Régimes transitoires du premier ordre. CORRIGES 1. Réponse d'un circuit R-C série à un échelon de tension :

Régimes transitoires du premier ordre. CORRIGES 1. Réponse d'un circuit R-C série à un échelon de tension :

A) a) générateur de tension de fém E et de résistance interne r + R b) La loi de maille donne : ( )

) (

. q t

t C i R r

E= + +

.

On a choisi l’orientation du condensateur de façon à ce que i(t) = dq/dt.

en dérivant / t : ( )

C i dt R di

r+ +

= 0

La solution générale de cette équation sans second membre sera : λ.exp(-t/((r+R)C))

La condition initiale q(t = 0) = 0 fixe i(t = 0) = E/(r+R) d’où : i(t) =

( )



 +

−

+ r RC

t r

R

E exp

c) uc(t) = E – (r + R).i(t) = u

(t) + R.i(t) ; uR(t) = R.i(t) Pour le tracé :

u

(0) = 0 et u

(∞) = E ; u

(0) = E/(R+r) et u

(∞) = 0.

B) a) r négligeable ne sera pas prise en compte.

Loi de maille : E=u

+Ri avec i =i

+ i

où i

= u

/R

et i

= C.du

/dt.

RC

E u dt du

=

+  ' avec τ’ =

C RR

e e

+

le temps caractéristique et la valeur finale de u

seront modifiés.

2. Exploitation d’un graphe :

Par l’intersection de la tangente à l’origine avec l’asymptote u = 2,0 V on trouve τ ≈ 0,01 ms. Un peu approximatif, vue l’échelle de temps.

On gagne en précision en s’appuyant sur le résultat de l’étude théorique. U atteint 90% de sa valeur pour une durée ∆t telle que exp(-∆t/τ) = 0,1 donc ∆t = τ.ln10 = 2,3 τ. Par une mesure précise de ∆t (attention aux échelles...) on obtient τ = ∆t/2,3 = 0,092 ms.

D’où C = τ / R ≈ 92 nF.

3. Réponse d'un circuit inductif à un échelon de courant : a) a-1) I

= i (t) + i’(t) ; L(di/dt) + Ri(t) = R’.i’(t) mènent à

l’équation du circuit :

L i R L

R R dt

di+ + ' = '

La résolution de cette équation amène :

( )



 



 

− + + −

= L

t R R R

R I t R

i ^o '

exp ' 1 ) '

(

b) i' (t) = I

– i(t) = ( )



− + + +

+ L

t R R R

R I R R R

RI_{o o} '

'exp '

'

courant

traversant R', et u (t) = R’.i’(t). u

(t) = L di/dt =( R’I

/(R+R’)).exp(-t/τ) avec τ = L/(R + R’) c) Pour tracer i(t) et u (t) :

i(0) = 0 ; i(∞) = R’I

(R+R’) ; u(0) = R’I

; u(∞) = RI

/(R+R’).

E

r i

R K

générateur

uR(t) uC(t) C

Io K

R'

R L

i’

i

E

r K

Re

R C

uc(t)

4. Mouvement d’une particule avec frottement fluide :

Par la R.F.D. en projection sur la direction du mouvement, avec une force de frottement fluide de composante –k.v : dv/dt + (k/m)v(t) = g. Posons τ = m/k.

Solution : v(t) = vo.(1 - exp(-t/τ)) avec vo = mg/k vitesse atteinte au bout d’une durée suffisante.

v(∆t1/2) = vo/2 donne exp(-∆t1/2/τ) = 1/2 ∆t1/2 = τ.ln2 ;

v(∆t99%) = 0,99vo donne exp(-∆t99%/τ) = 0,01

∆t99% = τ.ln(100) ≈ 4,6.τ

5. Régime transitoire à deux phases d'un circuit R-C : 1) Ecrivons la loi de maille quand K est en position (0) : e

= (r

+R) i + q/C avec i = dq/dt.

Condition initiale : q(0) = 0

Solution : q(t) = Ce

(1 – exp(-t/

)) avec 

= (r

+R)C t

est tel que : q(t

) = Ce

/2.

