E430 L’entier 2005 dans une variante de NIM
Variante 1 : solutions de Daniel Collignon ,Paul Voyer et Némésis
Dans le premier cas, on démontre aisément par récurrence que toute situation de valeur impaire est gagnante pour Théophile qui commence .C'est donc un jeu sans réflexion puisque la somme de 2 coups conserve la parité.
Dans le second cas, on démontre aussi par récurrence que toute situation dans laquelle le nombre inscrit au tableau est un multiple de 7 est perdante pour celui qui joue en premier .Théophile retranche donc 3 pour obtenir 2002 qui est un multiple de 7 et ensuite en fonction du choix de son adversaire, il fera en sorte d’aboutir à un nombre multiple de 7 sachant que 7
= 4+3, 14 = 11+3, 21 = 18+3 .
Variante 2
De manière générale avec un nombre N quelconque inscrit au départ, le joueur A qui joue le premier gagne si et seulement si N=3 ou N est pair tandis que le joueur B gagne pour tout entier impair N>3. Pour le démontrer, on raisonne par récurrence en démontrant que la proposition est vraie pour N=3,4,5,6 puis en supposant qu’elle est vraie jusqu’au rang N-1.
- pour N=3, le joueur A inscrit 1,2 et B ne peut pas jouer. A est gagnant.
- pour N=4, le joueur A inscrit 2,2 et là encore B ne peut pas jouer. A est gagnant.
- pour N=5, A est perdant car il ne peut laisser sur le tableau que (1,4) et (2,3) qui sont deux positions gagnantes pour B (cf supra).
- pour N=6, A est gagnent car il laisse 1,5 qui est une position perdante pour B (cf supra).
- si N est pair, A inscrit deux nombres 1 et N-1. Comme N-1 est impair, la position est perdante pour B d’après l’hypothèse sur la récurrence.
- Si N est impair, A écrit nécessairement un nombre pair et un nombre impair. Dès lors B peut rayer le nombre pair pour écrire deux nombres impairs. En continuant de cette façon, B est toujours en mesure de laisser sur le tableau des nombres impairs. La seule position critique pour B est celle où il laisserait un seul 3 accompagné de 1. Mais pour qu’il soit ainsi il faudrait qu’au tour précédent, A ait laissé (indépendamment des 1) soit 2 et 3 soit 4. Sur 2 et 3, B raye 3 pour inscrire 1,2 et gagner la partie au tour suivant. Sur 4, B raye 4 pour inscrire 2 et 2 et il gagne à nouveau. B peut donc toujours éviter la position critique faite d’un seul 3 et de 1.
Conclusion : avec N=2005 qui est un nombre impair, c’est Théophile qui gagne la partie car il est le second à jouer.
