Partie B R´ esultats sur un espace pr´ ehilbertien r´ eel

MPSIA 2012/2013, lyc´ee Chaptal Devoir en temps libre n˚24 pr´eparation du devoir du vendredi 24 mai

Texte du DS du vendredi 25 mai 2012 (3h)

Les calculatrices et les t´el´ephones portables ne sont pas autoris´es.

Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep´ere ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen´e `a prendre.

Le plus grand soin sera port´e `a la r´edaction ainsi qu’`a la pr´esentation de la copie. Environ deux points sur vingt y seront consacr´es dans le bar´eme de correction.

L’´enonc´e contient 3 pages, l’exercice et le probl`eme sont ind´ependants.

Exercice I

On note ∆ l’op´erateur laplacien : soitW un ouvert deR³et f un ´el´ement deC²(W,R) :

∆f = ∂²f

∂x² +∂²f

∂y² +∂²f

∂z².

1. On d´efinit la fonctionr: (x, y, z)7→p

x²+y²+z²et on s’int´eresse `a une fonctionf telle quef(x, y, z) =u(r(x, y, z)), avecu∈ C²(R,R).

(a) Exprimer ∂r

∂x en fonction de xet r.

Donner, pour toutx6= 0, ∂r

∂x(x, x, x) et pour (x, y, z)∈R³\ {(0,0,0)}, ∂r

∂x(y, x, z).

(b) En d´eduire ∂f

∂x puis ∂²f

∂x² en fonction de u, u⁰,u⁰⁰,retx.

(c) Exprimer de mˆeme ∂²f

∂y² et ∂²f

∂z².

(d) Montrer que pour toutr >0, ∆f =u⁰⁰(r) +2 ru⁰(r).

On consid`ere dans les mˆemes conditions, l’´equation ∆ = −ω<sup>2</sup>f, o`u queω est un r´eel strictement positif, c’est-`a-dire l’´equation

(U) :u⁰⁰(r) +2

ru⁰(r) =−ω²u(r).

2. Soituune solution de (U). On d´efinit la fonctionv parv(r) =ru(r).

(a) Montrer quev v´erifie l’´equation diff´erentielle (V) :v⁰⁰+ω²v= 0.

(b) R´esoudre l’´equation (V), en d´eduire pourr6= 0 les solutions de (U).

(c) D´eterminer les solutions non nulles de (U) admettant une limite finie quand rtend vers 0.

3. On ne conserve pour la suite que les solutions obtenues `a la question 2c.

On impose de plusu⁰(1) = 0.

(a) D´eterminer l’´equation (Ω) que doit v´erifierω pour que cette condition suppl´ementaire soit satisfaite.

(b) Montrer que pour tout entier natureln, l’´equation (Ω) admet une solution et une seule dans l’intervalleiπ

2 +nπ;π

2 + (n+ 1)πh .

On noteraωn cette solution. D´eterminer un d´eveloppement asymptotique `a 3 termes (en o

n→+∞

1 n

) deωn. (c) Sinet psont deux entiers naturels distincts, on noteun etupdeux solutions de (U) associ´es respectivement aux

valeursωn etωp solutions de (Ω).

Montrer que

Z 1

0

un(r)up(r)r² dr= 0 .

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Probl` eme II

Soit P = R² le plan muni du produit scalaire canonique et du rep`ere orthonorm´e R = (O, e₁, e₂) avec O = (0,0), e₁= (1,0) ete₂= (0,1). La norme associ´ee au produit scalaire canonique sera not´eek · k₂si bien que pour tout (x, y)∈R², kx.e₁+y.e₂k₂=p

x²+y².

Pour aet bdeux r´eels donn´es, on d´efinit D_a,b la droite d’´equation dansR:y=ax+b.

Si M ∈ P a pour coordonn´ees (x, y) dansR, on note pa,b(M) l’unique point deDa,b ayant, dansR, la mˆeme abscissex queM.

On d´efinit ´egalement la droiteD⁰a,b la droite d’´equation dans R:x=ay+b, etp⁰_a,b(M) l’unique point deD⁰a,b ayant, dansR, la mˆeme ordonn´eey queM.

Partie A Droites des moindres carr´ es dans un cas particulier

Soient A, B et C les trois points de P dont les coordonn´ees dans Rsont respectivement : (0,0), (0,1) et (α,1 2) o`u α d´esigne un r´eel non nul.

On d´efinit deux applications f0 etf1deR²dansRen posant, pour tout (a, b)∈R², f0(a, b) =k−−−−−−→

pa,b(A)Ak₂²+k−−−−−−→

pa,b(B)B k₂²+k−−−−−−→

pa,b(C)Ck₂², et f₁(a, b) =k−−−−−−→

p⁰_a,b(A)Ak

2 2

+k−−−−−−→

p⁰_a,b(B)Bk

2 2

+k−−−−−−→

p⁰_a,b(C)Ck

2 2

. 1. Montrer queA,B etC ne sont pas align´es.

2. (a) Soit (a, b)∈R². Calculerf₀(a, b) et v´erifier quef₀(a, b) =

aα+b−1 2

² + 2

b−1

2 ²

+1 2.

