ALGO1 – Parcours en profondeur Fran¸cois Schwarzentruber February 7, 2021

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ALGO1 – Parcours en profondeur

Fran¸cois Schwarzentruber February 7, 2021

1 Parcours en profondeur g´ en´ erique dans un arbre

pre : un sommetsd’un arbre proc´edureexplorer(s)

pr´evisite(s)

pour tsuccesseur desfaire explorer(t)

postvisite(s) explorer(racine)

+

1 × 42

2 3

2 Repr´ esentations d’un graphe explicite

A

B

C

D

E

F

Matrice d’adjacence

A→ B→ C→ D→ E→ F →

A B C D E F

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓







0 0 0 0 0 0







Listes d’adjacence A→

B→ C→ D→ E→ F →

3 Algorithme g´ en´ erique

pre : un graphe orient´eG

proc´edureparcoursProfondeur(G) pour s∈S faire

vu[s] :=faux pour s∈S faire

sivu[s] =fauxalors explorer(s)

pre : un grapheGet un sommetsnon visit´e proc´edure explorer(G,s)

vu[s] :=vrai pr´evisite(s)

pour t successeur desfaire si vu[t] =fauxalors

explorer(G, t) postvisite(s)

pre : un sommets proc´edure pr´evisite(s)

pre[s] :=temps temps:=temps+1 pre : un sommets proc´edure postvisite(s)

post[s] :=temps temps:=temps+1

D´efinition 1 On appelle parcours en profondeur de G l’un des parcours de parcoursProfondeur(G).

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F Th´eor`eme 2 SoitG= (S, A) un graphe. Un parcours en profondeur surGtermine.

Th´eor`eme 3

• SiGest représenté par une matrice d’adjacence, un parcours en profondeur surGcoûteO(|S|²) opérations.

• SiGest représenté par des listes d’adjacence. un parcours en profondeur surGcoûteO(|S|+|A|) opérations.

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Démonstration. Regardons la complexité lorsqueGest représenté par des listes d’adjacence. La boucle principale du parcours s’exécuteO(|S|) fois. Pour tout sommet s, l’appelexplorer(s) n’est effectivement exécuté qu’une fois. Un appelexplorer(s) requiert| {t∈S, s→t}

| {z }

Es

|opérations, propre à l’appel. On a donc une complexité deO(Ps∈S|E_s|) =O(|A|) pour tout le calcul dans les appels explorer(...).

D’o`u une complexit´e totale enO(|S|+|A|).

4 Classification des arcs

Notation 4 Pour tout sommets, on note[s]sl’intervalle [pre[s], post[s]].

Proposition 5 (théorème des parenthèses)

Soientsett deux sommets. Les intervalles[s]set [t]tsont soit disjoints, ou alors l’un est inclus dans l’autre.

D´emonstration. Soits6=ttel quepre[s]< pre[t]. L’appel explorer(G, s) se fait donc avant explorer(G, t) :

• Soit l’appel de explorer(G, t) se fait lors de l’appel de explorer(G, s) : [s[t]t]s

• Soit l’appel de explorer (G, t) se fait apr`es la fin de l’appel de explorer(G, s) : [_s]_s[_t]_t

D´efinition 6 Consid´erons un parcours en profondeur d’un grapheG.

Un arcs→t deGest... quand dans la forˆet d’un parcours en profondeur... intervalles appelant explorer(s) appelle directementexplorer(t) [s[t]t]s

avant test un ancˆetre non p`ere des [_s[_t]_t]_s

arri`ere sest un descendant det [t[s]s]t

transverse tous les autres cas [t]t[s]s

Lemme 7 Soitu6=v deux sommets.

explorer(v) est appelé alors que l’appel de explorer(u) est en cours ssi, au moment où u est découvert, il existe un chemin deuà v composé uniquement de sommets non vus.

D´emonstration.

(⇒) explorer(u) appelleexplorer(u1) qui appelle . . . qui appelleexplorer(v) donc pour tout i,vu[ui] =faux et le cheminu→u₁→ · · · →v convient.

(⇐) Supposons qu’il existe un chemin u → u1 → · · · → v composé de sommets non vus au moment où u est découvert.

Soitile plus petit indice tel queexplorer(u_i) soit non appel´e. Pendant l’appelexplorer(u_i−1),vu[u_i] =faux etu_i−1→u_i existe doncexplorer(u_i) est appel´e. Contradiction.

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5 D´ etection de cycles

D´efinition 8 Un cycle est un chemin de longueur non nullev₀→v₁→. . . v_k →v₀, aveck≥1.

Définition 9 (Problème de détection de cycles)

• Entr´ee : un grapheG;

• Sortie : oui, ssi le grapheGposs`ede un cycle.

Proposition 10 Un graphe orienté contient un cycle ssi un parcours en profondeur possède un arc arrière.

D´emonstration.

(⇐) Si u → v est un arc arrière, alors explorer(G, v) appelle explorer(G, v1), qui appelle explorer(G, v2), . . . qui a appelé explorer(G, u), qui a testé vu[v] = true car u→ v. Donc le graphe contient le cycle suivant v→v₁→v₂→ · · · →u→v.

