D176. Le circuit des cinq villages
A : ce qu’on peut faire, mais qui ne donne rien
Dans le repère où l’axe des x porte AC et l’axe des y passe par I, milieu de AC, on a :
Les points B et D sont sur l’ellipse (bleu clair) d’équation x²/p² + y²/q² = 1
B est aussi situé sur la jolie courbe rouge (dite conchoïde de Jerabek :
http://www.mathcurve.com/courbes2d/jerabek/jerabek.shtml) d’équation (x² + y²)(x-a) = k²(x² + y² - ax)
avec a = IA et k = AC/IA
De même, D est situé sur une autre courbe de Jerabek, (en vert) d’équation (x² + y²)(x-a) = k’²(x² + y² - ax) avec k’ = AE/IA
Il ne reste plus qu’à résoudre ces équations pour obtenir des solutions en valeur entière !
Lot de consolation : la jolie conchoïde de Jerabek
B : ce qu’on peut faire, et qui est mal vu, mais qui donne la solution :
Avec une calculatrice, vite fait, on monte un programme qui fait varier OB, OC, OD, OE, avec BC et DE entiers (Pythagore), et on fait varier AB avec les contraintes :
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Somme des distances inférieure à 250
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A, B, C et A, D, E alignés
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AD entier
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AB + BO = AD + DO
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