E438 : La stratégie gagnante
Zig et Puce fixent un nombre entier plafond N, puis choisissent alternativement un nombre inférieur ou égal à N qui n'est pas diviseur d'un nombre déjà choisi. Le perdant est celui qui ne peut plus jouer. Qui a une stratégie gagnante?
Dans ce type de problème, l’un des deux a obligatoirement une stratégie gagnante. Si l’on remarque que seul le premier à jouer peut annoncer 1 (qui sera diviseur de tout nombre annoncé auparavant), on peut montrer par l’absurde que le second à jouer ne peut pas avoir de stratégie gagnante: en effet, si le premier annonce 1 et le second k, on est dans la même situation que si le premier avait annoncé k, les rôles étant inversés.
C’est donc le premier joueur qui a une stratégie gagnante; l’élaboration de cette stratégie est un problème beaucoup plus compliqué...
