(1)  e duE=r.C.+udt

(1)

ACTIVITE N°22 : LA PILE CUIVRE-ALUMINIUM ET LE CONDENSATEUR

Les questions IV, V et VI peuvent être résolues indépendamment les unes des autres et indépendamment de la résolution des questions I, II et III.

LA PILE CUIVRE-ALUMINIUM

I. On introduit dans un becher un volume V = 50 mL d'une solution de chlorure d'aluminium (AI³⁺+ 3 Cl^–), de concentration en soluté apporté 0,10 mol.L^-1, dans laquelle plonge une lame d'aluminium. Dans un second becher, on introduit un volume V = 50 mL d'une solution de sulfate de cuivre (Cu²⁺ + SO42–), de concentration molaire en soluté apporté 0,10 mol.L^-1, dans laquelle plonge une lame de cuivre. On relie les deux bechers à l'aide d'un pont salin contenant du nitrate d'ammonium (NH4+ + NO3–).

Lorsqu'on branche un voltmètre électronique avec sa borne COM reliée à l'électrode d'aluminium, on mesure une différence de potentiel U = + 1,8 V.

I.1. Quelle est la polarité de la pile ? I.2. Quel est le rôle du pont salin ?

Il. On relie la pile à un conducteur ohmique.

Il.1. Faire un schéma légendé en indiquant le sens du courant dans le circuit, et en représentant le déplacement des différents porteurs de charge à l'intérieur et à l'extérieur de la pile.

Il.2. Écrire et nommer les réactions qui se produisent aux électrodes.

Il.3. Montrer que la transformation entre les deux couples peut s'écrire : 3 Cu²⁺ + 2 AI = 3 Cu + 2 AI³⁺

Il.4. La constante d'équilibre associée à la transformation est K = 10²⁰. Il.4.1. Calculer le quotient de réaction initial.

Il.4.2. Montrer en appliquant le critère d'évolution spontanée que le sens d'évolution est cohérent avec le fonctionnement de la pile.

III. La pile fonctionne pendant 1 h 30 min en débitant un courant d'intensité constante I = 40 mA.

Données : Le faraday: valeur absolue de la charge d'une mole d'électrons de symbole F F = 9,65.10⁴ C.mol^-1

Masse molaire de l'aluminium: 27 g.mol^-1 III.1. Calculer la quantité d'électricité Q échangée pendant 1 h 30 min.

III.2. Calculer la quantité de matière d'électrons ne échangée pendant cette durée.

III.3. Donner la relation entre ne et nAl, quantité de matière d'aluminium ayant disparu.

III.4. Calculer la perte de masse de l'électrode d'aluminium.

IV. La pile est équivalente à l'association série d'un générateur de tension de force électromotrice E = 1,8 V et d'un conducteur ohmique de résistance r. On remplace le conducteur ohmique par un condensateur branché entre les bornes P et M de la pile (voir schéma ci-après).

IV.1. Recopier le schéma ci- dessus sur la copie en représentant : - le sens du courant au cours de la charge du condensateur, - les flèches représentant les tensions uQM , uQP et uAB.

IV.2. Quel est le signe de la charge prise par l'armature A du condensateur au cours de la charge ?

IV.3. À chaque instant, la charge qA de l'armature A du condensateur est proportionnelle à la tension uAB entre ses armatures A et B. Quels sont le nom et l'unité de ce coefficient de proportionnalité ?

V. Étude de la variation de la tension aux bornes du condensateur au cours du temps lorsqu'il est soumis à un échelon de tension.

V.1. À l'aide d'un graphique, expliquer ce qu'est un échelon de tension E.

V.2. L'équation différentielle permettant de déterminer la tension uAB aux bornes du condensateur est de la forme :

AB AB

E = r.C. du +u dt

V.2.1. Que représente la grandeur C ?

V.2.2. La solution de cette équation différentielle est : uAB = E.

(1 )

t

e^^

 . En déduire l'expression de la constante .

V.2.3. Quelle est l'unité de  ? Le vérifier par analyse dimensionnelle. Quel nom donne-t-on à  ? V.2.4. Quelles valeurs, écrites en fonction de E, prend la tension uAB aux dates suivantes :

t =  t = 3  t = 5  t = 10  ?

V.2.5. À partir de ces résultats, dessiner l'allure de la courbe uAB = f (t) de t = 0 à environ t = 6 .

VI. Après avoir chargé un condensateur de capacité C = 100 mF sous la tension E = 1,8 V, on le décharge dans un moteur qui en tournant provoque la montée d'une hauteur h, à vitesse constante, d'un solide S de masse m = 100 g.

Donnée : g = 10 m.s^-2 .

VI.1. Quelle est l'énergie maximale E emmagasinée dans le condensateur ?

VI.2. De quelle hauteur h pourrait monter le solide si le transfert d'énergie se faisait avec un rendement de 100 % ?

dataelouardi.com 1 Prof : EL OUARDO

(2)

I

uAB uQP

UQM

+ –

CORRECTION DE L'ACTIVITE N°22 : LA PILE CUIVRE-ALUMINIUM ET LE CONDENSATEUR LA PILE CUIVRE-ALUMINIUM

I.1. La borne COM est reliée l'électrode d'aluminium, le voltmètre mesure U = UCuAl = VCu – VAl > 0 donc VCu > VAl. L'électrode de cuivre est la borne positive de la pile et l'électrode d'aluminium est la borne négative.

I.2. Le pont salin permet au courant de circuler et il permet de maintenir l'électroneutralité des solutions.

