :

f(E) est compact donc ferm´e born´e, ses bornes sont donc finies et appartiennent `af(E).

16 CHAPITRE 2. CONTINUIT ´E Theorem 2.2.1 Soit (E₁, d) et(E₂, d) deux espaces metriques et f une application conti- nue de E₁ sur E₂.

Si E₁ est compact alors f est uniformement continue sur E₁.

Preuve : Par l’absurde

Sif est non uniform´ement continue alors :

∃ >0,∃xn, yn :d(xn, yn)< _n¹ etd(f(x), f(y))> . CommeE1est compact on peut extraire des deux suites deux sous suites (x_nk),(y_nk) convergeant dans E₁ et de limite respective x, y. En passant `a la limite dans l’assertion pr´ec´edente on obtientx=yetd(f(x), f(y))>

ce qui est absurde.

2.3 Continuit´ e et connexit´ e

Definition 2.3.1 Un espace m´etrique (E, d) est connexe si et seulement si les seuls sous- ensembles `a la fois ouverts et ferm´es sont lui-mˆeme et l’ensemble vide.

Cons´equence Un espace connexe ne peut ˆetre union disjointe de deux ouverts diff´erents deE et de l’ensemble vide.

Proposition 2.3.1 (E, d) un espaces m´etrique est connexe si et seulement si toute appli- cation continue de E dans {0,1} est constante.

Preuve :

Munissons {0,1} de la topologie grossi`ere pour laquelle tous ses sous ensembles sont `a la fois ouverts et ferm´es. Comme f est continue les images r´eciproques A0, A1 des ensembles {0},{1} sont `a la fois ouvertes et ferm´ees dans l’espace connexe E donc l’une est vide et l’autre E tout entier ; f est donc constante.

2.3. CONTINUIT ´E ET CONNEXIT ´E 17 Definition 2.3.2 Si l’espace E est non connexe il est union disjointe de ses composantes connexes

Definition 2.3.3 Un espace metrique (E, d) est connexe par arc si et seulement si tout couple de points (x₁, x₂) de E peut ˆetre connect´e par un chemin continu :

∀x₁, x₂ ∈E,∃γ ∈C⁰([0,1], E), γ(0) =x₁, γ(1) =x₂

Proposition 2.3.2 Tout espace m´etrique connexe par arc est connexe.

Preuve :

Soit (E, d) connexe par arc, raisonnons par l’absurde et supposonsE non connexe. Il existe alors une fonction continue f deE dans {0,1} non constante et donc un couple de points (x₁, x₂) tels que f(x₁) = 0, f(x₂) = 1. Consid´erons γ un chemin continu reliant x₁ `a x<sub>2</sub> et posons g = f ◦γ. On a g ∈ C<sup>0</sup>([0,1], R), g(0) = 0, g(1) = 1. Par le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires il existe un point t₀ de ]0,1[ tel que g(t₀) = ¹₂ ce qui est impossible car g(t₀) = f(γ(t₀)) ne peut prendre que les valeurs 0 ou 1.

Proposition 2.3.3 Les seuls connexes de R sont les intervalles.

Preuve :

1) Tout intervalle [a, b] est connexe car connexe par arc. Il suffit de consid´erer l’arc d´efini parγ(0) = a, γ(1) =b, γ(t) = tb+ (1−t)a.

2)Il faut prouver que si C est une partie connexe de R alors pour tout u, w de C et tout r´eel v entre u et w alors v ∈ C. Par l’absurde si v /∈ C les deux ouverts suivants U = CT

]− ∞, v[, W = CT

]v,+∞[ forment un recouvrement[ de C par deux ouverts disjoints non vides car u∈U, w ∈W; ce qui est impossible

Proposition 2.3.4 L’image d’un connexe par une application continue est connexe.

18 CHAPITRE 2. CONTINUIT ´E Preuve :

Soit E un connexe, f une application continue sur E et g une application continue de f(E) dans {0,1}. L’application h=g◦f est continue deE connexe dans 0,1 ; elle est par cons´equent constante, donc g est constante d’o`u la connexit´e de f(E).

2.4 Suites de fonctions continues

Definition 2.4.1 Soit f_n une suite de fonctions d´efinies sur un espace m´etrique E. La suite f_n converge uniform´ement vers une fonction f si et seulement si :

∀ >0,∃N,∀n > N∀x∈E :|f_n(x)−f(x)|<

Theorem 2.4.1 Si f_n est une suite de fonctions continues qui converge uniform´ement vers f dans E alors f est continue sur E.

