Q₁ Tous les points du plan sont coloriés soit en bleu soit en rouge. Démontrer qu’on sait toujours trouver un triangle équilatéral dont les trois sommets sont de la même couleur.
Q₂ Les sommets d’un triangle dont les angles sont distincts et ≠ 0 modulo 30° sont coloriés
respectivement en bleu (A), en rouge (B) et en vert (C) dans le sens horaire sur le cercle circonscrit à ABC. A partir de deux points quelconques X et Y de couleurs différentes, un tour consiste à colorier de la troisième couleur le sommet Z d’un triangle équilatéral XYZ,l’ordre des couleurs sur le cercle circonscrit à XYZ étant le même que celui du triangle ABC.
Démontrer qu’après un nombre quelconque de tours les points d’une même couleur sont tous sur une même droite et que les trois droites qui portent les trois couleurs sont concourantes en un point que l’on tracera à la règle et au compas.
Q1 : Soit un hexagone régulier ABCDEF, O son centre et G l’intersection des droites AB et CD : si cinq sommets sont de la même couleur, trois d’entre eux forment un triangle équilatéral.
Si quatre sont de la même couleur sans former de triangle équilatéral, les deux sommets de l’autre couleur sont soit diamétralement opposés, soit consécutifs. S’ils sont diamétralement opposés, A et D par exemple, l’un des triangles équilatéraux ADI ou BCI est monochrome, selon la couleur de I ; s’ils sont consécutifs, A et B par exemple, ABO ou CDO est
monochrome.
Enfin, si trois sommets sont de la même couleur sans former un triangle équilatéral, il existe deux couples de points consécutifs de chaque couleur, dont l’un forme un triangle équilatéral monochrome avec le centre O.
Q2 : Si nous construisons ainsi les triangles équilatéraux ABC1, BCA1, CAB1, C1 est l’image de A dans la rotation autour de B d’angle π/3, et C est l’image de A1 par cette même rotation, donc la droite CC1 est l’image de la droite AA1, et fait avec cette droite un angle de π/3 (modπ).
De même, AA1 est l’image de BB1 dans le rotation d’angle π/3 autour de C,... Les droites AA1, BB1 et CC1 sont concourantes au deuxième point isogonique (jumeau du point de Fermat), qui est l’intersection des cercles circonscrits à ABC1, BCA1 et CAB1, d’où la construction. Toute rotation autour d’un point d’une des trois droites, d’angle π/3 transforme l’une des deux autres droites en l’autre, ce qui entraine la propriété d’alignement des points de même couleur.
