Tabledesmatières Oscillateurs PhysiquePTLycéeJulesFerry

Oscillateurs

Objectifs: Mettre en pratique les conditions de stabilité pour réaliser des oscillateurs auto-entretenus.

Table des matières

I Oscillateurs quasi-sinusoïdaux 2

I.1 Principe et définition . . . 2

I.2 Exemple : l’oscillateur à pont de Wien . . . 2

I.3 Démarrage des oscillations . . . 3

I.4 Conditions de Barkhausen . . . 4

I.5 Limitation de l’amplitude des oscillations . . . 6

II Oscillateur à relaxation 8 II.1 Principe et définition . . . 8

II.2 Etude des différentes phases de fonctionnement . . . 9

II.3 Période des oscillations . . . 11

I Oscillateurs quasi-sinusoïdaux

La synthèse d’un signal est essentielle en électronique : le transport et la mise en forme de l’information sont assurés par des signaux dont on doit parfaitement maitriser la signature spectrale. Il est donc fondamental de savoir élaborer des grandeurs électriques de bonne qualité.

Nous allons voir que l’ALI permet, en utilisant des sources de tension continues, de réaliser divers générateurs de signaux variables. Génération de signaux sinusoïdaux dont le spectre est très proche d’un signal harmonique, ou signaux carrés et triangulaires, nous étudierons les différents montages.

I.1 Principe et définition

Amplificateur

Filtre passe-bande

L’objectif d’un oscillateur quasi-sinusoïdal est d’engendrer desoscillations spontanée, c’est-à-dire dans excitation d’entrée. Ce système ne possède pas à proprement parlé d’entrée. Pour osciller durablement le système doit dis- poser d’une source d’énergie permettant de compenser les pertes par ef- fet Joule. Ce rôle es assurée par l’alimentation +15 V −15 V d’un ALI.

Définition:

On appel oscillateur quasi-sinusoïdal un système délivrant une grandeur d’aspect sinusoïdal, c’est-à-dire présentant l’allure d’une sinusoïde mais dontle spectre fait apparaitre d’autres harmoniques.

Pour comprendre le fonctionnement d’un tel système nous allons nous ap- puyer sur un oscillateur particulier :l’oscillateur à pont de Wien.

I.2 Exemple : l’oscillateur à pont de Wien

+ -

R₁

R₂

R

R C

V_S C V_e

Amplificateur Filtre passe-bande Le fonctionnement d’un oscillateur basé sur la

structure précédente comprend deux phases bien distinct :

i-le démarrage des oscillations : tous les éléments sont considérés comme linéaires.V_eetV_S sont des tensions sinusoïdales dont l’amplitude augmente de façon exponentielle.

ii- la tension de sortie de l’ALIVS sature, l’équa- tion différentielle n’est plus la même qu’en régime linéaire. Le système oscille entre les deux tensions de saturation de l’ALI.

On suppose que l’ALI est idéal de gain infini : A0−→+∞,Re−→+∞et Rs−→0. Alorsi⁺ = i⁻= 0.

Le fonctionnement linéaire imposeV⁺=V⁻.

L’amplificateur est un amplificateur non-inverseur. La loi des noeuds appliquée à l’entrée inverseuse, exprimée en terme de potentiel donne :

0−V⁻ R1

= V⁻−VS

R2

⇒V⁻ = R1

R₁+R₂.VS

CommeV⁺=Ve nous trouvons :

A= VS

Ve

= R1+R2

R1

Pour la partie filtre passe-bande on procède de la même façon :

on utilise la notation complexe. La loi des mailles donne :

VS =uR+uC.+Ve

Utilisant les relations données par les impédances :u_R=R.i, la loi des noeuds :i=i₁+i₂ eti₁= V_e

R puisi₂= V_e ZC

. VS = R.i1+R.i2+uC+Ve

VS = 2.Ve+ R

Z_CVe+uC

VS = 2.Ve+ R ZC

Ve+ZC(i1+i2) VS = 3.Ve+ R

ZC

Ve+Z_C R Ve

Finalement on trouve :jRCωVS =Ve.(3.j.RCω−(RC)²ω²+ 1).

Les règles de calcul entre notations complexes et temporelle permettent d’obtenir une équation différentielle enV_e : (RC)²d²Ve

dt² + 3RCdVe

dt +s=RCdVS

dt Remarques:

On trouve bien une équation différentielle linéaire caractéristique d’un filtre passe-bande d’ordre 2. Cette équation différentielle décrit le fonctionnement d’un système stable.

Propriété:

L’étude d’un oscillateur auto-entretenu s’effectue en trouvant deux relations entre deux tensions V_e et V_S. Une première en utilisant les propriété de l’ALI en supposant le régime linéaire. La seconde en trouvant la fonction de transfert du filtre passe-bande.

I.3 Démarrage des oscillations

Les deux relations précédemment trouvées permettent d’obtenir une équation différentielle linéaire homogène d’ordre 2 :

(RC)²d²Ve

dt² + 3RCdVe

dt +s = RCdVS

dt

VS = A.Ve

L’équation différentielle obtenue avec ces deux relations donne : (RC)²d²Ve

dt² +RC(3−A)dVe

dt +Ve= 0 Remarques :

i-Cette équation différentielle linéaire décrit un système stable si 3−A >0. Dans cette situation les solutions de cette équation peuvent s’écrire :

Ve(t) =e⁻

(3−A)

2.RC ^.t.(K.cos(Ω.t+ϕ)) Or Aest un paramètre dont il est simple de modifier la valeur :A=R1+R2

R1

ii-Si A >3 alors le système devient instable, les oscillations s’amplifient de façon exponentielle.

