D176 -Le circuit des cinq villages – Solution d’Antoine Verroken
C
a g
B e f E O
i h c
j D
A
8 équations et 8 inconnues :
1. règle du cosinus :
a. triangle ABE : i^2 = ( e + f )^2 + ( j + c )^2 – 2 * ( e + f ) * ( j + c ) * f / c b. triangle ACD : j^2 = ( i + a )^2 + ( g + h )^2 – 2 * ( i + a ) * ( g + h ) * g/a c. triangles ABO et EDO ( droite AO commune )
i^2 + e^2 + 2 * i * e^2 / a = j^2 + h^2 + 2 * j * h^2 / c
2. Relations de Pythagore:
a. triangle BCO : g^2 + e^2 = a^2 b. triangle EDO : f^2 + h^2 = c^2
3. Théorème de Stewart :
a. triangle AEC : ( a + i ) * (( e + f )^2 + i * a ) = ( j + c )^2 * a + ( g^2 + f^2 ) * i b. triangle ACE : ( j + c ) * (( g + h )^2 + j * c ) = (g^2 + f^2 ) * j + ( i + a )^2 * c
4. Hypothèse du problème :
h + a + g = f + c + e ( i + e = j + h ; i + a + g = j + c + f ) Solution obtenue avec un programme informatique :
i + a + g + f + c + j = petite étape Tour de France = 132 kms
a = 20 ; g = 16 ; e = 12 ; c = 17 ; f = 15 ; h = 8 ; i = 30 ; j = 34
