Epreuve de L3- Statistique avancées MAT50 – mai 2010 Durée : 2 h (Documents et calculatrices autorisées)

Epreuve de L3- Statistique avancées MAT50 – mai 2010 Durée : 2 h (Documents et calculatrices autorisées)

Lors de l’étude de la fiabilité d’une certaine machine, on s’intéresse au nombre de ses défaillances X dans une journée, supposé suivre une loi géométrique de paramètre 1-θ, 0< θ <1:

( ) (1 ) ^x1, 1, 2,...

P X x    ^ x

Indications : On note que :

 Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors 1 1 ₂

( ) , ( ) p

E X V X

p p

  

 La loi de n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) de loi géométrique de paramètre p est une variable aléatoire Y de loi de Pascal d’ordre n et de probabilité p, donnée par :

1

( ) _yⁿ1 ⁿ(1 )^{y n}, , 1,...

P Y  y C _^ p p ^ yn n Partie I : Estimation

On veut estimer le paramètre θ inconnu à l’aide d’un échantillon i.i.d (X₁,...,X_n)de même loi que X.

1) Calculer l’estimateur des moments ^ˆ_nde θ et montrer qu’il est égal à

l’estimateur du maximum de vraisemblance. Donner le signe de son biais. Cet estimateur est-il convergent ? Calculer l’information de Fisher apportée par l’échantillon sur le paramètre θ.

2) Soit Y la variable aléatoire valant 1 si X₁1et 0 sinon. Montrer que Y est un estimateur sans biais de θ. Peut-il s’agir d’un bon estimateur de θ ?

3) Montrer que

1 n

n i

i

S X







4) A l’aide du théorème de Rao-Blackwell, montrer qu’un estimateur de θ meilleur que Y est donné par 1 ¹

n 1

n

n S

   

 . 5) Vérifier que _n est sans biais et convergent.

6) Montrer sans calcul supplémentaire que _n n’est pas un estimateur efficace de θ et que seul le paramètre ¹

r 1

 

 peut être estimé efficacement.

7) Donner l’estimateur efficace de r, noté R^ˆ_n ainsi que sa variance et sa loi limite. Comparer R^ˆ_n avec l’estimateur du maximum de vraisemblance de r.

Partie II : Tests

On veut tester

0 1

: 0, 25

: 0,5

H H





 

 



Au niveau =10% à l’aide d’un échantillon i.i.d (X₁,...,X_n)de même loi que X. On suppose que n>50, de sorte que la loi de X_n ^Sn

 n peut être considérée comme une loi normale.

8) Calculer la région critique du test de Neyman-Pearson en fonction de n.

Donner le résultat pour n=100.

9) Calculer la puissance de ce test en fonction de n. Donner le résultat lorsque n=100.

10) Quelle doit être la valeur minimale de n pour que la puissance dépasse 90%

11) Existe-t-il un test UPP de niveau  pour le problème :

0 1

: 0, 25 : 0, 25 H

H





 

 