Preuve :

Soit x₀, x∈E par l’in´egalit´e triangulaire on peut ´ecrire :

|f(x)−f(x₀)|<|f(x)−f_n(x)|+|f_n(x)−f_n(x₀)|+|f_n(x₀)−f(x₀)|On majore d’abord le premier et dernier terme par la convergence uniforme :

∀ >0,∃N₀,∀n > N₀∀x∈E :|f_n(x)−f(x)|+|f_n(x₀)−f(x₀)|<

On choisit alors un entier n > N0, par la continuit´e de fn en x0 :

∀ >0,∃δ_n,x0 >0;∀x∈B(x₀, δ) :|f_n(x)−f_n(x₀)|<

En regroupant les r´esultats on obtient :

∀ >0,∀x₀;∀x∈B(x₀, δ) :|f₍x)−f₍x₀)|< d’o`u la continuit´e de f en x₀

Chapitre 3

Espaces de Banach

3.1 D´ efinition

Definition 3.1.1 Soit E un R-espace vectoriel, on appelle norme surE toute application kk:E →R⁺ v´erifiant :

1)kxk= 0⇒x= 0 2)kx+yk ≤ kxk+kyk

On remarque qued(x, y) = kx−yk d´efini une distance sur E.

Exemple :

E =C⁰([a, b], R) peut ˆetre muni des normes : kfk∞=max{|f(t)|, t∈[a, b]} etkfk_p = (Rb

a kf(t)k^p)^1/p,∀p >0.

E =l^∞ l’ensemble des suites (x_n)born´ee peut ˆetre muni de la norme kxk∞= sup_n|x_n|

Definition 3.1.2 SoitEun R-espace vectorielkk₁,kk₂ deux normes surE sont ´equivalentes si et seulement si ∃a, b > 0,∀x∈E :akxk₁ ≤ kxk₂ ≤bkxk₁

Deux normes ´equivalentes d´efinissent la mˆeme topologie.

19

20 CHAPITRE 3. ESPACES DE BANACH Contre-exemple :

Sur E = C⁰([0,1], R),kfk₁ et kfk∞ ne sont pas ´equivalentes comme on le remarque en consid´erant la suite f_n(t) = max (0, n(1−nt) pour laquelle kfk∞=n , kfk₁ = 1/2.

Definition 3.1.3 On appelle espace de Banach tout espace vectoriel norm´e complet.

Proposition 3.1.1 (Rⁿ,kk∞) est un espace de Banach.

Preuve :

Soit (X_n) une suite deRⁿ, pour tout indicei∈[1, n],(X_nⁱ) est une suite deRqui est complet donc elle converge versXⁱ. Ainsi (Xn) converge vers le point de coordonn´ee (X¹,· · ·, Xⁿ).

3.2 Espaces vectoriels norm´ es de dimension finie

Theorem 3.2.1 Les parties compactes de (R^N,kk∞) sont ses parties ferm´ees born´ees.

Preuve :

SiF est un ferm´e born´e deR^N pour la norme kk∞ il existeM >0, F ⊂[−M,+M]^N. Soit (x¹_n,· · · , x^N_n) une suite de F alors pour p fix´e ∀n, x^p_n ∈ [−M,+M] qui est un compact de R. On peut donc en extraire une sous-suite (x_φp(n)) qui v´erifie ∀i, xⁱ_φ

p(n) → x^p. Soit alors x= (x¹,· · · , x^N), x_φ(n) = (x¹_φ

1(n),· · · , x^N_φ

N(n)) on a lim_nkx_φ(n)−xk_∞ = 0.

Theorem 3.2.2 Dans un espace vectoriel norm´´ e de dimension finie toutes les normes sont

´

equivalentes.

Preuve :

Soit N une norme de E montrons qu’elle est ´equivalente la normekk∞ deRⁿ en utilisant

3.3. BANACH ET ESPACE DE FONCTIONS 21 une base {e¹,· · · , eⁿ} deRⁿ.

1)N(x) = N(P

x_ie_i)≤P

|x_i|N(e_i)≤ kxk∞P

N(e_i) = Ckxk∞.

2)Soit S ={x∈Rⁿ,kxk∞ = 1}; S est un ferm´e born´e de Rⁿ donc un compact et d’apr`es 1)N est continue surE car :|N(x)−N(y)| ≤N(x−y)≤Ckx−yk∞, doncN atteint son infimum en x0 ∈S, soit α=N(x0), α >0 et l’on a :

∀x: _kxk^x

∞ ∈S, N(_kxk^x

∞)≥α ce qui entraine N(x)≥ kxk_∞α.

Theorem 3.2.3 Dans un espace vectoriel de dimension finie il y a identit´e entre parties compactes et parties ferm´ees born´ees.

Toute suite born´ee de cet espace admet donc une sous-suite convergente.

Preuve : r´esulte des deux th´eor`eme pr´ec´edents.

Theorem 3.2.4 Rⁿ muni de n’importe quelle norme est un espace de Banach.

