A2830. Chassés-croisés
Q1 Déterminer tous les sextuplets d’entiers a1,a2,a3, a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ 1 et b1,b2,b3, b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥ 1 tels que le produit des trois premiers est égal à la somme des trois derniers et le produit des trois derniers est égal à la somme des trois premiers.
Q2 Déterminer tous les octuplets d’entiers a1,a2,a3,a4, a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ a4 ≥ 1 et b1,b2,b3,b4, b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥ b4 ≥ 1 tels que le produit des quatre premiers est égal à la somme des quatre derniers et le produit des quatre derniers est égal à la somme des quatre premiers.
Q3 Démontrer que quel que soit n ≥ 3, on sait trouver au moins cinq 2n-uplets d’entiers ai ≥ 1 (i = 1 à n) et bi ≥ 1 (i = 1 à n) tels que le produit des n premiers est égal à la somme des n derniers et le produit des n derniers est égal à la somme des n premiers
Solution proposée par Gaston Parrour
Notations et remarques
Les 2n-uplets sont constitués d'un n-uplet {ai} et d'un n-uplet {bi}
Dans la suite, l'indice a est relatif au n-uplet {ai} ; l'indice b au n-uplet {bi}
Ainsi l'énoncé fait appel aux sommes Sa et Sb et aux produits Pa et Pb de leurs éléments, avec les relations Pa = Sb
Sa = Pb [S]
Remarques :
Ces relations montrent 1- les deux n-uplets composant le 2n-uplet jouent des rôles symétriques 2- les rapports Pa/Sa et Pb/Sb sont inverses l'un de l'autre
(Ainsi Pa/Sa < 1 <==> Pb/Sb > 1 , et équivalence analogue avec Pa/Sa > 1) (de même Pa/Sa =1 <==> Pb/Sb = 1)
L'énoncé précise qu'à l'intérieur d'un n-uplet, les éléments entiers sont tous strictement positifs et rangés en ordre décroissant selon l'indice croissant.
Q1 Déterminer tous les sextuplets d’entiers a1,a2,a3, a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ 1 et b1,b2,b3, b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥ 1 tels que le produit des trois premiers est égal à la somme des trois derniers et le produit des trois derniers est égal à la somme des trois premiers.
Avec les remarques précédentes, commençons par exemple avec Pa/Sa < 1
Cette situation permet de caractériser le triplet (a1, a2, a3) en examinant les configurations possibles Avec la relation d'ordre donnée a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ 1 :
une première configuration est (a1, a2, a3) = (a1, 1, 1) (1) → Pa/Sa = a1/(a1+2) < 1 (relation satisfaite tout a1),
mais avec Pa = a1 et Sb = b1+b2+b3 ≥ 3 , Pa = Sb → a1 ≥ 3 configuration suivante envisagée (a1, a2, a3) = (a1, 2, 1)
→ Pa/Sa = 2a1/(a1+3) < 1 a1 < 3 impossible
N.B. Le cas Pa/Sa = 1 n'est possible qu'avec cette configuration. Et alors a1 = 3 (voir plus loin)
