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Système du second ordre a<1 Recherche de la réponse à un échelon unitaire.

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

Sciences de l’ingénieur

2ndordre_a_inf_1_

Lycée Jacques Amyot

Auxerre 28/11/2003 Page 1 sur 3

Système du second ordre a<1

Recherche de la réponse à un échelon unitaire.

Michel Huguet Préambule :

La forme canonique d’un système du second ordre est de la forme :

2 2

1 1 2

) (

p a p

p K H

n n

⋅ +

⋅ ⋅ +

= ω ω

Le système étant sollicité par un échelon unitaire de type

e ( t ) = 1 ⋅ u ( t )

, l’image de cette entrée dans le domaine de Laplace est notée E(p) et vaut :

p p

E 1

)

( =

. L’image de la réponse du système notée S(p) vaut alors :

p p a p

p K S

p E p H p S

n n

1 1

1 2 ) (

) ( ) ( ) (

2 2

⋅ +

⋅ ⋅ +

=

=

ω ω

1) Décomposition de S(p) en éléments simples :

1.1)Recherche des racines de

2 1 0

1 + ⋅ ap +

2

p

2

=

n

n

ω

ω

. Pour a<1 on trouve deux racines complexes :

2 2

2 1

1 1

a j

a p

a j

a p

n n

n n

=

⋅ +

=

ω ω

ω ω

Une fois factorisée l’équation se met sous la forme :

1 ( ) ( ) 0

2 2

pp

1

pp = ω

n

Ou

1

2

⋅ ( p + a

n

j

n

1a

2

) ⋅ ( p + a

n

+ j

n

1a

2

) = 0

n

ω ω

ω ω ω

En développant on trouve :

( )

( ) ( 1 ) 0

1

0 1

1 2

2 2 2

2

2 2 2

2 2

2

⎟ =

⎜ ⎞

⎛ + ⋅ + ⋅ −

⎟ =

⎜ ⎞

⎛ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ −

a a

p

a a

p a p

n

n

n n

n n

n

ω ω ω

ω ω ω ω

finalement on met S(p) sous la forme :

( ) ( )

(

p a

)

K

(

a

)

p

p S

a p a

p p K

S

n n

n n n n

1 1

) (

1 1 1

) (

2 2 2

2

2 2 2

2

⎟⎠

⎜ ⎞

⎛ + ⋅ + ⋅ −

= ⋅

⎟⎠

⎜ ⎞

⎛ + ⋅ + ⋅ −

=

ω ω

ω

ω

ω ω

(2)

Sciences de l’ingénieur

2ndordre_a_inf_1_

Lycée Jacques Amyot

Auxerre 28/11/2003 Page 2 sur 3

Qui après mise en forme , s’écrit :

( p a ) ( a a ) p

a p K

S

n n

n

n

1

1 1 1

)

(

2

2 2

2

2

⋅ +

⋅ +

⋅ ⋅

= ⋅

ω ω

ω ω

Pour la suite on posera :

( )

1 )

(

1

2

S p

a p K

S

n

= ⋅ ω

1.2)Décomposition de S1(p) :

( )

2

(

2

)

2

( ( )

2

( )

2

)

2

2 1

1 1

1 ) 1

(

a a

p

C a

p B p

A a p

a p p a S

n n

n

n n

n

⋅ +

⋅ +

+

⋅ + + ⋅

=

− ⋅

⋅ +

⋅ +

= ⋅

ω ω

ω ω

ω ω

• Recherche de A : On forme :

( )

2

(

2

)

2

( ( )

2

( )

2

)

2

2 1

1 1

) 1 (

a a

p

C a

p p B

p p A a

a p p a S p

n n

n

n n

n

⋅ +

⋅ +

+

⋅ +

⋅ ⋅ +

− =

⋅ +

⋅ +

= ⋅

⋅ ω ω

ω ω

ω ω

Et on pose p = 0 , il vient alors :

( a

n

) (

n

a a ) A a

nn n

a a A

n

=

⋅ +

⇔ ⋅

− =

⋅ +

) 1 ( 1 1

1

2 2 2

2

2 2 2

2

2

ω ω

ω ω

ω ω

Finalement :

n

A a ω 1 −

2

=

• Recherche de B et de C : On forme :

( ) (

1

)

1( )

2 2

2 a S p

a

p n n ⎟⋅

⎜ ⎞

⎛ + ⋅

ω

+

ω

⋅ −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2

(

2

)

2

2 2 2 2

2 2 2

1 1

1 1 :

a a

p

C a

p a B

a p p

a A a

p p a vient Il

n n

n n

n n

n n

⋅ +

⋅ +

+

⋅ +

⋅ ⋅

⎟⎠

⎜ ⎞

⎛ + ⋅ + ⋅ −

+

⎟⋅

⎜ ⎞

⎛ + ⋅ + ⋅ −

− =

ω ω ω ω

ω ω

ω ω

Et on pose p=p1 ou p=p2 :

