Diophante H154 Randonnées bourbonnaises
Selon le cahier des charges, chaque réseau est un arbre de N sommets (hameaux) et N-1 arêtes (sentiers). Les longueurs des sentiers, distinctes deux à deux, mesurent de p à p + (N- 1) kilomètres (p est un entier naturel non nul). Le nombre total de parcours est (N-1)N/2.
Colorions chaque hameau en bleu (le nombre total est B) ou en rouge (le nombre total est R). B + R = N. Commençons, au hasard, par un premier hameau que nous colorions en bleu.
Ensuite, colorions deux hameaux voisins de la même couleur si, et seulement si, la longueur du sentier qui les joint est paire (sinon, nous les colorions d’une couleur différente). La longueur d’un parcours est paire si, et seulement si, ses extrémités sont deux hameaux de la même couleur (la couleur des hameaux change un nombre pair de fois). Ainsi, le nombre total des parcours de longueur impaire est BR. Le nombre total des parcours de longueur paire, lui, est BR ou BR + 1 selon la parité de (N-1)N/2 (les longueurs des sentiers sont consécutives). Ou (N-1)N/2 = 2 BR soit N = (B-R)2, ou (N-1)N/2 = 2 BR + 1 soit N = (B-R)2 + 2.
N doit être ou un carré parfait, ou un carré parfait plus 2.
N = 7 n’étant pas de l’une de ces deux formes, l’entreprise ne peut pas installer un réseau dans le bourg de Saint-Pourçain-sur-Sioule dans la Limagne.
N = 6 = 22 + 2 mérite d’être étudié. Six types d’arbres sont possibles :
Effectivement, en considérant le 5ème type d’arbre à partir de la gauche, pour p = 1, l’entreprise peut installer un réseau dans le bourg de Mayet-de-Montagne dans la Montagne bourbonnaise :
Jean-Louis Legrand