Donc un balayage sur l'entier a1 ≥ 3 (configuration (1) ) a1=3 Pa = 3 Sa = 5 Pb = 5
5 est un nombre premier, donc Pb = 5 → (b1, b2, b3) = (5, 1, 1) et Sb = 7 ≠ Pa=3 a1=4 Pa = 4 Sa = 6 Pb = 6
le produit des 3 nombres bi égal à 6 → (b1, b2, b3) = (6, 1, 1) ou (3, 2, 1) dans les 2 cas Sb ≠ Pa =4
a1=5 Pa = 5 Sa = 7 Pb = 7 nombre premier
donc avec b1 = 7 b2 = 1 et b3 = 1 → Sb = 9 Pa = 5
a1 = 6 Pa = 6 Sa = 8 Pb = 8 → (b1, b2, b3) = (8, 1, 1) ou (4, 2, 1) ou (2, 2, 2) La configuration (b1, b2, b3) = (2, 2, 2) donne effectivement Sb = 6 donc Sb = Pa ==> solution 1 [ (a1,a2,a3) ; (b1, b2, b3) ] = [ (6, 1, 1) ; (2,2,2) ]
a1 = 7 Pa = 7 Sa = 9 Pb = 9 → (b1, b2, b3) = (9, 1, 1) ou (3, 3, 1)
La configuration (b1, b2, b3) = (3, 3, 1) donne effectivement Sb = 7 donc Sb = Pa ==> solution 2 [ (a1,a2,a3) ; (b1, b2, b3) ] = [ (7, 1, 1) ; (3,3,1) ] a1 = 8 Pa = 8 Sa = 10 Pb = 10 → (b1, b2, b3) = (10, 1, 1) ou (5, 2, 1)
La configuration (b1, b2, b3) = (5, 2, 1) donne effectivement Sb = 8 donc Sb = Pa ==> solution 3 [ (a1,a2,a3) ; (b1, b2, b3) ] = [ (8, 1, 1) ; (5,2,1) ]
On vérifie directement qu'à partir de a1 = 9 il n'y a pas de sextuplet solution
(en particulier parce que dès a1 = 9, on a affaire pour Pb (avec Pb=Sa) soit à un nombre premier , soit à des factorisations de Pb , - au moins 2 facteurs > 1 -, qui conduisent systématiquement à Sb < Pa )
cas Pa/Sa > 1
selon la remarque initiale, la forme symétrique des 2 relations données dans [S] permet d'écrire, en échangeant les rôles des ai et des bi ci-dessus, que les trois sextuplets suivants déduits des 3 solutions ci-dessus sont alors solutions du problème
solution 1 ==> solution 1' [ (a1,a2,a3) ; (b1, b2, b3) ] = [ (2, 2, 2) ; (6, 1, 1) ] solution 2 ==> solution 2' [ (a1,a2,a3) ; (b1, b2, b3) ] = [ (3, 3, 1) ; (7, 1, 1) ] solution 3 ==> solution 3' [ (a1,a2,a3) ; (b1, b2, b3) ] = [ (5, 2, 1) ; (8, 1, 1) ]
Il reste un dernier cas mentionné en introduction Pa/Sa = Pb/Sb = 1
comme remarqué ci-dessus, cela ne peut avoir lieu qu'avec (a1, a2, a3) = (3, 2, 1) dans ce cas Pa = 6 Sa = 6
et Pb = 6 ne conduit à Sb = Pa = 6 qu'avec (b1, b2, b3) = (3, 2, 1)
Dans ce cas bien sûr il y a une solution unique, ce sextuplet qui est à lui-même son propre symétrique : ==> solution 4 [ (a1,a2,a3) ; (b1, b2, b3) ] = [ (3, 2, 1) ; (3, 2, 1) ]
Conclusion :
==> Il y a 7 sextuplets solutions du système initial [S] (pour le cas n = 3) Ils sont indiqués en rouge dans le texte ci-dessus
Q2 Déterminer tous les octuplets d’entiers a1,a2,a3,a4, a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ a4 ≥ 1 et b1,b2,b3,b4, b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥ b4
≥ 1 tels que le produit des quatre premiers est égal à la somme des quatre derniers et le produit des quatre derniers est égal à la somme des quatre premiers.
