D176 – Le circuit des cinq villages [**** à la main]
Solution
1ère partie : démontrons que les parcours ABCO et ADEO ont même kilométrage.
L’égalité des deux parcours résulte du théorème d’Urquhart - le théorème le plus « élémentaire » de la géométrie euclidienne - dont il existe plusieurs mentions et démonstrations sur Internet. Voir par exemple :
http://mathworld.wolfram.com/UrquhartsTheorem.html http://sylvester.math.nthu.edu.tw/d2/geom/most-
elementary/The%20Most%20Elementary%20Theorem%20of%20Euclidean%20Geometry.pdf http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200616.pdf
https://nrich.maths.org/discus/messages/67613/Urquhart_Theorem-68390.pdf http://mathstat.carleton.ca/~williams/papers/pdf/087.pdf
Nous donnons ci-après la démonstration géométrique disponible sur le forum du professeur Wu.
Voir : http://www.ocf.berkeley.edu/~wwu/cgi-
bin/yabb/YaBB.cgi?board=riddles_medium;action=display;num=1177005482
Par hypothèse, on a AB + BO = AD + DO. On trace le point P sur la droite AC du même côté que C par rapport à B tel que BP = BO puis le point Q sur le droite AE du même côté que E par rapport à D tel que DQ = DO.
Le centre X du cercle exinscrit au triangle ABE tangent aux côtés AE et BE est à
l’intersection des bissectrices des angles BAE et CBE tandis que le centre Y du cercle exinscrit au triangle ACD tangent aux côtés AC er CD est à l’intersection des bissectrices des angles CAD et CDE.
Or les trois triangles APQ, BOP et DOQ sont isocèles par construction. Il en résulte que les bissectrices des angles PAQ (= BAE = ACD), CBE et CDE sont les
médiatrices des segments PQ, OP et OQ. Celles-ci sont concourantes en un point O’ qui est le centre du cercle circonscrit au triangle OPQ. Les points X et Y sont donc confondus au point O’ qui est le centre d’un cercle tangent aux quatre droites portant les côtés AC,CD , AE et BE.
Les points de tangence sont respectivement R,S,T et U.
Dès lors le parcours ABCO est égal à AR + SO tandis que le parcours ADEO est égal à AT + UO. Comme AR = AT et OS = OU, les deux parcours ont bien même longueur.
2ème partie : détermination des huit distances entières distinctes AB, BC , AD, DE, OB, OC, OD et OE.
Posons AB = b, BC = c, AD = d , DE = e, OB = p, OC = q, OD = r et OE = s avec b, c, d, e, p, q, r, s entiers.
Ces huit variables ont les propriétés suivantes : 1) les huit entiers sont distincts entre eux.
2) les triangles OBC et ODE sont rectangles de sommet O, les triplets (c, p, q) et (e, r , s) sont pythagoriciens avec c et e mesurant les hypoténuses.
3) AB + BO = AD + DO s’écrit b + p = d + r. L’égalité des parcours ABCO et ADEO entraîne b + c + q = d + e + s. D’où la relation obtenue par différence des deux égalités, c + q – p = e + s – r.
4) BC et DE se coupant en A, on a l’inégalité
OE OD OB
OC qui entraîne qs – pr > 0.
5) grâce au théorème de Thalès, on sait calculer AB = b et AD = d en fonction des six autres variables, ce qui donne b =
pr qs
) s p (
cr et d =
pr qs
) r q (
ep qui doivent être deux
entiers.
6) la somme b + c + q + s + e + d est de l’ordre de grandeur d’une courte étape du Tour de France, ce qui revient à écrire b + c + q + s + e + d < 200
En partant des triplets pythagoriciens primitifs dont le plus petit côté de l’angle droit va en croissant, on obtient un tableau qui permet de repérer toutes les paires de triplets ( c, p, q) et (e, r, s) qui satisfont la propriété 3) puis l’on retient les seules paires qui satisfont les cinq autres propriétés :
Deux paires de triplets identifiées par les cases vertes et bleues satisfont les six propriétés et l’on obtient les distances suivantes :
AB = 30, BC = 20, AD = 34, DE = 17, OB = 12, OC = 16, OD = 8 et OE = 15. Longueur totale = 132 kms.
AB = 50, BC = 25, AD = 65, DE = 13, OB = 20, OC = 15, OD = 5 et OE = 13. Longueur totale = 180 kms.
Bien entendu, on obtient deux autres configurations possibles en intervertissant les points B et D d’une part, C et E d’autre part avec, par exemple, AB = 34, BC = 17, AB = 30, etc….
NB Un programme informatique simple permet de retrouver toutes ces solutions et de vérifier qu’il n’y en a pas d’autres.