II.1. Schéma de la pile :

Dans le circuit extérieur, les électrons sont les porteurs de charge, tandis qu'en solution aqueuse ce sont les ions.

II.2. L'électrode cuivre est la borne +, il y a consommation d'électrons, donc une réduction : Cu²⁺(aq) + 2 e^– = Cu(s) demi-équation (1) L'électrode d'aluminium est la borne –, elle libère des électrons, il s'y produit une oxydation :

Al(s) = Al³⁺(aq) + 3 e^– demi-équation (2)

II.3. Au cours d'une réaction d'oxydoréduction, il y a autant d'électrons consommés que d'électrons produits, soit en faisant 3(1) + 2(2), il vient :

3 Cu²⁺(aq) + 2 Al(s) = 3 Cu(s) + 2 Al³⁺(aq)

II.4.1. Qr,i =

3+ 2 (aq) 2+ 3 (aq)

[Al ] [Cu ]

i

i Qr,i =

2 3

(0,10) (0,10)

_{= 10}

II.4.2. Qr,i, < K, l’évolution spontanée se fait donc dans le sens direct de l’équation associée à la transformation dans la pile. Ce résultat est en accord avec la polarité de la pile.

III.1. Q = I.t convertir I en ampère et t en seconde Q = 4010^–39060 = 2,210² C III.2. Q = ne.F soit ne =

Q F

₌

I. t F



ne =

3 4

40 10 90 60

9,65 10

   

 = 2,210^–3 mol d'électrons échangée pendant 1 h 30 min.

III.3. D'après la demi-équation (2), on a nAldisparu =

n

e

3

_.

III.4. mAl disparu = nAldisparu . MAl mAl disparu =

ne

3 .MAl mAl disparu = 2, 2 10 3

3

 

 27 = 2,010^–2 g = 20 mg calcul effectué avec ne non arrondi

IV.1. D'après la convention générateur, la flèche tension E a le même sens que le courant I.

IV.2. L'armature A est reliée à la borne Q positive du générateur de tension. (UQM = E = + 1,8V > 0) Des électrons y sont arrachés, l'armature A porte une charge positive.

IV.3. qA = C . uAB Où C est la capacité du condensateur exprimée en farads de symbole F.

V. Étude de la variation de la tension aux bornes du condensateur au cours du temps lorsqu'il est soumis à un échelon de tension.

V.1. Échelon de tension : la tension passe brutalement de 0 V à une valeur constante E.

V.2.1. La grandeur C est la capacité du condensateur (cf. IV.3.)

(3)

t u (V)

0 E

V.2.2. équation différentielle E r.C.du^AB _AB dt u

 

Solution uAB = E . (1 –

t

e

^^) que l'on peut écrire uAB = E – E.

t

e

^^_.

du

AB

dt

₌

E



_.

t

e

^^

donc r.C.

du

AB

dt

₌

r.C.E



_.

e

^^^t

et r.C.

du

AB

dt

_{+ u}_AB₌

r.C.E



_.

e

^^^t_{+ E – E.}

e

^^^t d'après l'équation différentielle cette expression est égale à E ainsi

r.C.E



_.

e

^^^t_{+ E – E.}

e

^^^t = E quel que soit t on divise tout par E, il vient

r.C

 e

^^^t _{+ 1 –}

e

^^^t_{= 1}

r.C

 e

^^^t _–

e

^^^t = 0 cette égalité est vérifiée quel que soit t si

r.C



_{= 1} donc si  = r.C V.2.3. L'unité de  est la seconde dans le système international.

Vérification de la dimension de  = r.C : [r.C] = [R].[C]

D’après la loi d'Ohm, u = R.i donc [R] =

[ U ] [ I ]

D’autre part, q = C.u et i =

dq

dt

soit i = C.

du

dt

ou C = i.

dt

du

donc [C] =

[ ].[ ] [ ]

I T

U , donc [r.C] =

[U ] [ I ]

_.

[ ].[ ] [ ]

I T

U ₌ [T]

La constante  = r.C est homogène à une durée.  est appelée constante de temps du circuit rC.

V.2.4. uAB = E . (1 –

t

e

^^₎

t  3 5 10

uAB

E.

(1

e^^^

)

= E.(1 –

e

^{( 1)}^ ₎

=

63, 2

100

_.E

E.

3

(1

e^^^

)

= E.(1 –

e

^{( 3)}^ ₎

=

95,0

100

_.E

E.

5

(1

e^^^

)

= E.(1 –

e

^{( 5)}^ ₎

=

99,3

100

_.E

E.

10.

(1

e^ ^^

)

= E.(1–

e

^{( 10)}^ ₎

=

100 100

_.E Allure de la courbe uAB = f(t) pour t = 0 à t = 6 .

VI.1. E =

2 max

1 .C.

2 u

^C

Lorsque le condensateur est chargé uCmax = E

donc E =

1

2

2 .C.E

ne pas confondre E force électromotrice et l'énergie E. E = 0,5 100  10^–3 1,8² E = 1,610^–1 J VI.2. Système : Solide de masse m Référentiel : le sol, référentiel terrestre supposé galiléen

L'augmentation d'énergie mécanique du solide est égale à l'énergie stockée initialement dans le condensateur : Em = E

EC + EPP = E

Le solide monte à vitesse constante, donc son énergie cinétique ne varie pas 0 + m.g.h = E

m.g.h =

1

2

2 .C.E

_{h =}

C.E

2

2m.g

_{h =}

-3 2

100 10 .1,8 2 0,100 10



  _{= 0,16 m}

(4)