Enoncé H153 (Diophante)
Randonnées bourbonnaises (2ème épisode)
La Sologne bourbonnaise comporte un réseau de k sentiers de randonnée pédestre qui relient 7 villages avec les caractéristiques suivantes :
- deux villages quelconques sont reliés entre eux par un sentier au plus, - il n’y a pas de sentier qui relie un village à lui-même (absence de boucle), - les sentiers sont balisés avec des traits horizontaux de couleurs toutes différentes. Deux sentiers distincts peuvent se croiser en dehors des villages mais on respecte le balisage du sentier lorsque celui-ci croise un ou plusieurs autres sentiers.
- le réseau contient le plus grand nombre possible de sentiers sans qu’il y ait deux circuits disjoints (c’est à dire sans village commun à deux circuits).
Déterminer ket donner une représentation graphique possible du réseau.
Pour les plus courageux : avec n villages, déterminer le nombre maximal de sentiers d’un réseau qui ne contient pas deux circuits disjoints.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Pour obtenir le plus grand nombre possible de sentiers, je forme un réseau applicable à un nombre quelconque n de villages : V1, V2, V3 sont reliés entre eux et aux autres villages V4, V5, . . . , Vn qui ne sont pas reliés entre eux ; ainsi tout circuit utilise au moins deux des villages V1, V2, V3. Cela avec 3n−6 sentiers, soitk= 15 pour 7 villages (cf. figure).
Il s’agit de montrer qu’un graphe G à n ≥ 7 sommets et 3n−5 arêtes admet deux cycles disjoints. Je vais le montrer par récurrence à partir du graphe à 6 sommets A, B, C, D, E, F et 13 arêtes (les 15 arêtes du graphe complet 6-clique sauf 2).
Si les deux arêtes manquantes sont adjacentes, par exempleAB, AC,ADE et BCF sont deux 3-cycles disjoints. Si ces arêtes sont disjointes, par exempleAB, CD,ACE etBDF sont deux 3-cycles disjoints.
Ainsi la proposition “si un graphe ànsommets a (au moins) 3n−5 arêtes, il admet deux cycles disjoints” est vraie pourn= 6.
Pourn >6, le graphe à 3n−5 arêtes a un sommet de degré <6, la somme des degrés étant 6n−10. Si le plus petit degré est 1, 2 ou 3, supprimer ce sommet et les arêtes adjacentes donne un graphe den−1 sommets et au moins 3n−8 = 3(n−1)−5 arêtes ; ainsi (hypothèse de récurrence) il existe parmi cesn−1 sommets deux cycles disjoints.
S’il y a un sommetS de degré 4, et que les voisins deS ne sont pas tous adjacents 2 à 2, soitA etB deux voisins non adjacents. Je remplaceS et les arêtes adjacentes par une nouvelle arêteAB Le graphe obtenu a n−1 sommets et 3n−8 arêtes, on y trouve donc 2 cycles disjoints ; si un de ces cycles emprunte la nouvelle arête AB, on remplace celle-ci par la chaîne ASB pour obtenir un cycle du graphe initial.
Si les 4 voisins deS sont 2 à 2 adjacents, ils forment avecS une 5-clique ; si lesn−5 autres sommets ne comportent pas de cycle, ils sont joints par au plusn−6 arêtes, et entre la clique (qui a 10 arêtes) et lesn−5 autres sommets, il y a au moins 2n−9 > n−5 arêtes. Au moins un des n−5 sommets est relié à la clique par au moins deux arêtes ; celles-ci forment un 3-cycle avec une arête de la 5-clique, et un autre 3-cycle, disjoint du premier, est formé par les 3 autres sommets de la 5-clique.
S’il y a un sommetS de degré 5, comptons les arêtes joignant les 5 voisins de S. S’il y en a 8 et plus, cela forme avec S un graphe de 6 sommets et 13 arêtes au moins ; on a vu qu’on peut y trouver deux cycles dsijoints.
S’il y en a moins de 8, on peut trouver parmi les 5 voisins de S trois sommetsA, B, C tels queA n’est relié ni àB ni à C. Je forme un graphe G0en supprimantS et les arêtes adjacentes, que je remplace par les arêtes AB et AC; ce nouveau graphe a n−1 sommets et 3n−8 arêtes ; par l’hypothèse de récurrence il admet deux cycles disjoints. Si ceux-ci ne sont pas des cycles du graphe initial, c’est qu’un des cycles utilise l’arête AB ou l’arête AC du graphe G0; en remplaçant l’arête utilisée par la chaîne ASB ouASC, on obtient deux cycles disjoints dans le graphe initial.
