PCSI 1
PROGRAMME DE COLLE DE PHYSIQUE Semaine du 17/12 au 21/12
Oscillateurs amortis en régime transitoire Tout exercice sur le sujet.
Régime sinusoïdal permanent (cours + exercices)
– Signal sinusoïdal (rappels) : amplitude, phase, pulsation, période, fréquence ; déphasage entre deux signaux ; valeur moyenne, valeur efficace (cf polycopié "Caractéristiques d’un signal" du début d’année).
– Excitation sinusoïdale d’un circuit R, L, C; excitation sinusoïdale d’un oscillateur mécanique amorti (par action d’une force sinusoïdale, ou par déplacement sinusoïdal de l’extrémité ressort).
Mise en équation dans chaque cas.
– Régime transitoire, régime permanent. On considère un système linéaire pour lequel les signaux d’entrée et de sortie sont reliés par une équation différentielle linéaire à coefficients constants. On supposee(t) =E0cos(ωt). La solution de l’équation homogène (régime libre) tend vers 0 (systèmes dissipatifs). Si on note τ le temps caractéristique du régime transitoire, pour t τ la solution de l’équation différentielle correspond à la solution particulière : s(t) =S0cos(ωt+ϕ).
– Visualisation de l’établissement du régime transitoire pour des système d’ordre 1 et 2 : on constate que la solution du régime sinusoïdal permanent est indépendante des conditions initiales.
– Calcul de la solution du régime sinusoïdal permanent :
• notation complexe
• application : circuitR, C; calcul de la réponse en tension au bornes du condensateur à partir de l’équation différentielle (expression de l’amplitude et de la phase).
– Impédance et admittance complexe d’un dipôle linéaire
• définition générale
• cas des dipôlesR, L, C. Comportement asymptotique pour L etC.
• associations série et parallèle d’impédances complexes
•diviseur de tension, diviseur de courant. Étude de la réponse en tension au bornes du condensa- teur dans un circuitR, Cà l’aide du diviseur de tension : si on ne s’intéresse qu’au régime sinusoïdal permanent il n’est pas nécessaire de passer par l’équation différentielle.
– Exemple du circuitR, L, C série
• Réponse en tension aux bornes du condensateur : comportement asymptotique, réponse en amplitude et réponse en phase. Condition d’existence d’une résonance (Q > 1/√
2), pulsation de résonance, facteur de surtension à la résonance. On remarque que, quel que soit Q, la phase vaut
−π/2pour x= ωω
0 = 1 (soit pour ω=ω0).
• Réponse en tension aux bornes de la résistance : comportement asymptotique, réponse en amplitude et réponse en phase. On remarque que, quel que soit Q, une résonance se produit pour une pulsation égale à la pulsation propre du circuit. À la résonance le déphasage entree(t) etuR(t) est nul. L’acuité de la résonance est d’autant plus élevée que le facteur de qualité est élevé. Lien entre bande passante et facteur de qualité : ∆x= ∆ωω
0 = Q1.
– Représentation de Fresnel. Intégration et dérivation d’un signal. Exemple : réponse en tension aux bornes aux bornes deC d’un circuitRC.
Filtrage linéaire (cours)
– Analyse spectrale d’un signal : rappel sur les séries de Fourier
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– Fonction de transfert d’un quadrupôle linéaire : définition, caractéristiques : module et argu- ment.
H(jω) = us
ue =|H(jω)|ejϕ(ω)
– Définition du gain en décibel. Diagramme de Bode. Si le gain s’exprime sous la forme d’un multiple de ωα alors la courbe associée dans le diagramme de Bode sera une droite de pente 20α dB/dec.
– Filtres du premier ordre : exemple du filtre passe-bas réalisé à l’aide des composantsR et C (en sortie ouverte). Tracé du diagramme de Bode asymptotique. On constate qu’un filtre passe bas du premier ordre se comporte comme un intégrateur dans le domaine des hautes fréquences.
Forme canonique de la fonction de transfert d’un filtre passe-bas du premier ordre.
Filtre passe haut. Forme canonique de la fonction de transfert. Tracé du diagramme de Bode asymp- totique. Un filtre passe haut du premier ordre se comporte comme un dérivateur dans le domaine des basses fréquences.
– Filtres du second ordre : filtre passe-bas réalisé avec un R, L, C série (en sortie ouverte) ; généralisation ; diagramme de Bode asymptotique ; condition d’existence d’une résonance. On re- marque que, quel que soit le facteur de qualité, ϕ= arg(H) =−π/2pour ω=ω0 (si H0 >0).
Filtre passe bande réalisé avec un R, L, C série (en sortie ouverte) ; généralisation ; diagramme de Bode asymptotique. Bande passante à -3dB : le filtre est d’autant plus sélectif que son facteur de qualité est élevé :
∆x= ∆ω ω0 = ∆f
f0 = 1 Q
– Mise en cascade de quadrupôles :on montre sur un exemple de mise en cascade de deux quadrupôles que la fonction de transfert (en sortie ouverte) H12 de l’ensemble n’est pas égale au produit des deux fonctions de transfert de chaque quadrupôle (en sortie ouverte)H126=H1H2 car, le premier filtre n’étant pas en sortie ouverte, on ais1 6= 0.
Modélisation d’un quadrûpole : l’entrée est modélisée par une impédance d’entrée Ze et la sortie par un générateur de Thévenin de tension H ue (H représentant la fonction de transfert en sortie ouverte) et d’impédance Zs appelée impédance de sortie.
On montre à l’aide de ce modèle que la fonction de transfert (en sortie ouverte) de la mise en cascade de deux filtres est de la forme :
H12=H1 H2 Ze2 Ze2+Zs1
Ainsi on pourra écrire H12 =H1 H2, lorsque l’impédance de sortie du premier filtre est nulle ou lorsque l’impédance d’entrée du second est infinie.
Calcul deZe,Zs sur l’exemple pris précédemment.
Réalisation expérimentale : l’interposition d’un montage suiveur (le montage n’est pas à connaître) entre le premier et le deuxième quadrupôle permet de réaliser la condition is1 = 0.
– Action d’un filtre sur un signal périodique quelconque : on admet la décomposition spectrale d’un signal périodique de périodeT = 2π/ω :
e(t) =E0+
∞
X
n=1
Encos(nωt−φn) avec E0 =< e(t)>
On en déduit l’expression du signal de sortie (en régime établi) :
s(t) =H(0)E0+
∞
X
n=1
En|H(jnω)|cos(nωt−φn+ϕ(nω))
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