: voir application à la génération de " " La tension aux bornes du condensateur est une du temps ( ) C CI dtdqi = CONDENSATEUR

CONDENSATEUR

Rappel : condensateur parfait de capacité C

dt i= dq

Cuc

q=

dt i=Cdu^c

1 - CHARGE A COURANT D'INTENSITE CONSTANTE

dt i=I_o =Cdu

dt cte du = =

C I_o

o Uo

C I +

= t u C

uc

i q

C

o u I

La tension aux bornes du condensateur est une fonction affine du temps (voir TP)

N.B. : voir application à la génération de "rampe"

2 - CHARGE SOUS TENSION CONSTANTE 2.1 Charge à travers un circuit résistif

E = R i + u = u

dt du + RC

RCE RC1 = + u dudt

Condition initiale : t= 0 ; u = 0 (le condensateur est déchargé).

Dans ce cas l'équation différentielle a pour solution :

(

)

E e ^t

u= − ⁻

C

u

i R

E u_R

La tension aux bornes du condensateur est une fonction exponentielle du temps (voir TP)

• τ = RC représente la constante de temps du circuit, elle s'exprime en secondes.

• ^RC

R

C Ee ^t

dt

i= du = ⁻

2.2 Propriétés de la courbe u = f(t)

• limite : u → E lorsque t →∞ : régime permanent. Dans la pratique on admettra que le régime permanent est atteint au bout de 5τ

2.3 Décharge à travers un circuit résistif

R i + u = RC +u=0 dt

C du

u

i R

u_R 0

RC

1 =

+ u

dt du

Condition initiale : t= 0 ; u = Uo

L'équation différentielle a pour solution :

RC

Uoe ^t

u= ⁻

décharge u (V)

t (s)

• Uo : tension à la date t = 0

• limite : u → 0 lorsque t →∞ : régime permanent

• ^{o RC}

R C U e ^t

dt

i= du =− ⁻ (N.B. convention récepteur)

2.4 Cas général

La solution générale de la variation de charge d'un condensateur à travers un circuit résistif, sous tension constante est donc de forme u=A+Be^{−t RC}.

• Les constantes A et B se déterminent à partir de la tension initiale Uo (t= 0) et du régime permanent (lorsque t →∞)

• La loi de variation de charge est une fonction continue.

Remarque importante : la loi de variation de charge étant une fonction continue, toute variation brutale du potentiel sur une armature se reporte intégralement sur l'autre armature.

4 - DECHARGE A TRAVERS UN CIRCUIT INDUCTIF C

u

i R

u

u_{R L c}

L uR + uL + uc = 0

0 L

R + +u_c = dt

i di

0 LC

RC ₂^c _c

c + 2 +u =

dt u d dt

du LC1 0 RL _{c c}

c+ u + u =

u&& &

Résistance faible : régime oscillatoire amorti pseudo périodique. L'énergie électrostatique accumulée dans le condensateur se transforme en énergie électromagnétique au sein de la bobine, avec dissipation d'énergie sous forme calorifique dans la résistance.

Résistance élevée : régime apériodique, le condensateur se décharge sans oscillation.

On appelle résistance critique la valeur particulière de la résistance "limite" entre les deux régimes, elle correspond au régime apériodique "le plus rapide".

On démontre (voir cours de mathématiques) que la résistance critique a pour expression :

C 2 L R_c =

• R > Rc régime apériodique

• R < Rc régime oscillatoire

• Cas particulier : R = 0, la solution est sinusoïdale (Cf oscillateur harmonique en mécanique) de période T_o =2π LCappelée période propre du circuit LC.