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D1923 - Un concours de symétries (4ème épisode)

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Academic year: 2022

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Problème proposé par Dominique Roux

On donne dans le plan 4 points A,B,C,D. On prend les symétriques d'une droite variable L passant par D, par rapport à chacun des 3 côtés du triangle ABC.

On obtient ainsi un nouveau triangle A'B'C'.

Pour quelle position de L (qui pivote autour de D) l'aire de A'B'C' est-elle maximale ?

Comme dans le 3ème épisode, si E, F, G sont les symétriques de D par rapport à BC, CA, AB, A’ B’ et C’ appartiennent respectivement aux cercles AFG, BGE, CEF, qui ont un point commun K, centre de similitude permettant de passer d’un

triangle A’B’C’ à un autre, et dont la position reste fixe par rapport à A’B’C’. L’aire du triangle A’B’C’ sera donc maximale si KA’, KB’, KC’ sont maximaux, donc si A’,B’,C’ sont diagonalement opposés à K, respectivement sur les cercles AFG, BGE, CEF.

D1923 - Un concours de symétries (4ème épisode)

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