3.3 Banach et espace de fonctions

Definition 3.3.1 Soit X un ensemble et E un espace metrique ; B(X, E) est l’ espace vectoriel des applications born´ees de X dans E.

Theorem 3.3.1 Si E est un espace de Banach alors B(X, E) muni de la norme kfk∞ = {supkf(x)k;x∈X}est un espace de Banach.

Preuve :

1)identification de la limite

Soit (f_n) une suite de B(X, E), x ∈ X fix´e. Comme f_n(x) est une suite de Cauchy de E

22 CHAPITRE 3. ESPACES DE BANACH complet , elle converge vers une limite not´ee f(x).

2)f ∈B(X, E).

Soit (f_n) une suite de Cauchy de {B(X, E),k.k∞}.On a donc :

Pour = 1,∃N,∀p, q > N,∀x∈X :kf_p(x)−f_q(x)k∞≤1, en faisant tendre q vers l’infini kfp(x)−f(x)k∞ ≤ 1 ⇒ sup_Xkfp(x)−f(x)k∞ ≤ 1 donc f est bien dans B(X, E) car fp

l’est.

3)(f_n) converge dans{B(X, E,k.k∞} Comme pr´ec´edemment :

∀ >0,∃N,∀p > N∀x∈Xsup_Xkf_p(x)−f(x)k ≤ soit kf_p−fk∞≤.

X est arbitraire ; en prenantX =N par exemple on obtientB(N, E) soit :

Proposition 3.3.1 l^∞(E) l’ensemble des suites born´ees de E muni de la norme uniforme est un espace de Banach.

Theorem 3.3.2 Si X est un ensemble,{C_b⁰(X, E),k.k∞} l’espace des fonctions continues bornees sur X muni de la norme de la convergence uniforme est un espace de Banach.

Preuve :

Soit (f_n) une suite de Cauchy dans {C⁰(X, E),k.k∞}. . La suite (f_n) est donc de Cauchy dans {B(X, E),k.k∞} qui est complet donc la suite (f_n) converge uniform´ement vers une limite f continue puisque la convergence est uniforme.

Contre-exemple :

C_b⁰([a, b], ,k.k₁) o`u la norme k.k₁ est d´efinie par kfk₁ =R∞

0 |f(t)|dt n’est pas complet. On peut v´erifier que la suite (f_n) d´efinie ci-dessous est de Cauchy dansC⁰([−1,1], ,k.k₁) mais ne converge pas dans cet espace..

3.4. S ´ERIES A VALEUR DANS UN BANACH 23







f_n(t) =−1, t∈[−1,−1/n]

f_n(t) =nt, t∈[−1/n,1/n]

f_n(t) = 1, t∈[1/n,1]

Par contre on peut construire un espace de Banach L¹[a, b] dot´e d’une norme prolongeant la norme k.k₁ et dans lequel C⁰([a, b] est dense.

3.4 S´ eries a valeur dans un Banach

Definition 3.4.1 Soit E un espace vectoriel norm´e et P

x_n une s´erie a valeur dans E.

Alors : 1) P

x_n converge si et seulement si :∀ >0∃N,∀n > N :kP

p>nx_pk< . 2) P

x_n converge normalement si et seulement si :∀ >0∃N,∀n > N :P

p>nkx_pk< .

Proposition 3.4.1 Dans un espace de Banach la convergence normale d’une s´erie en- traine sa convergence simple.

Preuve :

Soit S_N =Pn=N

n=1 x_n la s´erie des sommes partiels. Pour prouver sa convergence il suffit de montrer qu’elle est de Cauchy. En effet on a :

kS_p−S_qk ≤ Pn=p

n=q+1x_n ≤Pn=∞

n=q+1kx_nk qui tend bien vers 0 car la s´erie est normalement convergeants.

Proposition 3.4.2 kxnkp = (P

|xn|^p)¹/p d´efini une norme sur l’espace lp des suitesde r´eels convergeant vers 0 `a l’infini.

Preuve :se montre `a l’aide de l’in´egalit´e de Minkowski suivante :

24 CHAPITRE 3. ESPACES DE BANACH Proposition 3.4.3 Soit (a₁,· · · , a_n),(b₁,· · · , b_n) deux vecteurs deRⁿ. On a les in´egalit´es suivantes :

1)Inegalites de Holder ; P|a_ib_i| ≤(P

|a_i|^p)^1/p.(P

|b_i|^q)^1/q,∀p, q >0,1/p+ 1/q= 1 d’ou l’on d´eduit :

2)in´egalit´e de Minkowski :

(P|a_i+b_i|^p)^1/p ≤(|a_i|^p)^1/p+ (|b_i|^p)^1/p,∀p > 0

Proposition 3.4.4 Les espaces suivants sont des espaces de Banach :

l^∞; l’espace des series reelles bornees norme par kx_nk_∞= sup{kx_nk;n ∈N}.

c;l’espace des series reelles de terme general convergent norme par kx_nk_∞ .

c₀; l’espace des series reelles de terme general convergent vers 0 norme par kx_nk_∞ .˙

l^p, ; l’espace des series reelles verifiant kx_nk_p <∞ ou p est un entier strictement positif et norme par kx_nk_p .

