E421-Nim -Variante de Wythoff

E421-Nim -Variante de Wythoff Solution

On appelle A le joueur qui joue en premier et B le deuxième joueur. Pour identifier les positions initiales gagnantes ou perdantes pour A, le plus simple est de partir des deux tas minimaux (1,1) puis d’ajouter un jeton à chaque étape de l’analyse.

On désigne :

- par G et P respectivement les positions gagnante et perdante pour A, - par g et p les positions gagnante et perdante pour B

-

Quand A joue le premier, la position initiale : (1,1) est évidemment G ;

(1,2) est P car quels que soient les jetons enlevés par A, B se retrouve devant une position g (1,3) est G car A peut enlever un jeton du 2^ème tas et laisser à B la position (1,2) qui est p (2,3) est G car A peut enlever un jeton de chaque tas pour laisser à B à nouveau (1,2) (1,4) et de manière générale (1,a) avec a>2 est G car A peut enlever a-2 jetons de façon à laisser à B la position (1,2)

(2,4) comme (2,b) avec b>4 sont G car A peut prendre 3 ou b-1 jetons du 2^ème tas pour laisser la position (1,2)

(3,4) est G car A peut prendre 2 jetons de chaque tas pour laisser la position (1,2)

(3,5) est P car quels que soient les jetons enlevés par A, B se retrouve devant une position g (3,6) comme (3,c) avec c>6 sont G car A peut enlever 1 ou plus généralement c-5 jetons pour laisser à B une position (3,5) qui est p.

(4,5) et (4,6) sont G car A peut prendre 3 jetons de chaque tas dans le 1^er cas et 1 jeton de chaque tas dans le 2^ème tas pour laisser à B une position (1,2) ou (3,5) qui sont p.

(4,7) est P car quels que soient les jetons enlevés par A, B se retrouve devant une position g

…..

En poursuivant le même type de raisonnement, on est en mesure de trouver la séquence des positions perdantes pour A (identifiées en italique et en caractères bleus ci-dessus) qui sont les suivantes:

(1,2) (3,5) (4,7) (6,10) (8,13) (9,15) (11,18) (12,20) (14,23) (16,26) (17,28) (19,31) (21,34) (22,36) ….

L’abaque ci-après donne jusqu’au rang n° 100 la série complète des positions initiales perdantes en fonction des nombres de jetons a et b des 1^er et 2^ème tas avec a < b:

Des dizaines d’articles (W.A.Wythoff, Robert Silber, Martin Gardner,…) ont été écrits sur les deux séquences a et b et leurs très curieuses propriétés :

- On constate tout d’abord que b est la somme du nombre a et de son rang. Ainsi dans le 6^ème couple (9,15), b=15=9+6. Si on considère le somme a+b, elle est égale à a dans le

