Complexit´e
Fran¸cois Schwarzentruber 5 septembre 2020
1 Ordre de grandeur
10 100 1000 10000 100000 1000000
1 logn
n nlogn
n2 n3 2n
imm´ediat quasi imm´ediat quelques heures des ann´ees l’univers n’existe d´ej`a plus
2 Notation de Landau
Les fonctions sont toutes `a valeurs positives.
D´efinition 1 On dit qu’une fonctiong(n)est un O(f(n))s’il existe une constantec >0 telle que f(n)≤cg(n).
(majoration par f(n) `a une constante pr`es)
D´efinition 2 On dit qu’une fonctiong(n)est un Ω(f(n))s’il existe une constantec >0 telle que cf(n)≤g(n).
(minoration par f(n) `a une constante pr`es)
Proposition 3 Une fonctiong(n)est unΩ(f(n))sif(n)est unO(g(n).
D´efinition 4 On dit qu’une fonctiong(n)est un Θ(f(n))sig(n)est unO(f(n))et unΩ(f(n)).
Proposition 5
“g(n)est unO(f(n))” est une relation d’ordre partiel.
“g(n)est unΩ(f(n))” est une relation d’ordre partiel.
“g(n)est unΘ(f(n))” est une relation d’´equivalence.
Notation 6
On noteg(n) =O(f(n))pour “g(n)est unO(f(n))’.
On noteg(n) = Ω(f(n))pour “g(n)est unΩ(f(n))’.
On noteg(n) = Θ(f(n))pour “ g(n)est unΘ(f(n))’.
3 Exemples
3 est un Θ(1) est unO(logn) est unO(nlogn) est unO(n) est unO(n2) est unO(n3) 1 +|sinn| est un Θ(1) est unO(logn) est unO(nlogn) est unO(n) est unO(n2) est unO(n3)
|sinn| est unO(1) est unO(logn) est unO(nlogn) est unO(n) est unO(n2) est unO(n3) 4 logn+ 3 est un Ω(1) est un Θ(logn) est unO(n) est unO(nlogn) est unO(n2) est unO(n3) 4 logn+ 9 log logn est un Ω(1) est un Θ(logn) est unO(n) est unO(nlogn) est unO(n2) est unO(n3) 2(n+ 1) log(n+ 3) est un Ω(1) est un Ω(logn) est un Ω(n) est un Θ(nlogn) est unO(n2) est unO(n3) 2n+ 3 logn est un Ω(1) est un Ω(logn) est un Θ(n) est unO(nlogn) est unO(n2) est unO(n3)
(n(n+1)
2 est un Ω(1) est un Ω(logn) est un Ω(n) est un Ω(nlogn) est un Θ(n2) est unO(n3) 2n3+ 1000n2+ 5n est un Ω(1) est un Ω(logn) est un Ω(n) est un Ω(nlogn) est un Ω(n2) est un Θ(n3) 2n3+n2|sinn| est un Ω(1) est un Ω(logn) est un Ω(n) est un Ω(nlogn) est un Ω(n2) est un Θ(n3)
n2|sinn| − − − − − −
