D1891. La géométrie des couleurs (1er épisode) **
Q1 Tous les points du plan sont coloriés soit en bleu soit en rouge. Démontrer qu’on sait toujours trouver un triangle équilatéral dont les trois sommets sont de la même couleur.
Q2 Les sommets d’un triangle dont les angles sont distincts et ≠ 0 modulo 30° sont coloriés
respectivement en bleu (A), en rouge (B) et en vert (C) dans le sens horaire sur le cercle circonscrit à ABC. A partir de deux points quelconques X et Y de couleurs différentes, un tour consiste à colorier de la troisième couleur le sommet Z d’un triangle équilatéral XYZ,l’ordre des couleurs sur le cercle circonscrit à XYZ étant le même que celui du triangle ABC.
Démontrer qu’après un certain nombre de tours les points d’une même couleur sont tous sur une même droite et que les trois droites qui portent les trois couleurs sont concourantes en un point que l’on tracera à la règle et au compas.
Q1 :
Prenons les trois sommets d'un triangle équilatéral, soit ils sont de la même couleur et alors on a trouvé ou alors nous avons deux points de même couleur et un autre de couleur différente.
La figure ci-dessous montre que, dans ce cas, quelle que soit la couleur du point rose, il y aura un triangle équilatéral des sommets de même couleur.
On part du triangle
Et on essaie de colorier les points 3,4,5, et 6 (rose) de manière
à éviter un triangle de même couleur On s’aperçoit que c'est impossible
Q2 : Remarque :
Soient trois droites se coupant à 60 ° et deux points A et B
Les illustrations ci-dessous montrent que si l'on dessine un triangle équilatéral avec le sommet C en dessous de la droite AB alors il se trouve nécessairement sur la 3ème droite.
Théorème des angles inscrits (60° pour les angles coloriés) Pour le cas qui nous intéresse :
Soient trois points A,B et C
Il nous faut trouver le point I tels que les droites IA , AB et IC se coupent à 60°
Dessiner le point A' du triangle équilatéral A'BC
Le point I sera sur le cercle A'BC
Il sera de même sur le cercle ABC' Avec ABC' un triangle équilatéral
Finalement :
La première remarque permet de confirmer que tous les points que l'on va construire se trouveront sur les droites rouges et que tous les points A A' A'' seront sur la même droite de même pour B,B' B'' … et C, C,' C'' …...