Ils sont ordonnes par inclusion suivante : l¹ ⊂l^p ⊂c₀ ⊂c⊂l^∞

Preuve :

l^∞ = B(N, R) est complet d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent et l’on montre facilement que l^p(p≤1), c₀, c sont des sous espaces ferm´es de l^∞.

3.5. ESPACES DES APPLICATIONS LIN ´EAIRES CONTINUES ET BILIN ´EAIRES CONTINUES25

3.5 Espaces des applications lin´ eaires continues et bi- lin´ eaires continues

3.5.1 Applications lineaires continues

Theorem 3.5.1 Soit E et F deux espaces vectoriels norm´es et f dans l’espace L(E, F) des applications lin´eaires de E dans F. On a les ´equivalences suivantes :

1) f est lin´eaire continue (f ∈L_c(E, F)) 2)f est continue en un point.

3)f est born´ee sur la boule unit´e ferm´ee de l’espace E.

4)∃M > 0,kf(x)k_F ≤Mkxk_E. 5)f est lipschitzienne dans E.

Preuve :

1)⇒2) de facon ´evidente 2)⇒3)

Si f est continue en x0,∃r > 0∀x ∈ B(x0, r),kf(x)−f(x0)k ≤ 1, si u ∈ BE(0,1) : x=x₀+ru ∈B(x₀, r) et l’on a : kf(x)−f(x₀)k=rkf(u)k ≤1 etf est donc bien born´ee sur la boule unit´e ferm´ee.

3)⇒4)

Commef est born´ee sur la boule unit´e ferm´ee ∃M >0∀x∈E :kf(_kxk^x

Ek

F = ^kf(x)k_kxk ^F

E ≤M

4)⇒5)

Par lin´earit´ekf(x)−f(y)k_F =kf(x−y)k_F ≤Mkx−yk_E 5)⇒1) de facon ´evidente

Exemple :E =C⁰([−1,1], R),kfk₁ =R1

−1|f(t)|dt,|f|_∞= max{|f(t)|, t∈[−1,1]}.

On remarque que la fonctionnelle T(f) = f(0) est lin´eaire continue sur (E,k.k_∞) mais

26 CHAPITRE 3. ESPACES DE BANACH non continue sur (E,k.k₁) puisqu’on peut construire une suite de fonctionsf_n v´erifiant f_n(0) = 0,kf_nk₁ = 1 et |f_n|_∞=n,∀n :

f_n(t) = 0, t /∈[−1/n,1/n]f_n(t) =n(1 +nt), t∈[−1/n,0]

f_n(t) = n(1−nt), t∈[0,1/n]

Theorem 3.5.2 Soit E et F deux espaces vectoriels norm´es. Si E est de dimension finie L(E, F) = L_c(E, F).

Preuve :

E ´etant de dimension finie on peut se ramener `a Rⁿ muni de la norme de la convergence uniforme. Soit alors (e1,· · ·, en) une base de Rⁿ etf une application lin´eaire deE dans F. kf(x)k_F =kPi=n

i=1x_if(e_i)k_F ≤Pi=n

i=1 |x_i|kf(e_i)k_F ≤ kxk_EPi=n

i=1 kf(e_i)k_F ce qui correspond

`

a la propri´et´e 4 du th´eor`eme pr´ec´edent.

Theorem 3.5.3 Soit E et F deux Banach. Si f ∈L_c(E, F) alors f⁻¹ ∈L_c(E, F).

Preuve :admise

Theorem 3.5.4 1)SurL_c(E, F)l’application qui `af associekfk_L

c(E,F)={supkf(x)k_F,kxk_E ≤1}

d´efinit une norme sur L_c(E, F).

2)Si l’espaceF est un espace de Banach alorsL_c(E, F) muni de cette norme est un espace de Banach.

Preuve : 1)evident.

2)Soitf_nune suite de Cauchy de (L_c(E, F),kk_L

c(E,F)) etg_nla restriction def_n`aB_E(0,1), g_n∈ C_b⁰(B_E(0,1), F),kg_nk_∞ =kf_nk_L

C doncg_nest une suite de Cauchy de (C_b⁰(B_E(0,1), F),kk_∞)

3.5. ESPACES DES APPLICATIONS LIN ´EAIRES CONTINUES ET BILIN ´EAIRES CONTINUES27

qui est complet.g_n converge donc vers g ∈C_b⁰(B_E(0,1), F),kk_∞).