(⇒) Réciproquement, supposons qu’il y a un cyclev₀→ · · · →v_k →v₀. Considérons un parcours en profondeur et montrons qu’il y a un arc arrière. Soitil’indice tel quev_i soit le premier sommet exploré parmi les sommets du cycle. Il existe un chemin dev_i à v_i−1composé de sommets non vus.

D’après le lemme 7, explorer(v_i−1) est appelé alors que l’appelexplorer(v_i) est encore en cours. Quand v_i−1 est exploré, on avu[vi] =vrai doncv_i−1→vi est un arc arrière.

6 Tri topologique

Exemple 11 Le savant cosinus.

D´efinition 12 (probl`eme du tri topologique)

• Entr´ee : un grapheGacyclique ;

• Sortie : une extension lin´eaire6^`, i.e. 6^` est un ordre total tel que six→y dansGimpliquex6^`y.

Supposons (s→t). Dans un parcours, il n’y a pas d’arcs arri`eres, carGacyclique, voici les possibilit´es :

• s→test un arc appelant/avant : [s[t]t]s

• s→test un arc transverse : [_t]_t[_s]_s

Dans tous les cas, post[s]> post[t].

v s

w

q t

x

y r

u

valeurs post[.] ´elev´ees valeurs post[.] faibles Algorithme du tri topologique

• r´ealiser un parcours en profondeur.

• lire l’extension lin´eaire6` comme l’ordre d´ecroissant des valeurs depost[s] : x6`y ssipost[x]≥post[y]

Th´eor`eme 13 L’algorithme du tri topologique est correct.

D´emonstration. Car il n’y a pas d’arcs arri`ere.

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7 Composantes fortement connexes

7.1 D´ efinitions

SoitG= (S, A) un graphe orienté (pas forcément acyclique). On définit la relationsurSpar pour toutu, v∈S, uv ssi il existe un chemin deuà vet de v àu.

Proposition 14 est une relation d’´equivalence.

D´efinition 15 (composante fortement connexe) Une composante fortement connexe est une classe d’´equivalence de.

Exemple 16

v s

w

q t

x z

y r

u

D´efinition 17 (graphe quotient) On appelle graphe quotient deGle grapheG_|= (S⁰, A⁰) o`u

• S⁰ est l’ensemble des composantes fortement connexes deGet

• A⁰ l’ensemble des arˆetes (C, D) tel queC6=D et il existex, y∈CDavecx→^G y.

Proposition 18 G_| est acyclique.

D´emonstration. Absurde.

Exemple 1 Le graphe quotient du graphe ci-dessus est : {s, v, w} {q, t, y}

{x, z}

{r}

{u}

Morale : un graphe est un graphe acyclique de ses composantes fortement connexes.

7.2 Algorithme de Kosaraju

D´efinition 19 (Probl`eme du calcul des composantes fortement connexes)

• Entr´ee : un graphe orient´eG= (S, A);

• Sortie : l’ensemble des composantes fortement connexes deG.

D´efinition 20 (graphe inverse) Soit G= (S, A) un graphe. On appelle graphe inverse de G, le graphe G^t = (S^t, A^t) d´efini parS^t=S etA^t={(y, x),(x, y)∈A}.

Exemple 21

v s

w

q t

x z

y r

u v

s w

q t

x z

y r

u Algorithme de Kosaraju

1. r´ealiser un premier parcours en profondeur surG

⇒obtenir la listeL les sommets deGtri´ee par ordre d´ecroissant des valeurspost1[.] ;

2. r´ealiser un second parcours en profondeur surG^t avec la boucle principal parcourant les sommets dans l’ordre donn´e parL.

Théorème 22 On peut implémenter l’algorithme de Kosaraju en O(|S|+|A|) .

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Théorème 23 Les conposantes fortement connexes sont les arbres du deuxième parcours de l’algorithme de Kosaraju.

D´emonstration.

Etape 1: le´ 1^er parcours ressemble `a un tri topologique sur le graphe quotient de G.

SoitU ⊆S non vide. On pose :

• post₁(U) = max

s∈U post₁[s], ie l’instant `a partir duquel on a fini l’exploration deU. Lemme 24 SoitC etC⁰ deux composantes fortement connexes.

C→^G^|C⁰ implique post1(C)> post1(C⁰).

D´emonstration.

Soitule premier sommet visit´e deC∪C⁰.

• Siu∈C, alorspost1(C) =post1[u].

x y

u

C C⁰

En effet :

– post1(C)≥post1[u] par d´efinition;

– Pour toutv∈C, il existe un chemin deu`avet lors de l’exploration deu, tous les sommets du chemins sont non vus. Doncexplorer(G, v) a lieu lors de l’appel deexplorer(G, u). Doncpost1(v)≤post1[u]. En pas-

sant au maximum,

post₁(C) ≤ post₁[u].

Pour touts∈C⁰,post₁[s]< post₁[u] car de la mˆeme fa¸con, il existe un chemin deu`asavec des sommets non vus, et doncexplorer(G, s) a lieu lors de l’appel de explorer(G, u). Doncpost1(C⁰)< post1[u] =post1(C).

