Première STG Exercices sur le chapitre 15 : E1. 2007 2008
E1 Approximation d'une courbe par sa tangente au voisinage d'un point.
1. a ) Traçons sur l'écran de la calculatrice la courbe de la parabole P représentant la fonction carrée.
( On fera les réglages suivant dans V-Window : 0 ≤ x ≤ 2 et 0 ≤ y ≤ 4 avec un pas de 0,5 ).
b ) Traçons la droite d'équation y = 1 pour repérer le point A ( 1 ; 1 ).
c ) Zoomons ( utiliser le menu zoom in ) plusieurs fois autour du point A.
La courbe P ressemble à une droite. Quand on grossit la courbe, on ne peut plus voir la courbure de l'arc et ainsi chaque partie de la courbe ressemble à un segment.
2. On admet qu'au voisinage du point A, la courbe P peut être assimilée à une droite notée d.
Déterminons une équation de d.
a ) Traçons sur la calculatrice la courbe P et la droite d pour 0,99 ≤ x ≤ 1,01 et 0,99² ≤ y ≤ 1,01².
On note B ( 0,99 ; 0,99² ) et C ( 1,01 ; 1,01² ).
Calculer les coefficients directeurs des droites ( AB ) et ( AC ).
Le coefficient directeur de la droite ( AB ) est donné par la formule : a =
B A A B
x x
y y
−
− = 1 99 , 0
1
² 99 ,
0 −− = 01 , 0
0199 , 0−
− = 1,99
Le coefficient directeur de la droite ( AC ) est donné par la formule : a =
A C
A C
x x
y y
−
− = 1 01 , 1
1
² 01 , 1
−− = 01 , 0
0201 ,
0 = 2,01
b ) Je conjecture qu'une valeur du coefficient directeur de d est de 2.
c ) La droite d passe par le point de coordonnées ( 1 , 1 ) et a pour coefficient directeur b, autrement dit, je cherche b tel que y = ax + b avec 1 = 2 × 1 + b ⇔ 1 − 2 = b = -1.
Donc une équation de la droite d est y = 2x − 1.
2
0 1 x
A
