2 Circuit triphas´ e d´ es´ equilibr´ e

UDS - UFR Physique et Ing´enierie - Lyc´ee Couffignal Licence QM2E

9 janvier 2010

Bases scientifiques – Contrˆ ole continu n˚2

Enseignant : E. Laroche

Dur´ee : 1,5 heure. Documents interdits – Calculatrices autoris´ees

1 D´ ecomposition en s´ erie de Fourrier

Soit un signal x(t) v´erifiant les propri´et´e suivantes : P1 : x(t+T) = x(t)

P2 : x(−t) =−x(t) P3 : x(T /2−t) = x(t)

On rappelle que le d´ecomposition en s´erie de Fourier s’´ecrit : x(t) = a0+

∞

X

k=1

ak cos(kωt) +bk sin(kωt) (1)

o`u les coefficients sont calcul´es par : a₀ = 1

T Z

T

x(t) dt (2)

a_k = 2 T

Z

T

x(t) cos(kωt) dt, k ≥1 (3)

b_k = 2 T

Z

T

x(t) sin(kωt) dt, k ≥1 (4)

1. Pour chacune des trois propri´et´es, expliquez la sym´etrie correspondante de la courbe repr´esentative de la fonction.

2. Donnez un exemple de signal respectant les trois propri´et´es ; donnez sa courbe repr´esentative et mettez en ´evidence sur la courbe les sym´etries.

3. Comment nomme-t-onT etω? Quelle relation math´ematique relie ces deux grandeurs ? 4. Dans la suite, on consid´erera que a₀ = 0. En d´ecomposant l’int´egrale sur [−T /2,0]

et [0, T /2], puis en utilisant la propri´et´e P2, montrez que a_k = 0 et que b_k =

4 T

RT /2

0 x(t) sin(kωt) dt.

5. En d´ecomposant ensuite l’int´egrale sur [0, T /4] et [T /4, T /2], puis en utilisant la propri´et´e P3, montrez quebk = 0 pourk pair etbk = _T⁸ RT /4

0 x(t) sin(kωt) dt pourk impair.

2 Circuit triphas´ e d´ es´ equilibr´ e

On s’int´eresse au circuit triphas´e pr´esent´e sur la figure 1. La source triphas´ee coupl´ee en triangle est ´equilibr´ee. On a U_a = U (utilis´e comme r´ef´erence des phases), U_b =

1

Z_c Z_a

Z_b

U_c U_b

U_a I_a

I_c I_b

V_a

V_b

V_c

Fig. 1 – Circuit triphas´e

Uexp(−j2π/3) etU_c =Uexp(+j2π/3). En revanche, la charge, qui est coupl´ee en ´etoile, est d´es´equilibr´ee. Pour les applications num´eriques, on prendra U = 240 V. Pour les valeurs num´eriques des nombres complexes, on donnera au choix : soit les parties r´eelle et imaginaire, soit le module et l’argument.

2.1 Premier cas

On consid`ere le cas o`u Z_a = 0 (court-circuit de la phase a), Z_b = R et Z_c = R. On prendraR = 10 Ω.

1. Identifiez une maille permettant de calculer facilement I_b. D´eduisez-en l’expression et la valeur num´erique deI_b.

2. Identifiez une maille permettant de calculer facilement I_c. D´eduisez-en l’expression et la valeur num´erique deI_c.

3. A partir d’une loi des nœuds et des r´esultats pr´ec´edents, d´eterminez l’expression et la valeur num´erique de I_a.

4. D´eterminez les valeurs de V_a, V_b etV_c.

5. Repr´esentez graphiquement les tensions U_a, U_b et U_c, les courants I_a, I_b et I_c et enfin les tensions V_a, V_b et V_c.

6. D´eterminez la puissance transmise par la source `a la charge.

2.2 Cas g´ en´ eral

On s’int´eresse d´esormais au cas g´en´eral o`u les imp´edancesZ<sub>a</sub>, Z<sub>b</sub> et Z<sub>c</sub> sont quelcon- ques et on cherche `a mettre en place une m´ethode permettant de d´eterminer les courants par la r´esolution d’un syst`eme d’´equations.

1. En appliquant deux fois la loi des mailles et une fois la loi des nœuds, d´eterminez trois ´equations permettant de d´eterminer les courants I_a, I_b et I_c.

2. Mettez ce syst`eme d’´equations sous une forme matricielleAx=bo`uxest le vecteur des inconnues, A est une matrice etb est un vecteur ; donnez A et b etx.

3. Expliquez comment on d´etermine x.

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