Tout se passe comme si le circuit comprenait un g´en´erateur de tension e

Induction R´esum´e

On suppose l’ARQS , approximation des r´egimes quasi-stationnaires qui consiste `a consid´erer que

`

a un instant donn´e, l’intensit´e est la mˆeme en tout point du circuit ´etudi´e. Pour cela : - Le temps de propagation du champ ´electromagn´etique dans le milieu ´etudi´e τ doit ˆetre n´egligeable devant la p´eriode de ce champ T : τ T

- ou la dimension Ddu milieu doit ˆetre petite devant la longueur d’onde λde ce champ : Dλ Ph´enom`ene d’induction : Soit un conducteurplac´e dans unchamp magn´etique, il est si`ege d’une

tension lorsqu’il subit unevariation temporelle du flux du champ magn´etique.

Cette ddp est appel´eeforce ´electromotriceou tension induiteet not´eee. Tout se passe comme si le circuit comprenait un g´en´erateur de tension e.

Rq : Le flux magn´etique varie si le conducteur se d´eplace dans un champBconstant ou si le conducteur est fixe dans un champ B(t).

Ex : c’est le cas d’un ´electro-aimant ( champ B variable) plac´e devant une spire m´etallique, ou bien d’une spire m´etallique qu’on d´eplace face `a un aimant (champ B constant) .

Loi de Faradaypour un circuit boucl´e sur lui mˆeme et formant une surface (S) :

e=−dφ

dt avec φ= ZZ

(S)

B.d ~~ S

eetφsont orient´es corr´elativement par la r`egle du tire-bouchon, ¸c-`a-d que le sens deedoit correspondre

`

a celui deS~ ( ou de φ >0 pourB~ de mˆeme sens queS) . Ne pas perdre de vue que~ eest ainsi calcul´e alg´ebriquement , sa valeur alg´ebrique d´epend du sens d’orientation de S~ choisi arbitrairement . Il est entendu que les r´esultats finals sur le mouvement du circuit , sur l’intensit´e dans le circuit ne d´ependent pas du choix de ce sens .

S Circuit

e

Distinction entre e et e_autoinduit : il ne faut pas confondre l’ induction due `a un champ magn´etique ext´erieur et celle due au propre champ cr´e´e par le circuit lui-mˆeme (tout courant dans un circuit cr´ee en effet un champ Bpropre ). Rq : l’inductance propre est un moyen simple de tenir compte de l’auto-induction sans passer par la loi de Faraday (cf paragraphe suivant).

Inductances propre et mutuelle de circuits bobin´es On d´efinit l’inductance propreL1 par : φ_1/1 =L1i1

et l’inductance mutuelle M de deux circuits par : φ_1/2 =M i1 et φ_2/1 =M i2

La loi de Faraday donne alors : e1=−^d(φ1/1_dt^+φ2/1) =−L₁^di_dt¹ −M^di_dt²

Rq : pour un circuit seul parcouru par i , e = −^dφ_dt conduit `a e = −L^di_dt et on retrouve la loi de l’´electrocin´etique aux bornes d’une inductance L : u_L=L^di_dt (pour ceux qui se posent la question du signe ,uL=−epuisqueeest con¸cu comme g´en´erateur alors que uL est en convention r´ecepteur).

Rq : Si le sch´ema du circuit comporteL , cela veut dire implicitement qu’on tient compte de l’auto- induction via la relation connue de l’´electrocin´etique uL=L^di_dt . On utilisera donc dans la suite cette

Physique PC* 1

Induction R´esum´e

relation connue et directe d’emploi au lieu de calculer avec peine et sans succ`es un eautoinduit. Les calculs de equi suivent concernent donc uniquement la tension induite par un champ ext´erieurB.

Equation ´electrique : on calcule le flux magn´etique en pr´ecisant le choix pris pour le sens de S. On~ d´eduit epar la loi de Faraday . On sch´ematise le circuit par tous les ´el´ements passifs et actifs indiqu´es dans le sujet (r´esistance R, inductance L , capacit´e C , g´en´erateur de tension E , et on rajoute `a ce sch´ema la tension induite e pr´ec´edemment calcul´ee en respectant le sens arbitraire choisi . On ´ecrit alors l’´equation de la maille .

Rq : ainsi dans le cas o`u le circuit ´etudi´e est assimil´e seulement `a une r´esistanceR, cela donnee=Ri avec iete dans le mˆeme sens.

Equation m´ecanique: dans le cas o`u le circuit bouge , on ´ecrit leP F Dpour une translation ou leT M C pour une rotation. Il faut calculer les forces de Laplace sur chaque ´el´ement~ldu circuit parF~ =i~l∧B~ en respectant pour le sens de~l celui de i , donc corr´el´e `a celui de S~ . Pour le TMC , on calcule le moment de la force de Laplace avec comme point d’application le centre de gravit´e de l’´el´ement en rotation.

Energie : Le bilan ´energ´etique se d´eduit des ´equations ´electriques (Elec) et m´ecanique (M´eca) par la combinaison (i(Elec) + v(M´eca)) qui contient des termes de puissance de fa¸con `a ´eliminer le terme coupl´e proportionnel `a i.v . Le bilan conduit de fa¸con g´en´erale `a :

d

dt(Ec+Ep+ 1/2Li²+ 1/2q²/C) =P_elec+P_meca−Ri²−hv²

o`uEp est toute ´energie potentielle m´ecanique (pesanteur , ´elasticit´e de ressort si le circuit est soumis

`

a un ressort) , o`u P<sub>elec</sub> est la puissance ´electrique apport´ee par un g´en´erateur qui alimente le circuit, o`u P_meca est la puissance m´ecanique apport´ee par un op´erateur ext´erieur , o`u h est le coefficient de frottement m´ecanique. On reconnaˆıt dans la parenth`ese la somme de l’´energie m´ecanique et de l’´energie ´electrique du circuit. Il est logique que cette ´energie augmente par apport ext´erieur d’´energie

´

electrique ou m´ecanique et diminue par frottement m´ecanique et par dissipation par effet Joule . Rq : Dans le plus simple des cas , circuit exclusivement r´esistif , non aliment´e , ni ´electriquement ni m´ecaniquement de l’ext´erieur ( donc sans effet de la pesanteur ) , sans frottement m´ecanique, on d´eduit : ^dE_dt^c =−Ri²

Principales applications

- AlternateurouDynamo de v´elo ouMicrophone: le circuit bobin´e plac´e dans un champB est aliment´e par de l’´energie m´ecanique ou sonore.

L’´energie m´ecanique ou sonore est convertie en ´energie ´electrique.

- Moteur d’ustensile m´enagerouHaut-parleur: le circuit bobin´e est aliment´e ´electriquement et plac´e dans un champ B.

L’´energie ´electrique est convertie en ´energie m´ecanique ou sonore.

Physique PC* 2