E423- Nim -Variante à 3 joueurs

E423- Nim -Variante à 3 joueurs

Solution

C’est une extension avec trois joueurs du jeu proposé dans le problème E422 et qui se déroule avec deux joueurs, la règle du gagnant/perdant étant inversée. Cette fois-ci,celui qui prend le dernier jeton est le perdant. Est également perdant, celui qui est empêché de jouer.

Soient A,B,C les trois joueurs pris dans l’ordre de leur entrée dans le jeu.

Une première observation peut être faite : il peut toujours y avoir 6 jetons enlevés au cours de trois tours consécutifs .

- si A prend 1 jeton et B en prend 2, C peut prendre 3 jetons  total 6 jetons - si A prend 1 jeton et B en prend 3, C peut prendre 2 jetons  total 6 jetons - si A prend 2 jetons et B en prend 1, C peut prendre 3 jetons  total 6 jetons - si A prend 2 jetons et B en prend 3, C peut prendre 1 jeton  total 6 jetons - si A prend 3 jetons et B en prend 2, C peut prendre 3 jetons  total 6 jetons - si A prend 3 jetons et B en prend 2, C peut prendre 3 jetons  total 6 jetons -

Par conséquent, un joueur peut être certain de ne pas perdre si après chacun de ses propres tours, il laisse un nombre de jetons égal à 6*k+1 ou 6*k+2 ou 6*k+3. en effet ses adversaires ramassent à deux au moins trois jetons. De cette manière le joueur A qui démarre le jeu a une stratégie gagnante pour tout N6*k+1. En effet à partir de cette valeur, il n’a pas la

possibilité de ramener le nombre de jetons du tas à un multiple de la forme 6*(k-1)+2 = 6*k-4 ou 6*(k-1)+3=6*k-3.

Pour N=50, A prend un seul jeton. Le nombre de jetons restants est 49=6*8+1.Tous les trois tours A ramènera le tas à 43 puis 37 puis 31 jetons…. jusqu’à 1. B au tour suivant soit ramasse le dernier jeton soit ne peut pas jouer. C’est lui qui a perdu.