Enoncé H136 (Diophante)
Randonnées bourbonnaises (1er épisode)
La Montagne bourbonnaise comporte un réseau de sentiers de randonnée pédestre qui relient entre eux 10 villages (vi,i= 1,2,. . .,10) avec les carac- téristiques suivantes :
C1 : deux villages quelconques sont reliés par un sentier au plus,
C2 : il n’y a pas de sentier qui relie un village à lui-même (absence de boucle),
C3 : tout circuit de randonnée passe par cinq villages au moins,
C4 : deux sentiers distincts ne se rencontrent jamais en dehors des villages.
Q1 Le réseau contient le plus grand nombre possible s1 de sentiers com- patible avec ces quatre caractéristiques. Déterminer s1 et donner une re- présentation graphique du réseau correspondant R1 qui rend maximum le nombre de circuits de randonnée distincts. Existe-t-il dans ce réseau R1 un circuit qui passe par les dix villages sans traverser deux fois le même village ?
Q2 La Communauté de villages décide de reconfigurer le réseau de sentiers de sorte que deux sentiers distincts peuvent désormais se croiser en dehors des villages. Les trois premières caractéristiques C1, C2 et C3 sont mainte- nues et dans tout circuit balisé passant par k >4 villages, on s’interdit de changer de sentier lorsque celui-ci croise un ou plusieurs autres sentiers.
Déterminer le plus grand nombre possible s2 de sentiers dans le nouveau réseau et donner une représentation graphique du réseauR2 qui comporte le minimum de croisements. Comment peut-on passer de R1 à R2 avec le minimum de modifications ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Question 1
Dans le graphe planaire formé par les villages et les sentiers, toute face a au moins 5 arêtes. Notons fi le nombre des faces à i arêtes. J’admets qu’aucun sentier ne mène à un village dont on ne pourrait revenir qu’en revenant sur ses pas.
Comptant les arêtes selon les faces qu’elles bordent (y compris la face infinie), chaque arête est comptée deux fois dans la sommePiifi. Par la formule d’Euler-Descartes,
2 =S+F−A= 10 +Pifi−Piifi/2, soitsumi(i−2)fi = 16.
Le nombre de sentiers ests1 =A= 8 +Pifi; on le maximise en mettant autant de petites faces que possible ; cela conduit à f5 = 4, f6 = 1 et s1 = 13. La moyenne des degrés des sommets du graphe est 2A/S = 2,6, ce qui montre que certains villages n’ont que deux voisins : B,D,G,H dans la figure ci-dessous. Le trajet ABCDEFGHIJ joint les 10 villages, mais ne permet pas de revenir au point de départ. Le plus grand circuit fermé est ABCDEFGHIA, laissant J de côté.
Un arbre maximum de ce graphe s’obtient en enlevant 4 arêtes, par exemple IA,AE,EF,GH (4 est le nombre cyclomatique). En choisissant un sous-ensemble non vide de ces 4 arêtes, à l’exception de {AE,GH}, on obtient 14 circuits fermés simples (ne repassant pas deux fois par un même village) utilisant les arêtes choisies.
Question 2
Les sentiers pouvant se croiser, rien n’empêcherait d’établir les C102 = 45 sentiers reliant directement les 10 villages deux à deux, s’il n’y avait pas la condition C3.
Cette condition impose de ne joindre, par un nouveau sentier, que deux villages de distance au moins 4 dans R1. Seuls BG et DH sont dans ce cas.
On obtient ainsi s2 = 15, avec deux croisements en traçant par exemple BG à travers IJ et DH à travers EF.