(

2

)

2 2

1 a j

a p

p p

n

+ ⋅ −

=

= ω

Il vient alors :

( )

B

( (

a j a

)

a

)

C

a j a

a

n n

n

n = ⋅− ⋅ + ⋅ − + ⋅ +

⋅ +

ω ω

ω

ω

2

2 2

1 1

1

En multipliant le numérateur et le dénominateur due premier terme de l’égalité par le complexe conjugué, on peut écrire :

( )

( ) ( ( ) )

(

a j a

)

j B a C

a

C a

a j a B

a j a a

n

n n

n n

n

+

=

+

⋅ +

⋅ +

=

− ⋅

2 2

2

2 2

2 2

1 1

1

1 1 1

ω

ω ω

ω ω ω

En identifiant les parties réelle et imaginaire, on obtient le système :

( )

( ) ( ( ) )

(

a j a

)

j B a C

a

C a

a j a B

a j a a

n

n n

n n

n

+

=

+

⋅ +

⋅ +

=

− ⋅

2 2

2

2 2

2 2

1 1

1

1 1 1

ω

ω ω

ω ω

ω

(3)

Sciences de l’ingénieur

2ndordre_a_inf_1_

Lycée Jacques Amyot

Auxerre 28/11/2003 Page 3 sur 3

⎪⎩

⎪⎨

− =

− −

=

⎪⎩

⎪⎨

=

=

B a a

C a a a

B a

C a a

n

n 2

2 2

2 2

2

1 1

1 1

1

1

ω ω

Finalement on obtient :

⎪ ⎩

⎪ ⎨

− −

=

=

n

B a

a a

C

ω

2 2

1 1

Donc S(p) décomposée s’écrit :

( )

( ) ( ) ( ) ( )

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⋅ +

⋅ +

− ⋅

⋅ +

⋅ +

⋅ +

− ⋅

− ⋅

− ⋅

= ⋅

2

2 2 2 2 2

2 2 2

2

1

1 1

1 1

1 1

) (

a a

p

a a

a a

p

a a p

p a a

p K S

n n

n n

n n

n n

ω ω

ω ω

ω ω ω

ω

Après simplification on obtient :

( )

( ) ( ) ( ) ( )

⎜ ⎜

⋅ +

⋅ +

− −

⋅ +

⋅ +

− +

=

2

2 2

2 2 2

2 2

1 1 1 1

) 1 (

a a

p

a a

a a

a p

a p K p

p S

n n

n

n n

n

ω ω

ω ω

ω

ω

2) Transformée inverse :

En posant :

α = a ⋅ ω

n

et ω = ω

n

⋅ 1 − a

2 :

( )

( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )

( p a ) ( a a ) ( p ) ( p ) e ( ) t

t p e

p p

p a

a p

a p

t

n n

n

t

n n

n

⎟⎟ =

⎜⎜ ⎞

+ + +

= +

⋅ +

⋅ +

⎟⎟ =

⎜⎜ ⎞

+ +

+ +

+

= +

⋅ +

⋅ +

⋅ +

ω ω α

ω ω

α ω ω

ω ω

ω ω α

α ω

α α ω

ω

ω

α α

sin 1

1

cos 1

2 2 2 2

2 2 2

2

2 2 2 2

2 2 2

1 -

1 -

L L

et

et

Finalement on obtient après transformation inverse :

( ) ( ) ⎟⎟

⎜⎜ ⎞

⎛ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

− −

=

=

e

a t

a t a

a e

K t s p

S

n a t n n 1 a t n 2

2 2

1

sin 1

1 1

cos 1

) ( )) (

(

ω 2

ω

ω 2

ω

1

L-

( ) ( )

( )

⎜ ⎜

⎛ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅

− −

=

a a t a a t

a K e

t

s

n n

t

n a

2 2

2 2

1

1 sin

1 cos

1 1

1 )

(

2

ω

ω

ω

En posant :

cos ϕ = a

et

sin ϕ = 1 − a

2 on peut écrire :

( ) ( )

( )

⎜ ⎜

⎛ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅

− −

=

a t a t

a K e

t

s

n n

t

n a

2 2

2 1

1 sin

cos 1

cos sin 1

1 )

(

2

ω ϕ ω

ω

ϕ

soit :

( )

⎜ ⎜

⎛ ⋅ ⋅ − ⋅ +

− −

=

ω

ω a t ϕ

a K e

t

s

n

t

n a

2 2

1

1 sin

1 1 )

(

2

avec

⎟ ⎟

⎜ ⎜

⎛ −

= a

Arc a

1

2

ϕ tan

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