A2853. La formule surprise
Déterminer le produit des solutions réelles de l’équation
Solution proposée par Gaston Parrour
Notons A(x) = x² – 7x +11 et B(x) = x² – 13x +42 les 2 polynômes figurant dans l'expression donnée on a B(x) = (x-6) (x-7)
→ les racines x = 6 et x= 7 ne sont pas racines de A(x) , donc
==> x1 = 6 et x2= 7 sont solutions de l'équation proposée (avec A(6)0 = A(7)0 = 1 ) Autres racines xi (≠ 6 ou 7) entières (*) ?
→ Pour de telless xi, B(xi) = (xi-6)(xi-7) est toujours un nombre pair → B(xi) = 2mi Donc l'égalité proposée ne peut être réalisée, avec des xi réels , que si
A(xi) =1 ou A(xi) = -1
avec x²-7x+11 = 1 → x3 = 2 et x4 = 5 avec x²-7x+11 = -1 → x5 = 3 et x6 = 4
(*) Considérer la possibilité de racines (notées yi) non entières, revient à considérer une égalité de la forme A(yi) B(yi) = 1
Alors r = B(yi) est un réel quelconque (rationnel non entier, irrationnel, …) Et cela conduit à des racines ''r-ièmes'' de l'unité non réelles dans ce cas général Conclusion
Les racines réelles déterminées ci-dessus ont pour produit ==> P(i=1,6) xi = 7 !