Avec la même approche que pour la question Q1 : Pa/Sa ≤ 1
Configurations du quadruplet (a1, a2, a3, a4) qui conduisent à cela : Avec la relation d'ordre donnée entre les 4 ai a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ a4 ≥1 :
une première configuration est (a1, a2, a3, a4) = (a1, 1, 1, 1) (1) → Pa/Sa = a1/(a1+3) < 1 (relation satisfaite tout a1),
mais avec Pa = a1 et Sb = b1+b2+b3+b4 ≥ 4 , Pa = Sb → a1 ≥ 4 configuration suivante envisagée (a1, a2, a3, a 4) = (a1, 2, 1, 1) (2) → Pa/Sa = 2a1/(a1+4) ≤ 1 → a1 ≤ 4 et avec Pa = 2a1 = Sb ≥ 4 a1 ≥ 2 donc a1 = 2 , 3 , 4 sont a priori permis pour cette configuration (2) N.B. On vérifie directement que seules ces 2 configurations pour (a1, a2, a3, a4) conduisent à Pa/Sa ≤ 1 (avec la relation d'ordre imposée entre les ai)
Avec (1) [configuration (a1, a2, a3, a4) = (a1, 1, 1, 1) ] En procédant de façon identique à la question Q1 :
un balayage sur a1 ≥ 4 ne permet de ne retenir que deux solutions : a1 = 9
Pa = 9 Sa = 12 Pb = 12 = 12.1.1.1 = 6.2.1.1 = 4.3.1.1 = 3.2.2.1 le choix (b1, b2, b3, b4) = (4, 3, 1, 1) permet de réaliser Sb = 9 = Pa
==> solution 1 [ (a1,a2,a3,a4) ; (b1, b2, b3,b4) ] = [ (9, 1, 1, 1) ; (4, 3, 1, 1) ] a1 = 11
Pa = 11 Sa = 14 Pb = 14 = 14.1.1.1 = 7.2.1.1
le choix (b1, b2, b3, b4) = (7, 2, 1, 1) permet de réaliser Sb = 11 = Pa
==> solution 2 [ (a1,a2,a3,a4) ; (b1, b2, b3,b4) ] = [ (11, 1, 1, 1) ; (7, 2, 1, 1) ] Avec (2) [configuration (a1, a2, a3, a4) = (a1, 2, 1, 1) ]
parmi ls valeurs possibles de a1 : a1 = 2 , 3 ou 4 , seule a1 = 4 fournit une solution
auquel cas Pa/Sa = 2.4/(4+4) = 1 a1 = 4
Pa = 8 Sa = 8 Pb = 8 = 8.1.1.1 = 4.2.1.1
le choix (b1, b2, b3, b4) = (4, 2, 1, 1) permet de réaliser Sb = 8 = Pa ==> solution 3 [ (a1,a2,a3,a4) ; (b1, b2, b3,b4) ] = [ (4, 2, 1, 1) ; (4, 2, 1, 1) ] (solution symétrique en ce qui concerne les n-uplets) Pa/Sa > 1
Comme précédemment, la forme symétrique des deux relations données du système [S] permet, en échangeant les rôles des quadruplets (a1, a2, a3, a4) et (b1, b2, b3, b4) , que les 2 octuplets suivants, déduits des solutions 1 et 2 ci-dessus, répondent à la question dans le cas Pa/Sa > 1
solution 1 ==> solution 1' [ (a1,a2,a3,a4) ; (b1, b2, b3,b4) ] = [ (4, 3, 1, 1) ;(9, 1, 1, 1)]
solution 2 ==> solution 2' [ (a1,a2,a3,a4) ; (b1, b2, b3,b4) ] = [ (7, 2, 1, 1) ;(11, 1, 1, 1) ]
N.B. La solution 3 ci-dessus qui est sa propre symétrique, ne fournit pas d'octuplet supplémentaire Conclusion Q2 :
==> Il y a 5 sextuplets solutions du système initial [S] (pour le cas n = 4)
Ils sont indiqués en rouge dans le texte ci-dessus (solution 1 et 1' , solution 2 et 2' ,solution 3) Q3 Démontrer que quel que soit n ≥ 3, on sait trouver au moins cinq 2n-uplets d’entiers ai ≥ 1 (i = 1 à n) et bi ≥ 1 (i = 1 à n) tels que le produit des n premiers est égal à la somme des n derniers et le produit des n derniers est égal à la somme des n premiers
Avec les notations précédentes, dans le cas général on a a1≥ a2≥ … ≥ an ≥ 1 → En considérant les résultats de Q1 et de Q2
Cas Pa/Sa < 1 (par exemple ci-dessous) On remarque :
- les configurations de base (a1, 1, 1) ou (a1, 1, 1, 1, 1) fournissent toujours au moins 2 solutions non ''auto symétriques'' (3 sol. dans Q1 et 2 sol. dans Q2)
- deux des solutions de Q1 partagent avec les deux solutions de Q2 la propriété suivante : Q1 (n = 3) solution 2 obtenue avec a1 = 7 = 2x3 +1
solution 3 obtenue avec a1 = 8 = 3x3 – 1 Donc ici a1 = 2n + 1 ou a1 = 3n -1 Q2 (n = 4) solution 1 obtenue avec a1 = 2x4 + 1 solution 2 obtenue avec a1 = 3x4 – 1 Ici encore a1 = 2n +1 ou a1 = 3n - 1 Qu'en est-il dans le cas général ?