D´efinissont alors f par , f(0) = 0,∀x 6= 0 : f(x) = kxkg(_kxk^x , g coincide avec f sur B_E(0,1) − 0 par passage `a la limite car ∀x ∈ B<sub>E</sub>(0,1),∀n : g<sub>n</sub>(x) = kxkg<sub>n</sub>(<sub>kxk</sub><sup>x</sup> = kxkf<sub>n</sub>(<sub>kxk</sub><sup>x</sup> =f<sub>n</sub>(x). De la mˆeme mani`ere on v´erifie par passage `a la limite quef est lin´eaire.

NB : Toute application lin´eaire f de (L_c(E, F) v´erifie donc :

∀x∈E :kf(x)k_F ≤ kfk_L

c(E,F)kxk_E

Proposition 3.5.1 La compos´ee d’applications lin´eaires continues est lin´eaire continue et plus pr´ecis´ement on a :

1)∀f ∈L_c(E, F),∀g ∈L_c(F, G) :f ◦g ∈L_c(E, G) 2)kf ◦gk_L

c(E,F) ≤ kfk_L

c(E,F)kgk_L

c(F,G)

3.5.2 Applications bilineaires continues

Definition 3.5.1 Soit E, F, G trois espaces vectoriels, a est une application lin´eaire de E×F →G si et seulement si :

1)∀y∈F l’application x→a(x, y) est lin´eaire de E dans F. 2) )∀x∈E l’application y→a(x, y) est lin´eaire de F dans G.

Exemple :

E =F =Rⁿ, G=R, a(x, y) =Pi=n i=1x_iy_i. E =M_n(R), F =G=Rⁿ, a(A, x) =Ax E =F =G=L(E), a(u, v) = u◦v

Comme dans le cas lin´eaire on a :

28 CHAPITRE 3. ESPACES DE BANACH Theorem 3.5.5 Soit (E,kk_E),(F,kk_F),(G,kk_G) trois espaces vectoriels alors une appli- cation bilin´eaire a de E×F dans G est continue si et seulement si :

∃M ≥0,∀(x, y)∈E×F :ka(x, y)k_G ≤Mkxk_Ekyk_F.

Notation L’espace vectoriel des applications bilin´eaires (respectivement bilin´eaires conti- nues) est not´e L₂(E×F, G) (respectivement L_2,c(E×F, G).

On a les deux r´esultats suivant analogues au cas lin´eaire :

Theorem 3.5.6 Si E, F sont de dimensions finies alors L₂(E×F, G) = L_2,c(E×F, G).

Theorem 3.5.7 Soit (E,kk_E),(F,kk_F),(G,kk_G) trois espaces vectoriels alors : 1)L_2,c(E×F, G) peut ˆetre muni de la norme :

kk_L2,c(E×F,G = sup{ka(x, y)k_G,kxk_E ≤1,kyk_F ≤1}

2)Si (G,kk_G) est un espace de Banach alors L_2,c(E ×F, G) muni de la norme pr´ec´edente est un Banach.

On a un isomorphisme naturel entre L(E, L(F, G)) et L₂(E×F, G), isomorphisme parti- culi`erement utile en calcul diff´erentiel quand on consid`ere les diff´erentielles d’ordre deux :

Theorem 3.5.8 A tout v ∈ L(E, L(F, G)) on peut associer une application d´efinie par

∀(x, y) ∈ E×F;a_v(x, y) = v(x)(y). L’application ainsi d´efinie a_v ∈ L₂(E ×F, G) et on construit ainsi un isomorphisme naturel :

Φ :v →a_v de L(E, L(F, G)) sur L₂(E×F, G).

3.6. ESPACES DE HILBERT ET PROJECTION SUR UN CONVEXE FERM ´E 29

3.6 Espaces de Hilbert et projection sur un convexe ferm´ e

Definition 3.6.1 Un espace pr´´ ehilbertien est la donn´ee d’un couple (E,⁶ ,⁶ ) ou E est un espace vectoriel sur R et ⁶ ,⁶ un produit scalaire.

Proposition 3.6.1 Soit (E,⁶ ,⁶ ) un espace pr´ehilbertien.

On rappelle que pour tout couple (x, y) de E×E on a l’in´egalite de Cauchy-Schwartz :

|hx, yi| ≤ hx, xi^1/2hy, yi^1/2

avec ´egalit´e si x et y sont li´es.

Alors l’application qui a x associekxk=hx, xi^1/2 est une norme sur E associ´ee au produit scalaire

Preuve :

Il suffit de v´erifier l’in´egalit´e triangulaire qui d´ecoule de l’in´egaliti´e de Cauchy-schwarz. On a en effet :

kx+yk² =kxk²+kyk²+ 2|hx, yi|² ≤ kxk²+kyk² + 2kxkkyk.