(b) En d´eduire que la fonctionf0 admet un minimum surR² et que ce minimum est atteint en un unique couple de r´eels (0,¹₂), correspondant `a la droite, not´eeD0=D_0,1

2 d’´equation dansR: y=¹₂. 3. (a) V´erifier que pour tout (a, b)∈R²,f1(a, b) = 3 ^a₂ +b−^α₃ ²

+¹₂a²+²₃α².

(b) En d´eduire que la fonctionf1 admet un minimum surR² et que ce minimum est atteint en un unique couple de r´eels (a1, b1) `a d´eterminer. On note alorsD1la droiteD⁰a₁,b₁.

4. Montrer queD0 etD1sont orthogonales et se coupent en un unique pointM ∈ P qui est l’isobarycentre de (A, B, C).

Partie B R´ esultats sur un espace pr´ ehilbertien r´ eel

Soit E un espace pr´ehilbertien r´eel (i.e. un R-e.v. de dimension quelconque, muni d’un produit scalaire) non r´eduit `a {OE}etF un sous-espace vectoriel de dimension finie deE. On note (· | ·) le produit scalaire surEetk · kla norme associ´ee

`

a ce produit scalaire.

1. Donner la d´efinition deF^⊥. D´emontrer que l’on a E = F⊕F^⊥. (on rappelle que la dimension de E est quelconque alors que celle deF est finie).

Pour x∈E, on notep_F(x) la projection orthogonale dexsurF. 2. Soit x∈E. D´emontrer que d(x, F) = inf

z∈F k x−z k est bien d´efinie et que cette borne inf´erieure est atteinte en un unique ´el´ement zdeF que l’on d´eterminera.

On dit qu’une application (x, y)7→(x|y)_F deE² dansRest unproduit subordonn´e `aF si elle v´erifie les 4 propri´et´es suivantes :

(i) ∀x∈E, y7→(x|y)_F est une forme lin´eaire surE : (ii) ∀(x, y)∈E², (x|y)_F = (y|x)_F;

(iii) ∀x∈E, ∀y∈F, (x|y)_F = 0 ;

(iv) ∀x∈F^⊥,∀y∈F^⊥, (x|y)_F = (x|y).

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3. (a) Montrer que si (x, y)7→(x|y)_F deE² dansRest un produit subordonn´e `aF alors : – ∀(x, y)∈E², (x|y)_F = (x−pF(x)|y−pF(y)) ;

– ∀x∈E, (x|x)_F =d(x, F)²; – ∀x∈E, (x|x)_F >0 ;

– ∀x∈E, (x|x)_F = 0⇔x∈F.

(b) V´erifier qu’il existe un unique produit subordonn´e `aF.

On note alors (· | ·)_F ce produit subordonn´e `a F et pourx∈E, on posekxk_F =p

(x|x)_F.

4. Montrer que pour tout (x, y)∈E²,|(x|y)_F|6kxk_Fkyk_F. `A quelle condition surxety a-t-on ´egalit´e ? 5. Soitu∈E,kuk= 1. On noteD= Vect(u) etp_D la projection orthogonale surD.

Pour tout vecteurx∈E, on posemx= (x|u) et σx=kxk_D. Pour tout couple (x, y)∈E², on pose cov(x, y) = (x|y)_D.

Montrer que pour toutx∈E, σ_x=kx−m_x.uk et que pour tout (x, y)∈E², cov(x, y) = (x|y)−m_xm_y. On suppose dans la suite de cette partie quexet y sont deux ´el´ements de Etels que la famille (u, x, y) soit libre.

6. Montrer queσxet σy sont deux r´eels strictement positifs.

On pose alors x^∗= x−m_x.u σx

,y^∗=y−m_y.u σy

etρ= cov(x, y) σxσy

. 7. (a) Montrer quemx^∗= 0, queσx^∗ = 1 et queρ∈]−1,1[.

(b) V´erifier alors que (u, x^∗) est une base orthonormale deF = Vect(u, x).

(c) Justifier que inf

(a,b)∈R²ky−a.x−b.uk est bien d´efini et v´erifier que inf

(a,b)∈R²ky−a.x−b.uk=σy ky^∗−ρx^∗k. (d) D´eterminer, en fonction dex,y etu, l’unique couple de r´eels (a0, b0) tel que :

inf

(a,b)∈R²

ky−a.x−b.uk=ky−a₀.x−b₀.uk.

Dans le planP, on d´efinitD0=Da₀,b₀ comme la droite dont l’´equation dansResty=a0x+b0. (e) Montrer queD₀ a pour ´equation dansR: y−m_y

σy

=ρ.x−m_x σx

. (f) Montrer qu’il existe un unique couple de r´eels (a1, b1) tel que :

inf

(a,b)∈R²kx−a.y−b.uk=kx−a1.x−b1.uk. Et d´eterminer l’´equation de la droiteD1=D⁰a₁,b₁.

(g) Montrer queD0 etD1 se coupent en un unique pointM ∈ Pet d´eterminer ses coordonn´ees dansR.

(h) Montrer queD0 etD1 sont orthogonales si et seulement si (x|y) =mxmy.

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