Pa/Sa < 1
La configuration de base (a1, 1, 1, …, 1) conduit alors à
Pa / Sa = a1 /(a1 + n-1) < 1 relation satisfaite pour tout entier naturel a1 Ainsi Pa = a1 Sa = a1 + (n-1) et on doit vérifier
Pb = a1 + (n-1) et Sb = a1 (et avec Sb ≥ n en fait a1 ≥ n)
→ Avec les remarques ci-dessus qui dictent les choix de a1 : a1 = 2n+1
Pa = 2n+1 Sa = 3n Pb = 3n = 1.1. … .3.n (factorisation possible où les ''1'' figurent (n-2) fois) alors on a une solution car
Sb = (n-2) + 3+n = 2n +1 → Sb = Pa
==> sol 1 (a1,a2, …, an));(b1,b2, …,bn) = (2n+1, 1, 1, … ) ; (n, 3, 1, 1, … , 1) a1 = 3n -1
Pa = 3n – 1 Sa = 4n – 2 Pb = 4n – 2 = 2(2n-1) = 1.1. …. 2. (2n-1) (choix de cette factorisation) Sb = (n-2) + 2 + (2n-1) = 3n – 1 → Sb = Pa
==> sol 2 (a1,a2, …, an));(b1,b2, …,bn) = (3n-1, 1, 1, … ) ; ((2n-1), 2, 1, 1, … , 1) → Bilan :
2 valeurs distinctes de a1 fournissent, pour ce cas Pa/Sa < 1 , 2 solutions de 2n-uplets Ces 2 solutions 2n-uplets, non symétriques en {ai} ;{bi}, fournissent alors pour
Pa/Sa > 1 → 2 solutions 2n-uplets sol 1' et sol 2' qui se déduisent de sol 1 et sol 2 [en échangeant les n-uplets {ai} et {bi} dans chacune des solutions] (voir questions Q1 et Q2)
Pa/Sa = 1 peut être obtenu (cf. questions précédentes) avec la configuration {ai} = (a1, 2, 1, …, 1) → Pa/Sa = 2a1/(a1 + n) et ce rapport est égal à 1 pour a1 = n
D'où
Pa = 2n Sa = 2n → Pb = Sa = 2n = 1.1. … .1.2.n (factorisation possible où les ''1'' figurent (n-2) fois) Alors Sb = (n-2) + 2 + n = 2n → Sb = Pa
==> sol 3 (a1,a2, …, an));(b1,b2, …,bn) = (n, 2, 1, …, 1) ; (n , 2, 1, 1, … , 1)
Ce 2n-uplet dans lequel les n-uplets {ai} et {bi} sont identiques, est son propre symétrique (bien sûr cela est le reflet de Pa/Sa = 1 <==> Pb/Sb = 1)
Remarque finale : dans ce cas général, il n'est en rien exclu, avec la configuration de base (a1, 1, … ,1), qu'il y ait d'autre(s) solution(s) que celles ci-dessus toujours présentes (sol 1, sol 2 et leur associée sol 1', sol 2') (comme c'est le cas pour n = 3 dans Q1)
Conclusion de Q3 :
==> Il y a au moins toujours 5 solutions 2n-uplets qui satisfont au système général [S]
(sol 1 sol 2 sol 1' sol 2' et sol 3 explicitées ci-dessus))
