Sup PCSI2 — Devoir 2007/05
Probl` eme 1
◮Pourn∈N, notons ϕn: x7→(1−x)ne−2x etJn= Z 1
0
ϕn(x)dx.
Q1 Calculez J0et J1. Q2 Quel est le signe deJn?
Q3 Montrez que la suite de terme g´en´eral Jn est monotone ; bien entendu, vous pr´eciserez le sens de cette monotonie !
Q4 Qu’en d´eduisez-vous, concernant la suite de terme g´en´eralJn? Q5 Prouvez l’encadrement 06Jn6 1
n+ 1. Q6 ´Etablissez la relation 2Jn+1= 1−(n+ 1)Jn.
Q7 En d´eduire la limite de la suite de terme g´en´eral nJn. Q8 D´eterminez la limite de la suite de terme g´en´eral n(nJn−1).
Q9 D´eterminez des r´eels a, betc tels queJn=a+ b n+ c
n2 +o³ 1 n2
´.
Probl` eme 2
◮Notonsf : x >07→ x ex−1.
Q1 Montrez que f poss`ede une limiteℓ`a droite de 0. Vous donnerez la valeur de cette limite.
◮Nous consid´erons d´esormais quef a ´et´e prolong´ee par continuit´e `a droite de 0, en d´ecidant quef(0) =ℓ.
Q2 Montrez que f est de classeC∞ sur ]0,+∞[.
Q3 Explicitez f′(x), pourx >0.
Q4 Montrez que f′ poss`ede une limiteλ`a droite de 0. Vous donnerez la valeur de cette limite.
Q5 Montrez que f(x) poss`ede une limite quandxtend vers +∞. Q6 Dressez le tableau des variations def.
Q7 Donnez l’allure de la courbe repr´esentative de f. Q8 Explicitez f′′(x).
Q9 Montrez que f est convexe.
Q10 Montrez que les relationsu0= 0 etun+1=f(un) d´efinissenteffectivement une suite de r´eels.
Q11 Montrez que l’´equationf(x) =xposs`ede une et une seule solution dansR∗+. Q12 Pourx>0, prouvez la majoration¯
¯f′(x)¯
¯6 1 2.
Q13 Montrez que la suite de terme g´en´eralun converge ; vous pr´eciserez sa limite.
Q14 ⋆⋆ Montrez que f est de classe C∞ sur [0,+∞[. Indication : raisonnez par r´ecurrence, en appliquant la formule deLeibniz`a la formulex= (ex−1)f(x).
[Devoir 2007/05] Compos´e le 19 avril 2008
