A2836. Déradicalisation
Solution proposée par Gaston Parrour
Notation : Les entiers n à exposants rationnels p/q sont notées (n)p/q Q1 Trouver trois entiers k,p et q > 0 solution de l'égalité proposée [12 + 7x(3)1/2 ]1/2 = (p)1/k + (q)1/k En élevant cette égalité au carré, on obtient
12 + 7x(3)1/2 = (p)2/k + (q)2/k + 2x(pq)1/k Le multiple de 2 qui figure au second membre suggère de poser (pq)1/k = 6 (a) et donc (p)2/k + (q)2/k = 7x(3)1/2 (b)
En élevant les deux membres de (a) au carré, ce système revient à déterminer deux nombres (p)2/k et (q)2/k connaissant leur somme S =7x(3)1/2 et leur produit P =36 → Ces deux nombres sont les solutions de l'équation du second degré associée X2 – 7x(3)1/2 + 36 = 0 → X1 = (p)2/k = 4x(3)1/2 X2 = (q)2/k = 3x(3)1/2 Puisque p et q sont des entiers, il faut que 1/ 2 x k/2 soit un entier m → d'où, pour les valeurs de k permises , k = 4m ,
p = [ 4x(3)1/2 ]2m = 42m x 3m q = 32m x3m Par exemple
m = 1 k = 4 auquel correspondent p = [ 4x(3)1/2 ]2 = 48 q = [3x(3)1/2]2 = 27 , m = 2 k = 8 auquel correspondent p = [ 4x(3)1/2 ]4 = 256x9 q = [3x(3)1/2]4 = 81x9 , etc ...
Conclusion Il y a une infinité de triplets (k p q) solutions de l'égalité proposée : avec k = 4m (m entier) → p = (16x3)m et q = (9x3)m Un triplet solution est par exemple ( k p q ) = ( 4 48 27)
Q2 Trouver un entier k et deux rationnels u et v solution de l'égalité proposée En élevant l'égalité proposée au carré, on a
51 + 13x(17)1/2 = (u)2/k + (v)2/k + 2(uv)1/k (1) Avec u = p/q et v = r/s (p q r s sont des entiers > 1) , l'égalité (1) devient 51 + 13x(17)1/2 = (p/q)2/k + (r/s)2/k + 2(pr/qs)1/k (2) → L'absence de terme multiple de 2 à gauche suggère de poser
q1/k x s1/k = 2 (N.B. D'autres choix seraient possibles comme q1/k = 2 et s1/k | p1/k, …) Avec ce choix, on a par exemple :
q1/k = 2 et s1/k = 1 → impossible car s > 1 ici
ou bien encore q1/k =(2)1/2 et s1/k = (2)1/2 (N.B. A priori, ici aussi, d'autres ''partages'' sont possibles) → Avec q1/k =(2)1/2 et s1/k = (2)1/2 deux possibilités d'identification des éléments à gauche et à droite de (2)
cas 1
p2/k + r2/k = 2 x 13x(17)1/2 et p1/kxr1/k = 51
cas 2 p2/k + r2/k = 2x51 et p1/kxr1/k = 13x(17)1/2
On doit ici déterminer deux nombres p2/k et r2/k connaissant leur somme et leur produit → ils sont solutions d'une équation du second degré
Dans cas 1
X2 – 2x13x(17)1/2X + 512 = 0
racines → X1 = p2/k = 17x(17)1/2 X2 = r2/k = 9x(17)1/2 Puisque p et r sont des entiers k/2x1/2 = m (un entier) → k = 4m
Avec cela → p = (17)3m et r = (9)2m x (17)m et q et s selon le choix ci-dessus → q = (2)k/2 = (2)2m s = (2)k/2 = (2)2m
D'où un jeu de solutions possibles pour les rationnels u et v associés à l'entier k = 4m → u = (173/4)m et v = (92x17/4)m
Par exemple
m = 1 → k = 4 u = 173/4 v = 92x17/4 ce triplet est solution de l'égalité proposée Dans cas 2
L'équation du second degré associée est
X2 – 2x51X + 169x17 = 0
Cette équation à discriminant négatif n'a pas de racines réelles
Conclusion Il y a une infinité de triplets (k u v) , k entier et u et v rationnels, solutions de l'égalité proposée Les éléments de tels triplets sont de la forme
k = 4m u = (173/4)m v = (92x17/4)m
Un triplet solution est par exemple (k u v) = (4 (17/4)x172 (17/4)x92)
Q3 Trouver trois nombres rationnels a,b,c solution de l'égalité proposée Avec A = [ (2)1/3 – 1 ]1/3 → A3 = [ (2)1/3 – 1 ]
et A3 x [(2)2/3 + (2)1/3 + 1] = 2 – 1 = 1 (1) Le facteur [(2)2/3 + (2)1/3 + 1] est aussi (en multipliant haut et bas par 3)
(1/3) x [(2 + 3x(2)2/3 + 3x(2)1/3 + 1] = (1/3) x [ (2)1/3 + 1 ]3 Et l'égalité (1) s'écrit, après avoir pris la racine cubique des 2 membres,
A x (1/3)1/3 x [ (2)1/3 + 1 ] = 1 (2) Et, avec une identité analogue à celle utilisée en (1) , on a
[ (2)1/3 + 1 ] x [ (2)2/3 – (2)1/3 + 1 ] = [(2)1/3]3 + 1 = 3 Avec cela l'égalité (2) s'écrit
A x (1/3)1/3{ 3 / [ (2)2/3 – (2)1/3 + 1 ] } = 1 (3) D'où
A = (1/3)2/3 x [ (2)2/3 – (2)1/3 + 1 ] A = (4/9)1/3 - (2/9)1/3 + (1/9)1/3
Conclusion Les trois rationnels a, b , c tels que A = [ (2)1/3 – 1 ]1/3 s'écrive sous la forme indiquée, sont a = 4/9 b = - 2/9 c = 1/9
