H136 – Randonnées bourbonnaises (1er épisode) [*** à la main]
La Montagne bourbonnaise comporte un réseau de sentiers de randonnée pédestre qui relient entre eux 10 villages (vi, i = 1,2,..,10) avec les caractéristiques suivantes :
C₁ : deux villages quelconques sont reliés par un sentier au plus,
C₂ : il n’y a pas de sentier qui relie un village à lui-même (absence de boucle), C₃ : tout circuit de randonnée passe par cinq villages au moins,
C₄ : deux sentiers distincts ne se rencontrent jamais en dehors des villages.
Q₁ Le réseau contient le plus grand nombre possible s₁ de sentiers compatible avec ces quatre caractéristiques.
Déterminer s₁ et donner une représentation graphique du réseau correspondant R₁ qui rend maximum le nombre de circuits de randonnée distincts. Existe-t- il dans ce réseau R₁ un circuit qui passe par les dix villages sans traverser deux fois le même village?
Q₂ La Communauté de villages décide de reconfigurer le réseau de sentiers de sorte que deux sentiers distincts peuvent désormais se croiser en dehors des villages. Les trois premières caractéristiques C₁,C₂ et C₃ sont maintenues et dans tout circuit de randonnée passant par cinq villages au moins, on s'interdit de changer de sentier lorsque celui-ci croise un ou plusieurs autres sentiers. Déterminer le plus grand nombre possible s₂ de sentiers dans le nouveau réseau et donner une représentation graphique du réseau R₂ qui comporte le minimum de croisements. Comment peut-on passer de R₁ à R₂ avec le minimum de modifications?
Solution proposée par Bernard Vignes Q₁
Il est naturel de chercher un intervalle à l'intérieur duquel se situe le plus grand nombre s₁ de sentiers compatible avec les quatre caractéristiques.
Un majorant s'obtient en considérant les propriétés d'un graphe planaire. En effet comme deux sentiers distincts ne se rencontrent jamais en dehors des villages, il en résulte que le graphe associé se représente sur un plan sans qu'aucune arête n'en croise une autre. La formule d'Euler n ‒ a + f = 2 dans laquelle n désigne le nombre de sommets, a le nombre d'arêtes et f le nombre de faces, peut alors s'appliquer.
Si tout circuit de randonnée passe par cinq villages au moins,on en déduit qu'il n'y a ni cycle triangulaire (avec 3 arêtes) ni cycle quadrilatéral (avec 4 arêtes).
Sachant qu'une arête du graphe borde au maximum deux faces, on a l'inégalité 2a ≥ 5f. D'où 5(a ‒ n + 2) ≤ 2a, ce qui donne 3a ≤ 5(n ‒ 2). Pour n = 10, on obtient a ≤ 13 . Un majorant de s₁ est donc 13 et l'on a 11 ≤ s₁ ≤ 13.
En agençant quatre pièces à contour pentagonal ou hexagonal comme dans un jeu de Tangram, on obtient aisément des configurations avec 10 sommets (A à J) et 13 arêtes (AB,BC,CD,etc...) .
Un minorant est aisément obtenu avec un décagone régulier et une diagonale joignant deux sommets opposés. Il y a 10 sommets avec 10 arêtes bordant le décagone + la diagoanle soit au total 11 sentiers. Il y a trois circuits dont deux contiennent six sentiers et le troisième est le périmètre lui-même du décagone
figure n°1 figure n°2 figure n°3
Les trois figures ci-dessus en sont une illustration. Elles contiennent toutes 14 circuits distincts obtenus en prenant les pièces une par une ou deux par deux ou trois par trois ou en considérant le contour extérieur des quatre pièces assemblées.
Par exemple la figure n°1 donne 14 circuits distincts qui se décomposent de la manière suivante:
- les 4 circuits des quatre faces: ABHGFEA,BCDIHB,FGHIJF et DEFJID
- les 6 circuits obtenus en juxtaposant deux faces: ABHIJFEA, ABHGFJIDEA, ABCDIHGFEA, BCDIJFGHB, BCDEFJIHB, DEFGHID.
- les 3 circuits obtenus en juxtaposant trois faces : ABHIDEA, ABCDIJFEA, BCDEFGHB. La juxtaposition des trois faces ABHGFEA,BCDIHB et DEFJID est exclue.
- le contour extérieur ABCDEA avec ses cinq arêtes qui contient les quatre faces.
Dans la figure n°2, il y a 5 circuits obtenus en juxtaposant deux faces et 4 circuits avec la juxtaposition de trois faces soit au total 4 + 5 + 4 + 1 = 14 circuits distincts.
Dans les trois figures, il existe un parcours qui permet d'aller du village A au village J en passant une fois et une seule par chacun des autres villages mais il est impossible de parcourir un circuit hamiltonien qui ramène au point de départ.
Le circuit le plus complet passe par 9 villages, par exemple : ABCDIHGFEA dans la figure n°1, ABCDEIHGFA dans la figure n°2 et ABCDEFJIHA dans la figure n°3.
Q₂
Les graphes qui ne contiennent ni circuits triangulaires ni circuits quadrilatéraux ont donné lieu à des analyses approfondies, par exemple: Extremal Graphs without Three-Cycles or Four-Cycles, dans lesquelles des formules expriment en fonction du nombre n de sommets le nombre maximum f(n) d'arêtes du graphe pour les petites valeurs de n oules bornes d'un intervalle à l'intérieur duquel se situe f(n) pour les valeurs élevées de n.
Sans reprendre ces formules théoriques, on peut établir la cartographie des réseaux pour n = 5,6,7,8,9 et 10 villages qui a un maximum k de sentiers sans avoir de circuits C₃ et C₄ et l'on obtient les graphes suivants:
Pour n = 10, on a k = 15. On peut donc ajouter au maximum deux sentiers au réseau défini dans Q₁ et configurer un réseau de 15 sentiers.
Dans la figure ci-dessus pour n = 10 et k = 15, les 7 points d'intersection des arêtes peuvent être ramenées à 2 seulement comme cela se vérifie avec la figure n°3 dans laquelle il existe deux paires de points (C,G) et (D,I) situés une distance de 4 arêtes.
D'où le graphe ci-contre qui illustre le passage du réseau R₁ au réseau R₂ avec le minimum de modifications.