L’équation Ce

(1 – exp(-t

/

)) = Ce

donne t

=



ln2.

2) pour t > t1 , la loi de maille (quand K est en position (1)), s’écrit : - e

= (r

+R) i + q/C avec toujours i = dq/dt.

La solution générale est : q(t) = -Ce

+ A.exp(-t/

) avec 

= (r

+ R)C

La condition de continuité sur q(t) impose : q(t

) = Ce

/2 = q(t

) = -Ce

+ A.exp(-t

/

) D’où A = C(e

/2 + e

). exp(+t/

).

On va donc expliciter q(t) sous la forme : q(t) = -Ce

+ C(e

/2 + e

).exp(-(t – t

)/

).

L’exposant en (t – t

) peut être interpréter comme un changement d’origine des temps : pour t > t

on aura (t – t

) > 0, et il apparaîtra alors une décroissance exponentielle de la charge à partir de sa valeur Ce

/2 obtenue à t = t

.

3) t2  0 et t

tel que la charge q s'annule. q(t > t

) = 0 donne t

= t

+ 

ln(1+ e

/2e

)

6. Régime transitoire pour deux condensateurs en opposition : a) A t = 0, u

= q

/C

et u

= 0 . u

= u

+ (R

+ R

).i

donne i(0) = q

/(R.C

).

dt dq dt

i = − dq

=

d’où q

+ q

= cste = q

.

Loi de maille : q

/C

- R

i = q

/C

+ R

i

En éliminant q

on va tirer une équation en q

(t) : q

C R q R

C C

C C R R dt dq

2 2 1 1 2 1

2 1 2 1 1

) (

1 .

1

= + +

+ +

La résolution, avec la condition initiale q

(0) = q

donne :



 





+ +



−

= +

2 1

1 2

1 2

1( ) exp

C C

C t

C C q C t

q _o



où  =

2 1

2 1 2

1

) .

(

C C

C C R R

+ +

K

C₁

C2

R₁

R2

(1)

(2)

q₁ -q₁

-q₂ q₂ i(t) u₁

u₂ ro

eo

e1

r1

R C

K 1 0

b) W sera la différence entre l’énergie électrique initialement contenue dans le condensateur C

et l’énergie électrique résiduelle à l’état final dans les deux condensateurs.

( ) ²

2 1

² 2 )² 1

(

0 1





+

−

=

=  ^{Ri t dt q} _C ^{C C U}

W

où U

est la tension finale sur q

et q

.

U

= q

/(C

+C

).

7. Réponse à une tension en dent de scie : La loi de nœud : i

= i + i’ se traduit par

dt C dV R V dt

V V

C d (

)

'

=

− = Soit après mise en forme :

dt dV C C V C C C R dt

dV

s s

' )

' (

1

= +

+ + ;

La condition initiale se traduit par V

(0) = 0.

pour 0 < t < T, V

(t) = k.t donc dV

dt = k. La solution est V

(t) = kRC(1-exp(-t/)) pour t

T

V

(t) = 0 donc dV

dt = 0.

La solution générale est V

(t) = A.exp(-t/) et compte tenu de la condition de continuité sur V

, V

(t = T) = kRC (car T >> , le circuit atteint quasiment le régime permanent en fin de première phase) : V

(t) = kRC.exp(-(t-T)/)

8. Réponse d'un circuit RC à un générateur de courant : 1. En intégrant I

= Cdu/dt on obtient : u(t) = I

.t /C.

u(t) →  quand t → impossible de conserver ce modèle sur une grande durée.

2. Par la loi de noeud, en posant i = C.du/dt, le courant dans la branche RC, celui qui traverse R

est I

– i.

L’égalité de la tension sur R

et sur (R,C) donne : R

.(I

– i) = R.i + u avec i = C.du/dt

qui mènent à :

u(t) = R

.I

(1 – exp(-t/)) où  = (R

+ R).C En faisant un DL1 au voisinage de 0 pour t <<  :

u(t) ≈ R

I

(1 – (1 – t/)) = R

I

.t/ on retrouve l’expression du 1.

Ve(t)

Vs(t) R

C

C'

i’ i

ie

Io

R

u(t) C

Io

R

u(t) C RN