Definition 3.6.2 L’espace prehilbertien (E,h,i) est un espace de Hilbert si et seulement l’espace (E,kk) est un espace de Banach.

Exemple :

1)E =R² muni du produit scalaire hx, yi=P xnyn.

2)l² l’espace des suites r´eelles de carr´e sommable muni du produit scalairehx, yi=P x_ny_n. 3)L²([0,1], R) l’espace des fonctions de carr´e int´egrable pour la mesure de Lebesgue muni du produit scalaire hf, gi=R1

0 f(t)g(t)dt.

30 CHAPITRE 3. ESPACES DE BANACH On rappelle que (C⁰([0,1], R),h,i) est un espace pr´ehilbertien dense dans l’espace pr´ec´edent.

Dans la suite H designe un espace de Hilbert.

Definition 3.6.3 Un sous ensemble C de H est convexe si et seulement si :

∀x, y ∈C×C,∀t∈[0,1] :tx+ (1−t)y∈C

Theorem 3.6.1 Soit (H,h,i) un espace de Hilbert et C un convexe ferm´e non vide de H.

Alors pour tout x dans H il existe un unique element pc(x) appele projection de x sur C v´erifiant

kx−p_c(x)k= inf{kx−yk, y ∈C}

et caracteris´e par :

hx−pc(x), y−pc(x)i ≤0,∀y∈C Preuve :

1)Unicit´e

Supposons par l’absurde qu’il existe deux points y₁, y₂ dans C r´ealisant le minimum de la distance : kx−y1k=kx−y2k =d²(x, C). Comme C est convexe ^x1+x₂ ² est dans C et par cons´equent : kx−^x1+x₂ ²k² ≥d²(x, C).

D’apr`es l’in´egalit´e du parall´elogramme :

k(u−v)/2k²+k(u+v)/2k² = 1/2(kuk²+kvk²),∀u, v ∈H par cette identit´ee appliqu´ee `a u=x−y1, v =x−y2 on obtient :

d²(x, C) = 1/2(kx−y₁k²+kx−y₂k²) = kx−^y1+y₂ ²k²+k(y₁−y₂)/2k² ≥d²(x, C)+k(y₁−y₂)/2k² ce qui est impossible sauf pour y₁ =y₂.

2)Existence

3.6. ESPACES DE HILBERT ET PROJECTION SUR UN CONVEXE FERM ´E 31 Pour n∈N^∗ soit y_n une suite minimisante de d(x, C) :

y_n∈C, d²(x, C)≤ kx−y_nk² ≤d²(x, C) + 1/n²

Par l’in´egalit´e du parall´elogramme appliqu´ee `a u=x−y_p, v =x−y_q : 1/2 (kx−y_pk²+kx−y_qk²) =kx− ^yp+y₂ ^qk²+k(y_p−y_q)/2k²

En utilisant la propri´et´e minimisante ci-dessus on obtient :

d²(x, C) + 1/2p²+ 1/2q² ≥d²(x, C) +k(y_p −y_q)/2k² ⇒ k(y_p−y_q)/2k ≤1/2p² + 1/2q². ky_p−y_qk tend donc vers z´ero pour p, q tendant vers l’infini et y_n est une suite de Cauchy dans H complet ; soitp_c(x) sa limite. p_c(x)∈C car C est ferm´e et en faisant tendren vers l’infini :d²(x, C) = 1/2(kx−p_c(x)k²).

3)Caract´erisation variationnelle Condition suffisante :

Soit y∈C, t∈[0,1]. Comme (1−t)pc(x) +ty∈C, on a :

kx−pc(x)k² ≤ kx−(1−t)pc(x)−tyk² =k(x−pc(x))−t(y−pc(x))V ert²

=kx−p_c(x)k²+t²ky−p_c(x)k²−2thx−p_c(x), y−p_c(x)i.

En divisant par t et en faisant tendre t vers z´ero on obtient : hx−p_c(x), y−p_c(x)i ≤0,∀y∈C

R´eciproquement supposons que z ∈C v´erifie hx−z, y−z)i ≤0,∀z ∈C. On a alors :

∀y∈C :kx−yk² =kx−zk²+ky−zk²+ 2hx−z, z−yi Les deux derni`eres quantit´es ´etant positives ;

∀y∈C :kx−yk ≥ kx−zksoit d(x, C) = kx−zket z est bien la projection dex sur C.

