Enoncé D2916 (Diophante)
Un concours de symétries (2ème épisode)
On donne dans le plan 4 points A, B, C, D. On prend les symé- triques d’une droite variableL passant par D, par rapport à cha- cun des 3 côtés du triangle ABC. On obtient ainsi un nouveau triangle A0B0C0 avec les droites A0B0, B0C0, C0A0 respectivement symétriques de la droiteL par rapport aux côtésAB, BC etCA.
Démontrer que les droites AA0, BB0 etCC0 sont concourantes en un même pointI dont on déterminera le lieu quand Lpivote au- tour deD.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je travaille en angles orientés de droites non orientées, définis mo- duloπ.
Soit A01 (resp. A02) le symétrique de A0 par rapport à AB (resp.
AC). A01 et A02 sont deux points de L qui se correspondent par la composition des deux symétries, qui est une rotation d’angle 2BAC : (AA01, AA02) = 2(AB, AC). Le triangleAA01A02 est isocèle (AA0 =AA01 =AA02) et si aest la projection de A sur L, Aaest bissectrice en même temps que hauteur : (AA01, Aa) = (AB, AC) et (Aa, L) =π/2.
SoitJ le centre du cercle inscrit au triangleABC, etI un point de AA0. Comme (AI, AA01) = 2(AI, AB) (symétrie) et (AB, AC) = 2(AB, AJ),
(AI, L) = 2(AI, AB) + (AB, AC) +π/2 = 2(AI, AJ) +π/2 = 2(AI, L) + 2(L, AJ) +π/2.
D’où (AI, L) = 2(AJ, L) +π/2.
Si I est l’intersection de AA0 et BB0, on a de même (BI, L) = 2(BJ, L) +π/2.
Alors (AI, BI) = 2(AJ, BJ) = (AC, BC).
AinsiA, B, C, I sont cocycliques. SiI0 est l’intersection de AA0 et CC0, on a de même (AI0, CI0) = (AB, CB),A, B, C, I0 cocycliques et I0, intersection de AA0 avec le cercle circonscrit, est confondu avecI : les droitesAA0, BB0, CC0 se coupent sur le cercle circons- crit, qui est le lieu demandé.
On a (AI, AJ) = (AJ, L) +π/2 : la position deI sur le cercle varie quand l’orientation deLvarie, queLpasse ou non par un point fixe Dà distance finie.I reste fixe quandLse déplace parallèlement à elle-même, ce qui est le cas siDest rejeté à l’infini.
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