rang a b n*phi [n*phi] n*phi^2 rang a b n*phi [n*phi] n*phi^2

1 1 2 1,6180 1 2,6180 51 82 133 82,5197 82 133,5197

2 3 5 3,2361 3 5,2361 52 84 136 84,1378 84 136,1378

3 4 7 4,8541 4 7,8541 53 85 138 85,7558 85 138,7558

4 6 10 6,4721 6 10,4721 54 87 141 87,3738 87 141,3738

5 8 13 8,0902 8 13,0902 55 88 143 88,9919 88 143,9919

6 9 15 9,7082 9 15,7082 56 90 146 90,6099 90 146,6099

7 11 18 11,3262 11 18,3262 57 92 149 92,2279 92 149,2279

8 12 20 12,9443 12 20,9443 58 93 151 93,8460 93 151,8460

9 14 23 14,5623 14 23,5623 59 95 154 95,4640 95 154,4640

10 16 26 16,1803 16 26,1803 60 97 157 97,0820 97 157,0820

11 17 28 17,7984 17 28,7984 61 98 159 98,7001 98 159,7001

12 19 31 19,4164 19 31,4164 62 100 162 100,3181 100 162,3181

13 21 34 21,0344 21 34,0344 63 51 114 101,9361 101 164,9361

14 22 36 22,6525 22 36,6525 64 53 117 103,5542 103 167,5542

15 24 39 24,2705 24 39,2705 65 55 120 105,1722 105 170,1722

16 25 41 25,8885 25 41,8885 66 56 122 106,7902 106 172,7902

17 27 44 27,5066 27 44,5066 67 58 125 108,4083 108 175,4083

18 29 47 29,1246 29 47,1246 68 59 127 110,0263 110 178,0263

19 30 49 30,7426 30 49,7426 69 61 130 111,6443 111 180,6443

20 32 52 32,3607 32 52,3607 70 63 133 113,2624 113 183,2624

21 33 54 33,9787 33 54,9787 71 64 135 114,8804 114 185,8804

22 35 57 35,5967 35 57,5967 72 66 138 116,4984 116 188,4984

23 37 60 37,2148 37 60,2148 73 67 140 118,1165 118 191,1165

24 38 62 38,8328 38 62,8328 74 69 143 119,7345 119 193,7345

25 40 65 40,4508 40 65,4508 75 71 146 121,3525 121 196,3525

26 42 68 42,0689 42 68,0689 76 72 148 122,9706 122 198,9706

27 43 70 43,6869 43 70,6869 77 74 151 124,5886 124 201,5886

28 45 73 45,3050 45 73,3050 78 76 154 126,2067 126 204,2067

29 46 75 46,9230 46 75,9230 79 77 156 127,8247 127 206,8247

30 48 78 48,5410 48 78,5410 80 79 159 129,4427 129 209,4427

31 50 81 50,1591 50 81,1591 81 80 161 131,0608 131 212,0608

32 51 83 51,7771 51 83,7771 82 82 164 132,6788 132 214,6788

33 53 86 53,3951 53 86,3951 83 84 167 134,2968 134 217,2968

34 55 89 55,0132 55 89,0132 84 85 169 135,9149 135 219,9149

35 56 91 56,6312 56 91,6312 85 87 172 137,5329 137 222,5329

36 58 94 58,2492 58 94,2492 86 88 174 139,1509 139 225,1509

37 59 96 59,8673 59 96,8673 87 90 177 140,7690 140 227,7690

38 61 99 61,4853 61 99,4853 88 92 180 142,3870 142 230,3870

39 63 102 63,1033 63 102,1033 89 93 182 144,0050 144 233,0050

40 64 104 64,7214 64 104,7214 90 95 185 145,6231 145 235,6231

41 66 107 66,3394 66 107,3394 91 97 188 147,2411 147 238,2411

42 67 109 67,9574 67 109,9574 92 98 190 148,8591 148 240,8591

43 69 112 69,5755 69 112,5755 93 100 193 150,4772 150 243,4772

44 71 115 71,1935 71 115,1935 94 101 195 152,0952 152 246,0952

45 72 117 72,8115 72 117,8115 95 103 198 153,7132 153 248,7132

46 74 120 74,4296 74 120,4296 96 105 201 155,3313 155 251,3313

47 76 123 76,0476 76 123,0476 97 106 203 156,9493 156 253,9493

48 77 125 77,6656 77 125,6656 98 108 206 158,5673 158 256,5673

49 79 128 79,2837 79 128,2837 99 110 209 160,1854 160 259,1854

50 80 130 80,9017 80 130,9017 100 111 211 161,8034 161 261,8034

(a+b)ième couple. Les valeurs de a s’obtiennent en «bouchant » les trous laissés par b, c’est à dire en retenant à chaque rang le plus petit entier positif non utilisé dans les deux séquences. C’est ainsi que quand les valeurs 1,3,4,6,8 ont été prises par a, de son côté b a pris les valeurs 2,5,7,10,13. Le premier entier non utilisé est 9 qui sera la valeur de a dans le 6^ème couple.

- W.A. Wythoff a été le premier à découvrir et démontrer que les nombres de la séquence a sont les parties entières des multiples du nombre d’or ( 51)/2 et que ceux de la séquence b sont les parties entières des multiples du carré du nombre d’or

3)/2 5

2 ( 

 . Les colonnes intitulées phi et phi2 du tableau ci-dessus permettent de vérifier cette propriété.

- Qui dit « nombre d’or », pense à « suite de Fibonacci » :1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,….

dans laquelle chaque nombre après les deux premiers est obtenu en faisant la somme des deux nombres qui le précèdent. Une suite de Fibonacci généralisée est de la même façon avec une paire quelconque de deux nombres entiers pour démarrer la suite. Dans

n’importe quelle suite de Fibonacci, le rapport de deux nombres consécutifs tend vers le nombre d’or  quand le nombre de termes tend vers l’infini. On observe que les

séquences a et b sont faites d’une juxtaposition de suites de Fibonacci que l’on a identifiées par des couleurs : en jaune, on retrouve la suite « primaire »

1,2,3,5,8,13,21,34,55,… puis en vert clair la suite : 4,7,11,18,29,47,76, …. puis en orange la suite : 6,10,16,26,42,68,110,…. et ainsi de suite. On peut même constater que les premiers termes de ces suites 1,4,6,9,12, ont les rangs 1,3,4,6,8,…qui sont

rigoureusement identiques aux termes de la séquence a elle-même.

- Existe-t-il une formule générale qui permet de déterminer instantanément si une position initiale est gagnante ou perdante? La réponse est oui : c’est la « notation de Fibonacci » qui a été trouvée par R. Silber, R. Gellar et L. Carlitz mais qui ne sera pas donnée dans cette rubrique en raison de sa relative complexité. A noter qu’un simple tableur permet d’étendre l’abaque ci-dessus à n’importe quelle valeur « raisonnable » de n.

Exemples chiffrés :

Si les deux tas comportent initialement 12 et 20 jetons, c’est une position perdante pour le joueur A et il n’y a pas de stratégie gagnante pour lui… sauf à espérer que B ignore la séquence des positions perdantes.

Si les deux tas comportent initialement x et y jetons avec xy, quatre possibilités sont à considérer :

1) x est un nombre de la deuxième séquence b.

Par exemple x = 123 et y =186. Le coup gagnant pour A consiste à remplacer y par le terme de la séquence a qui forme un couple avec x, en l’occurrence (76,123). A enlève donc 110 jetons du 2^ème tas.

2) x est un nombre de la première séquence a tandis que y est supérieur au terme correspondant de la deuxième séquence b.

Par exemple x = 58 et y=104 . Le coup gagnant pour A consiste à prélever 15 jetons du 2^ème tas pour aboutir à la position (58,89).

3) x est un nombre de la première séquence a tandis que y est inférieur au terme correspondant de la deuxième séquence.

Par exemple x = 58 et y=86 . La différence des deux termes est 28. Le coup gagnant pour A consiste à créer le couple de rang 28 : (45,73) en prélevant 13 jetons dans chacun des deux tas.

4) x est un nombre de la première séquence a et y est le correspondant dans la deuxième séquence b. A a perdu sauf à espérer que son adversaire n’a pas percé les arcanes de la variante de Wythoff. ..