Proposition 3.6.2 Pour tout couple (x, y) de H², on a sous les hypoth`eses pr´ec´edentes kp_c(x)−p_c(y)k ≤ kx−yk

Preuve

Par les in´equations variationnelles caract´erisantp_c(x) etp_c(y) en remarquant que ces deux

32 CHAPITRE 3. ESPACES DE BANACH projections sont elles-mˆemes dans C on obtient :

hx−p_c(x), p_c(y)−p_c(x)i ≤0 hy−p_c(y), p_c(x)−p_c(y)i ≤0 Par sommation :

hx−y+pc(y)−pc(x), pc(y)−pc(x)i ≤0 qui entraine : hx−y, p_c(y)−p_c(x)i+kp_c(y)−p_c(x)k² ≤0.

Soit : kp_c(y)−p_c(x)k² ≤ |hy−x, p_c(y)−p_c(x)i| ≤ ky−xkkp_c(y)−p_c(x)k On a donc bien : kp_c(y)−p_c(x)≤ ky−xk etp_cest1−lipschitzienne.

Proposition 3.6.3 Soit C un sous espace vectoriel ferm´e de H alors p_c est la projection orthogonale sur C et pour tout x dans H on a :

1)pc(x)∈C;x−pc(x)∈C^⊥ 2)pc(x)∈Lc(H, C);kpck= 1 Preuve

1)SoitC un sous-espace vectoriel. En choisissant successivement dans l’in´egalit´e variation- nelle les deux points suivants de C;y=p_c(x)/2, y = 2p_c(x) on obtient :

hx−p_c(x),−p_c(x)/2i ≤0 et hx−p_c(x), p_c(x)i ≤ qui entraine : hx−p_c(x), p_c(x)i= 0 Avec ce r´esultat l’in´egalit´e variationnelle s’´ecrit : hx − p_c(x), yi ≤ 0∀y ∈ C soit en consid´eranty puis −y : hx−p_c(x), yi= 0∀y∈C et doncx−p_c(x)∈C^⊥.

2)Montrons maintenant que la projection p_c est lin´eaire siC est un sous espace vectoriel.

Soit (x₁, x₂, t)∈H²×R. Posons :

z =pc(x1)+tpc(x2);z ∈Cetx1+tx2−z = (x1−pc(x1))+t((x2−pc(x2));x1+tx2−z ∈C^⊥ donc :

∀y;hx₁+tx₂−z, y−p_c(z)i= 0, ce qui entrainez =p_c(z)par l’in´egalit´e variationnelle, par cons´equent z = p_c(x₁) +tp_c(x₂) = p_c(x₁ +tx₂) et p_c est bien lin´eaire et continue par le

3.6. ESPACES DE HILBERT ET PROJECTION SUR UN CONVEXE FERM ´E 33 th´eor`eme pr´ec´edent.

34 CHAPITRE 3. ESPACES DE BANACH

Chapitre 4

Diff´ erentiabilit´ e

4.1 Rappel sur les fonctions d´ erivables

Ce paragraphe, r´evision du cours LM110 de premire ann´ee est donn´e sans d´emonstration.

4.1.1 Fonctions r´ eelles d´ erivables et ´ egalit´ e des accroissements finis

Definition 4.1.1 Une fonction r´eelle d´efinie sur un ouvert U de R est d´erivable en x0 de U si et seulement si lim_{x→ x0} ^f(x)−f(x_x−x ⁰⁾

0 existe. On note f⁰(x₀) cette limite ; c’est la d´eriv´ee en x₀ de f

Proposition 4.1.1 Si f est d´erivable en x₀ alors f est continue en x₀

Theorem 4.1.1 1)Sif etg sont deux fonctions continues sur l’intervalle]a, b[et d´erivables au point x0 de ]a, b[ alors f+g,f.g sont d´erivables en x0 ainsi quef /g si g(x0)6= 0.

2)Si f est une fonction continue sur l’intervalle ]a, b[ et d´erivables au point x₀ de ]a, b[ et g une fonction continue sur un intervalle contenant f(]a, b[) et d´erivables au point f(x₀) alors la compos´ee h=f◦g est d´erivable en x₀ et verifie : h⁰(x₀) = g⁰(f(x))f⁰(x).

35

36 CHAPITRE 4. DIFF ´ERENTIABILIT ´E Exemple :

1)

f(t) =tsin 1/t, t6= 0 f(0) = 0

Cette fonction est continue en 0,non d´erivable en 0.

2))

f(t) =t²sin 1/t, t6= 0 f(0) = 0

Cette fonction est continue d´erivable en 0 avecf⁰(0) = 0

Theorem 4.1.2 Theoreme de Rolle :

Sif est une fonction r´eelle continue sur l’intervalle ferm´e[a, b], d´erivable l’intervalle ouvert ]a, b[et v´erifiant f(a) =f(b) alors il existe un point c de ]a, b[ tel que f⁰(c) = 0.

