La géométrie des couleurs (1er épisode)
Problème D1891 de Diophante
Question 1 - Tous les points du plan sont coloriés soit en bleu soit en rouge.
Démontrer qu’on sait toujours trouver un triangle équilatéral dont les trois sommets sont de la même couleur.
Question 2 - Les sommets d’un triangle dont les angles sont distincts et ≠ 0 modulo 30° sont coloriés respectivement en bleu (A), en rouge (B) et en vert (C) dans le sens horaire sur le cercle circonscrit à ABC. A partir de deux points quelconques X et Y de couleurs différentes, un tour consiste à colorier de la troisième couleur le sommet Z d’un triangle équilatéral XYZ, l’ordre des couleurs sur le cercle circonscrit à XYZ étant le même que celui du triangle ABC.
Démontrer qu’après un certain nombre de tours les points d’une même couleur sont tous sur une même droite et que les trois droites qui portent les trois couleurs sont concourantes en un point que l’on tracera à la règle et au compas.
Solution
Qualifions de monochrome un triangle équilatéral dont les trois sommets sont de la même couleur et recherchons, là-dessous, parmi les sept points un triangle équilatéral monochrome, sachant que les points A et B sont rouges.
Si l'un des points C ou D est rouge notre recherche est terminée avec succès.
Sinon C et D sont bleus. Si E est bleu notre recherche est terminée avec succès.
Sinon E est rouge. Si F est rouge notre recherche est terminée avec succès.
Sinon F est bleu. Alors l'un des triangles AEG ou CFG est monochrome selon que G est rouge ou bleu.
Dans tous les cas il existe un triangle équilatéral monochrome parmi les sept points de la figure ci-dessous.
Passons à la question 2 !
Effectuons les premiers tours pour obtenir les points a, b, c et cc.
Les points C, c et cc semblent bien alignés.
Enrichissons cette figure, avec les droites Aa, Bb, Cc et les cercles circonscrits aux trois triangles ABc, Bca, Cab.
Tout s'éclaire ! Il apparaît le point S où convergent les trois droites et les trois cercles que nous venons de tracer.
Ce point S est le point (bien connu) d'où l'on voit sous le même angle de 2π/3 (angle de droite) les trois vecteurs AB, BC, CA.
La présence de cc sur Cc est simplement due au fait que a est sur SA et que b est sur SB, indépendamment de la manière dont ces points ont été obtenus.
En effet, c'est une conséquence du théorème : De tout point S du cercle
circonscrit à un triangle PQR équilatéral on voit sous le même angle de 2π/3 (angle de droite) les trois vecteurs PQ, QR, RP.