• Si par contreu∈C⁰, alors on apost1(C⁰) =post1[u].

x y u

C C⁰

un’appelle pas de sommets deC car il n’y a pas d’arcs qui relieC⁰ `a C. Ainsi pour tout s∈C, post1[s]>

post1[u]. Doncpost1(C)> post1(C⁰).

Etape 2: les arbres du second parcours sont les CFC.´ Montrons par récurrence que pour toutk, la propriétéPk qui dit

leskpremiers arbres obtenus pas le 2^`^eme parcours

sont des composantes fortement connexes deG.

• P0 est vraie : il n’y a pas d’arbres !

• Soitkstrictement plus petit que le nombre de composantes fortement connexes. SupposonsPk et montrons Pk+1. Le second parcours choisit le sommetxnon vus avec post1[x] maximal. NotonsCx la CFC contenant xet Axl’arbre issu dexdans le second parcours.

– Cx⊆Ax Quand l’exploration de xcommence, aucun sommet de Cx n’est vu (sinon, parPk, la CFC Cx aurait déjà été traité).

Ainsi, siy ∈C_x, il y a un chemin de sommets non vus dex`a y. La fonction explorer(x) appelle tous lesexplorer(y) doncy∈A_x.

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Cx

Ax

– A_x⊆C_x Par l’absurde, supposons qu’il existey ∈A_x\C_x. Alors explorer(x) appelle indirectement explorer(y) donc il existe un chemin dexà y dansG^t. Dans ce chemin, on notes le premier sommet qui sort deCx. Soitv∈Cx le prédécesseur desdans ce chemin.

Cx

Ax

x ...

v

s . . . y Cs

Dans G, on a s → v donc post₁(C_s) > post₁(C_x) avec C_s la CFC de s. Comme s est non vu, par P_k, la classe C_s est int´egralement non vu. Soit z le nœud (non vu) tel quepost₁(z) = post₁(C_s). On a,post1(z)> post1(Cx) = post1(x). Contradiction avec le fait que xest non vu tel que post1(x) soit maximal. DoncAx⊆Cx.

DoncAx=Cxet Pk+1 est vraie.

Par récurrence, on a montré Pk pour tout k entre 0 et le nombre de composantes fortement connexes. En particulier, sikest égal au nombre de composantes fortement connexes, on aPk.

8 Backtracking : force brute

8.1 Recherche d’une solution

pre : une séquence de choixsdans un arbre de décision post : une solution qui étendss’il en existe une,

ou impossible proc´eduresolution(s)

sisest une solutionretourner s pour tout choixc pour ´etendresfaire

s⁰ := solution(s.c)

sis⁰ 6= impossiblealorss⁰ retourner impossible

solution()

Théorème 25 Soitaest l’arité ethla hauteur de l’arbre de décision.

• La complexit´e temporelle est enO(a^h) .

• La complexit´e spatiale est enO(h) .

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8.2 Jeu ` a deux joueurs

pre : une positionsd’un arbre de jeu, un joueuri

post : vrai si le joueuriqui joue en sa une strat´egie gagnante proc´edurestrategieGagnante?(s,i)

sisest une position gagnante pour le joueuriretourner vrai sisest une position perdante pour le joueuriretourner faux pour tout coup des→tfaire

sistrategieGagnante?(t,¬i) est fauxalors retourner vrai

retourner faux strategieGagnante?( ,×)

Notes bibliographiques

Selon [CLRS09], on utilise le parcours en profondeur depuis 1950 en intelligence artificielle. C’est dans [HT73]

que Hopcroft et Tarjan font l’éloge du parcours en profondeur et l’utilisation de la représentation d’un graphe avec des listes d’adjacence. Knuth est le premier à donner un algorithme linéaire pour le tri topologique [Knu68].

Tarjan [Tar72] donne un algorithme en temps linéaire pour le calcul des composantes fortement connexe, mais son algorithme est difficile à expliquer. Une légende raconte que Kosaraju a inventé son algorithme présenté ici, car plus simple à expliquer et enseigner, tout en ayant une implémentation en temps linéaire. L’algorithme de Kosaraju est présenté dans [CLRS09] et [DPV08].

References

[CLRS09] Thomas H Cormen, Charles E Leiserson, Ronald L Rivest, and Clifford Stein.Introduction to algorithms.

MIT press, 2009.

[DPV08] Sanjoy Dasgupta, Christos H. Papadimitriou, and Umesh V. Vazirani. Algorithms. McGraw-Hill, 2008.

[HT73] John E. Hopcroft and Robert Endre Tarjan. Efficient algorithms for graph manipulation [H] (algorithm 447). Commun. ACM, 16(6):372–378, 1973.

[Knu68] Donald Ervin Knuth.The art of computer programming, Volume I: Fundamental Algorithms, 3rd Edition.

Addison-Wesley, 1997 (first edition in 1968).

[Tar72] Robert Endre Tarjan. Depth-first search and linear graph algorithms. SIAM J. Comput., 1(2):146–160, 1972.