Problème proposé par Dominique Roux
On donne dans le plan 4 points A,B,C,D. On prend les symétriques d'une droite variable L passant par D, par rapport à chacun des 3 côtés du triangle ABC.
On obtient ainsi un nouveau triangle A'B'C'. Montrer que, lorsque L pivote autour de D 1) La droite d'Euler du triangle A'B'C' passe par un point fixe.
2) Le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et l'orthocentre de A'B'C' décrivent chacun un cercle.
3) Ces trois cercles ont deux points communs.
Soient E, F, G les symétriques de D par rapport à BC, CA et AB : on a les égalités angulaires : FAG=2A, GBE=2B, ECF=2C ; E appartient à B’C’, F à C’A’, G à A’B’;
dans le triangle A’B’C’, A’=π-2A, B’=π-2B, C’=π-2C : quand la droite L varie, le triangle A’B’C’ reste semblable à lui même, et les points A’, B’, C’ appartiennent respectivement aux cercles circonscrits de AFG, BGE, CEF. Ces cercles ont un point commun, K, puisque GBE+ECF+FAG=2π ; les angles B’C’K, C’A’K, A’B’K étant constants, la position de K par rapport à A’B’C’ est fixe (c’est le centre des similitudes faisant passer d’un triangle A’B’C’ à un autre).
1) Il en résulte que toute droite liée à ce triangle passe par un point fixe : en effet, si cette droite passe par un sommet, A’ par exemple, elle fait un angle constant avec A’B’, et passe donc par un point fixe du cercle AFG ; si cette droite ne passe pas par un sommet, elle coupe deux des cotés, par exemple B’C’ en M et C’A’ en N ; A’M passe donc par un point fixe P du cercle AFG, l’angle GMP reste constant, donc M appartient à un cercle passant par G et P ; les cotés du
triangle A’MC’ passent par les points fixes E, F et P, et la droite MN passe par un point fixe du cercle ci-dessus. C’est donc en particulier le cas pour la droite d’Euler du triangle A’B’C’ qui passe par un point fixe J.
2) Chaque point de la droite d’Euler, donc le centre du cercle circonscrit O’, le centre de gravité G’ ou l’orthocentre H’ de A’B’C’, voit JK sous un angle constant, donc décrit un cercle.
3) Ces trois cercles passent par J et K.
