Montrer que si l’on peut trouver n+ 1 pointsp0

UNIVERSITE DENIS DIDEROT 1999–2000

Premier cycle M.T. 242

Devoir n^o 4

I. On note E^d l’espace vectoriel euclidien R^d muni du produit scalaire h·, ·i habituel, d´efini pour deux vecteurs x, y de R^d par :

hx , yi=

d

X

l=1

xlyl,

o`u l’on a ´ecrit les vecteurs x et y dans la base canonique e_l, soit x = Pd

l=1x_le_l et y = Pd

l=1y_le_l. Pour n entier ≥ 1 et i et j entiers allant de 0 `a n (i < j), on se donne n(n+ 1)/2 nombres r´eels (positifs) Di,j.

Question

Peut-on trouver n+ 1 points p0, . . . , pn dans un espace euclidien E^d tels que les distances mutuelles de ces points soient, pour tous les entiers i et j (avec i < j) entre 0 et n, d´etermin´ees par les ´egalit´es :

d(pi, pj) =kpi−pjk= Di,j.

1). Montrer que si l’on peut trouver n+ 1 pointsp0, . . . , pn de E^d tels que d(pi, pj) = D_i,j pour i < j entre 0 et n, la matrice r´eelle A (attention ! les indices i et j qui d´eterminent la place des coefficients de A vont de 1 `a n, il s’agit donc d’une matrice `a n colonnes etn lignes) :

A =−









...

· · · ¹₂(D²_i,j −D²_i,0−D²_j,0) · · · ...









est, dans la base canonique de Eⁿ, la matrice d’une forme bilin´eaire sym´etrique positive (pas forc´ement d´efinie).

2). Soit L une matrice `a n colonnes et m lignes. Montrer que la matrice ^tL L est, dans la base canonique de Eⁿ, la matrice d’une forme bilin´eaire sym´etrique positive, non n´ecessairement d´efinie (donner un exemple justifiant ce dernier point).

3). Soit A la matrice dans la base canonique d’une forme bilin´eaire positive (non n´ecessairement d´efinie) sur Eⁿ. Montrer qu’il existe une matrice ∆ diagonale de rang r :

∆ =























1 0 · · · 0 0 · · · 0 0 1 · · · 0 0 · · · 0 0 0 . .. 0 0 · · · 0 0 0 · · · 1 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 . .. 0 0 0 · · · 0 0 · · · 0























et une matrice inversible P telle que ^tP A P = ∆. En d´eduire qu’il existe une matrice L

`

a ncolonnes et r lignes telle que ^tL L = A.

4). Soient n≥1 entier et D_i,j pour i, j entiers (0≤i < j ≤n) n(n+ 1)/2 nombres r´eels positifs. Montrer que l’on peut trouver n+ 1 points p0, . . . , pn dans Eⁿ (mais pas dans E^d pour d ≤n−1) tels que les distances mutuelles de ces points soient, pour tous les entiers i et j (0≤i < j ≤n), d´etermin´ees par les ´egalit´es :

d(p_i, p_j) =kp_i−p_jk= D_i,j si et seulement si :

(∗) la matrice A introduite au 1) est d´efinie positive.

Dire ce qui se passe lorsque cette matrice est positive de rang r < n.

Observer que si l’on ne peut trouver dans Eⁿ des pointsp0, . . . , pn dont les distances mutuelles soient d´etermin´ees par les D_i,j, alors on ne peut trouver ces points dans aucun autre espace E^d.

5). Soit α r´eel >0, on d´efinit les nombres :

♠ D0,1 = D0,2 = D0,3 = 1, D1,2 = D1,3 = D2,3 =α.

a). Dire (choisir la m´ethode que vous pr´ef´erez) pour quels α on peut, pour tout triplet d’entiers r, s, t avec 0 ≤ r < s < t ≤ 3, trouver trois points p_r, p_s, p_t de E² tels que d(pr, ps) = Dr,s, d(ps, pt) = Ds,t et d(pr, pt) = Dr,t.

b). Donner une valeur α pour laquelle on peut trouver quatre points de E³ dont les distances mutuelles sont d´etermin´ees par ♠, puis donner une autre valeur de α qui r´eponde au a)., mais pour laquelle on ne peut trouver quatre points de E³ dont les distances mutuelles sont d´etermin´ees par ♠.

c). Pour quels α peut-on trouver quatre points de E² tels que leurs distances mutuelles soient d´etermin´ees par ♠ ? Des dessins !

A ne pas r´ediger. Pour la beaut´e de l’art.

Montrer que la condition (∗^{) ´equivaut `}a (en notante^∗_i la base duale de la base canoniquee_ideRⁿ⁺¹) : (∗∗) la matrice (n+1)×(n+1) not´ee D² qui a pour coefficients diagonaux 0 et pour autres coefficients (pouri6=jentre 0 etn) D²_i,j est la matrice d’une forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie n´egative sur le sous-espace vectoriel ker(e^∗₀+e^∗₁+···+e^∗_n).

II. Soit M une matrice r´eelle inversible.

1). Utilisant le I.2) et un th´eor`eme du cours, montrer qu’il existe une matrice or- thogonale O<sub>1</sub> et une matrice diagonale Γ (`a coefficients diagonaux strictement positifs) telle que :

tM M =^tO₁Γ O₁.

2). En d´eduire qu’il existe une unique matrice sym´etrique d´efinie positive B telle que :

B² = B B =^tM M.

3). Montrer qu’il existe une unique matrice orthogonale O2 telle que : M = O₂B.