Theorem 4.1.3 Theoreme des accroissements finis :

Sif est une fonction r´eelle continue sur l’intervalle ferm´e[a, b], d´erivable l’intervalle ouvert ]a, b[ alors il existe un point c de ]a, b[ tel que ^f(b)−f_b−a^(a) =f⁰(c)

Soitf d´erivable sur ]a, b[ `a valeur dansEsikf⁰(x)k ≤M∀x∈]a, b[ alors est M-lipschtzienne.

4.1.2 Fonctions vectorielles d´ erivables et in´ egalit´ e des accroisse- ments finis

Definition 4.1.2 1)f continue sur l’intervalle ]a, b[ valeur dans l’espace vectoriel norm´e E est d´erivables au point x0 de ]a, b[ si il existe un et un seul vecteur f⁰(x0) de E tel que : lim_{x→ x0}k^f(x)−f(x_x−x ⁰⁾

0 −f⁰(x₀)k= 0

2)Si la dimension de E est finie alors f = (f₁,· · · , f_n) et f⁰ = (f₁⁰,· · · , f_n⁰)

Dans le cas de fonction `a valeurs vectorielles , le th´eor`eme des accroissements finis ne s’applique pas comme on le remarque en consid´erant la fonction `a valeurs complexes

4.2. D ´EFINITION DE LA DIFF ´ERENTIABILIT ´E 37 f(x) = expix d´efinie sur [0,2π]. Sa d´eriv´ee est de module identiquement ´egal un mais f(0)−f(2π) = 0. On a par contre l’in´egalite des accroissements finis :

Theorem 4.1.4 Inegalite des accroissements finis :

Soit f est une fonction reelle continue sur l’intervalle ferme [a, b], d´erivable l’intervalle ouvert ]a, b[ `a valeur dans E et v´erifiant kf⁰(x)k ≤M sur ]a, b[alors :

kf(b)−f(a)k ≤M(b−a)

4.2 D´ efinition de la diff´ erentiabilit´ e

Dans toute la suite on se donne (E,h,i) et (F,h,i) deux espaces vectoriel r´eels,U un ouvert deE et f une application de U dans F.

Definition 4.2.1 f est diff´erentiable en x si et seulement il existe une et une seule appli- cation lin´eaire continue L de E dans F et une application d´efinie sur un voisinage de 0 de E `a valeur dans F v´erifiant : limh→0k(h)k_F = 0 telle que :

f(x+h) = f(x) +L(h) +khk_E(h)

Remarques :

1)La d´efinition d´epend du choix des normes, mais deux normes ´equivalentes donnent la mˆeme d´efinition.

2) En d´esignant par o(h) une fonction qui tend vers 0 dans F plus vite que h tend vers 0 dans E :( limh→0o(h)_F/khk_E = 0), on peut remplacer khk_E(h) par o(h)

Proposition 4.2.1 Une telle application est unique, on notera df(a) la differentielle de f en a.

38 CHAPITRE 4. DIFF ´ERENTIABILIT ´E Preuve

Supposons qu’il existe deux applicationsL₁, L₂ alors :

(L₁−L₂)(h) =khk_E(h);∀h∈E ⇒ ∀λ ∈R: (L₁−L₂)(λh) =|λ|khk_E(λh), soit en divisant par λ :

(L1−L2)(h) =khk_E(λh);∀λ∈R qui entraine pour λ →0; (L1−L2)(h) = 0∀h∈E.

Theorem 4.2.1 Si E =R alors diff´erentiabilite ´equivaut `a d´erivabilit´e.

Proposition 4.2.2 Soit T une application lin´eaire continue de E dans F, a un point de F. L’application affine f definie par : x→ T x+a est diff´erentiable sur E et pour tout x de E df =T.

Preuve

f(x +h) −f(x) = (T(x+h) +a)−(T(x) +a) = T(h) ou l’application T est lin´eaire continue.

Definition 4.2.2 1)f est de classe C¹ sur un ouvert U;f ∈ C¹(U, F) si et seulement si fest diff´erentiable et sa diff´erentielle df ∈C⁰(U, L_C(E, F)).

2)soient U, U⁰ deux ouverts respectifs de E, F et f une bijection de U sur U⁰ : f est un hom´eomorphisme si et seulement si f ∈C⁰(U, U⁰) et f⁻¹ ∈C⁰(U⁰, U).

f est un C¹ diff´eomorphisme si et seulement si f ∈C¹(U, U⁰) et f⁻¹ ∈C¹(U⁰, U).

Proposition 4.2.3 Soit f et g d´efinis sur un ouvert U de E alors :

1)si f est constante au voisinage de x, alors f est diff´erentiable en x et df(x) = 0 2)si f et g sont a valeur dans F diff´erentiable en x alors f +g est diff´erentiable en x et

d(f +g)(x).h=df(x).h+dg(x).h