L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 − 2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir surveill´ e n˚5
Dur´ee : 3 heures
L’usage de la calculatrice est interdit.
Le bar`eme prendra significativement en compte :
• la pr´esentation,
• la clart´e des explications,
• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,
• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.
Probl`eme 1 (Concours A TB 2008) : ´Etude d’une fonction d´efinie par une int´egrale
1. Domaine de d´efinition
(a) Soitxappartenant `a ]1,+∞[. Justifier l’existence de l’int´egrale Z x2
x
dt
ln(t)et d´eterminer son signe.
(b) Soit x appartenant `a ]0,1[. Justifier aussi l’existence de l’int´egrale Z x2
x
dt ln(t) et d´eterminer son signe.
Nous pouvons ainsi d´efinir une fonction num´erique f sur R+×\ {1} par :
∀x∈R+×\ {1} f(x) = Z x2
x
dt ln(t). 2. Etude de la d´´ erivabilit´e
(a) i. Justifier l’existence d’une primitiveH de la fonctiont 7→ 1
ln(t) sur ]1,+∞[, puis exprimer pour tout r´eel x appartenant `a ]1,+∞[, f(x) en fonction de H(x2) et H(x).
ii. En d´eduire que f est d´erivable sur ]1,+∞[ et calculer f0. iii. Quel est le sens de variation de f sur ]1,+∞[ ?
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(b) i. Montrer quef est d´erivable sur ]0,1[ et calculerf0. ii. Quel est le sens de variation de f sur ]0,1[ ?
3. Etude des limites aux bornes du domaine de d´´ efinition (a) Etude en´ 0 par valeurs sup´erieures
i. Soit x∈]0,1[. Montrer que pour tout t∈ [x2, x] : 1
ln(x) ≤ 1
ln(t) ≤ 1
ln(x2), et en d´eduire que : x(x−1)
2 ln(x) ≤f(x)≤ x(x−1) ln(x) .
ii. Montrer alors quef est prolongeable par continuit´e en 0 et pr´eciser la valeur en 0 de f ainsi prolong´ee.
La fonction f ainsi prolong´ee est toujours not´ee f dans la suite.
iii. `A l’aide de l’encadrement pr´ec´edent, montrer que f(x)
x a pour limite 0 en 0. Que peut-on en d´eduire sur la fonction f? Interpr´eter g´eom´etriquement ce r´esultat.
(b) Etude en l’infini´
i. En s’inspirant de la m´ethode d´ecrite en (a).i, encadrer f(x) pour tout r´eel x∈]1,+∞[.
ii. En d´eduire la limite de f en +∞.
iii. ´Etudier la nature de la branche infinie de la courbe repr´esentative de f au voi- sinage de +∞.
(c) Etude en 1 par valeurs sup´´ erieures
i. Soit x ∈]1,+∞[. Montrer que : Z x2
x
dt
tln(t) = ln(2), puis, en remarquant que f(x) =
Z x2
x
t dt
tln(t), prouver que : xln(2)≤f(x)≤x2ln(2).
ii. En d´eduire l’existence et la valeur de la limite def en 1 par valeurs sup´erieures.
(d) Etude en 1 par valeurs inf´´ erieures
Par un travail similaire `a la question (c), montrer quef(x) a pour limite ln(2) lorsque xtend vers 1 par valeurs inf´erieures.
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(e) Prolongement par continuit´e de f en 1
i. Montrer quef est prolongeable par continuit´e en 1 en posant : f(1) = ln(2).
La fonction f ainsi prolong´ee est toujours not´ee f dans la suite.
ii. Montrer quef est d´erivable en 1 et pr´eciser la valeur de f0(1).
(f) Repr´esentation graphique de f
i. R´esumer les r´esultats pr´ec´edents en dressant le tableau de variations de f, ce tableau pr´ecisant les prolongements et la nature g´eom´etrique des points parti- culiers ´etudi´es.
ii. Repr´esenter la fonctionf. On pr´ecise que ln(2) est voisin de 0,69.
Probl`eme 2 : ´Etudes de fonctions, ´etude d’une suite d´efinie par r´ecurrence et cal- culs d’aires.
1. Etudes de fonctions´
(a) On consid`ere la fonctionf d´efinie sur R par f(x) = (x2+ 1)e−x pour tout x∈R. i. ´Etudier les limites en −∞et en +∞ def.
ii. Justifier que f est d´erivable sur R, puis montrer que pour tout x ∈R, f0(x) =
−(1−x)2e−x. Dresser le tableau de variations def.
iii. Calculer f0(0) et f0(1) et donner une interpr´etation g´eom´etrique de ces deux nombres.
iv. On donne les encadrements suivants 0,75< f(12)<0,76 et 0,73< f(1)<0,74.
Montrer que pour tout x∈ 1
2,1
,f(x) appartient `a 1
2,1
. v. Montrer que pour tout x∈
1 2,1
,|f0(x)| ≤ 1 4.
(b) On consid`ere la fonctionh d´efinie sur R par h(x) = f(x)−x pour toutx∈R. i. Montrer queh est strictement d´ecroissante sur R.
ii. ´Etablir que l’´equationf(x) =x poss`ede une unique solution sur R, not´ee α.
iii. Montrer que α ∈ 1
2,1
.
3
iv. Un rep`ere Rorthonorm´e du plan ´etant fix´e, on note Cf la courbe repr´esentative def dans R. ´Etudier la position relative de Cf et de la droite d’´equationy=x.
(c) Repr´esenter l’allure de la courbe Cf et la droite d’´equation y =x sur le mˆeme gra- phique, en utilisant les propri´et´es g´eom´etriques obtenues `a la question 1.(a).iii. On prendra comme unit´e 5 cm et on placera approximativement, mais de fa¸con coh´erente avec les r´esultats pr´ec´edents, le nombreα sur l’axe des abscisses.
2. Etude d’une suite d´´ efinie par r´ecurrence
Soit (un)n∈N la suite d´efinie par u0 = 1 et la relation valable pour tout n ∈ N, un+1 = f(un).
(a) Montrer grˆace `a la question 1.(a).iv que pour tout n∈N, un∈ 1
2,1
. (b) D´eduire de la question 1.(a).v que pour tout n∈N, |un+1−α| ≤ 1
4 |un−α|.
(c) En d´eduire que pour tout n∈N, |un−α| ≤ 1
4 n
|u0−α|.
(d) Conclure quant au comportement asymptotique de la suite (un)n∈N. (e) Construire les abscisses u0,u1 et u2 sur le graphique de la question 1.(c).
3. Calculs d’aires
(a) `A l’aide de deux int´egrations par parties, d´eterminer une primitive de la fonction f surR.
(b) Que vaut l’aire du domaine du plan d´elimit´e par la courbe Cf, l’axe des abscisses, l’axe des ordonn´ees et la droite d’´equationx= 1 ?
(c) Montrer que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞
0
f(t)dtest convergente, d´eterminer sa valeur et interpr´eter g´eom´etriquement le r´esultat.
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