Propriété:

L’instabilité du système bouclé va permettre de démarrer les oscillations. L’amplitude de ces oscillations sont limités par les régimes de saturation de l’ALI.

On peut tracer les oscillations d’un tel sys- tème à l’aide d’un script python. Mais faut faire attention avec une condition initiale non nulle qui en pratique est due à des per- turbation (du bruit) présent naturellement dans les tensionsVS et Ve.

On observe une tension de sortie périodique, mais non rigoureusement sinusoïdale. La va- leur deAn’a pas d’influence sur la période des oscillations mais sur la durée du régime transitoire.

LorsqueAaugmente (en modifiant la valeur de R₂, la durée du régime transitoire est plus courte. Les oscillations sont de moins en moins harmonique, on remarque un écré- tage plus important des oscillations.

Ceci provient du fais que le filtre passe- bande amplifie une plus grande partie des harmoniques présentent dans le spectre de la tensionVS en sortie de l’amplificateur.

I.4 Conditions de Barkhausen

De façon équivalente, le raisonnement sur l’équation différentielle peut se faire avec les fonctions de transfert. Cette étude permet en plus de la conditions sur le gainAde l’amplificateur, permettant de voir apparaitre des oscillations, de déterminer la pulsation de ces dernières.

Le schéma du système bouclé permet d’écrire :

j ω ω0

1 + 3j ω ω₀−

ω ω₀

² = 1 A

Soit :

j ω ω0

×A= 1 + 3j ω ω0

− ω

ω0

²

1− ω

ω0

2

+j. ω ω0

(3−A) = 0

Le calcul du gain du filtre de Wien donneH0=1

3 etω0= 1

RC, on préfère alors mettre l’équation précédente sous la forme :

1− ω

ω0

² +1

3j.ω ω0

(1−H0.A) = 0

Ce complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles. L’annulation de la partie imaginaire donne une condition sur le gain lorsque le système oscille :ω6= 0 :

H0.A = 1

1

3 ×R1+R2

R1

= 1

R2 = 2.R1

Le système oscille à une pulsationω si et seulement siR2= 2.R1

L’annulation de la partie réelle donne une condition d’oscillation sur la fréquence : 1−

ω ω₀

²

= 0

ω=ω0 = 1

RC Si les oscillations existent alors leur pulsation estω0.

Propriété:

Un oscillateur quasi-sinusoïdal, constitué d’un amplificateur et d’un filtre passe-bande du second ordre en boucle fermée, oscille s’il vérifie les conditions dites deBarkhausen :

<(H.A) = 1

=(H.A) = 0

avecH la fonction de transfert du filtre passe-bande et Ale gain du montage amplificateur. Ces deux conditions se traduisent en terme de gain et de fréquence :

H0.A = 1

ω = ω₀

Remarque:

lorsque le système oscille il oscille à la pulsation caractéristique du filtre de Wienω₀. Le filtre de Wien est également un système résonnant, de pulsation de résonanceω₀. A cette pulsation les signaux entrée et sortie ne sont pas déphasés l’un par rapport à l’autre.

On peut en conclure qu’il y a auto-oscillation du système s’il existe une pulsation ω₀ pour laquelle le gain de boucle fermée est égal à 1.

I.5 Limitation de l’amplitude des oscillations

Pour étudier le phénomène grâce auquel le système ne reste pas en régime de saturation on s’aide d’un second système :l’oscillateur à résistance négative.

On cherche dans un premier temps à comprendre le fonctionnement du montage à résistance négative en traçant la caractéristique de transfert du système.

+ -

R1

Ve

R2

R r

L

C

VS

Résistance négative i_e

i.Régime linéaire:

La loi des mailles dans le première boucleVe =VS+R₁.ie un diviseur de tension dans la seconde boucle (i⁺ = 0) : V⁺ =

R R+R2

VS, donnent : (Ve=V⁻=V⁺) :

Ve = R+R2

R .Ve+R1.ie

V_e = −R₁R R2

.i_e

Propriété:

En régime linéaire le montage précédent se comporte comme une résistance négative−R₁R

R2

.

Le régime linéaire persiste tant que−Vsat< v_s< V_sat:

− R

R+R₂.Vsat < ve< R R+R₂Vsat

− R2

R₁(R+R₂).Vsat < ie< R2

R₁(R+R₂).Vsat

−Im < i_e< I_m ii.Régime saturé :

En dehors de ces conditions l’ALI sature :vs=±Vsat.

Pour une saturation basse : vs=−Vsat, observée pour <0 soitV⁺< V⁻. Par définition : V⁻ =V_e=−Vsat+R₁.i_e

Le système se comporte comme un générateur de Thévenin de résistance interneR₁. De plus : V⁺=−Vsat

R R+R₂ L’inégalité V⁺ < V⁻ donne : −V_sat R

R+R2

< −V_sat+R₁.i_e soit : i_e > R₂V_sat

R1(R+R2). Alors le système fonctionne (contre intuitif) en régime de saturation basse si l’intensitéie> R2Vsat

R₁(R+R₂). Avec la condition de saturation haute on obtient :ie<− R2Vsat

R1(R+R2)

Figure1 – Caractéristique du montage à résistance négative.

On introduit cette résistance négative dans un circuit RLC : On poseu=uC et R₀=R1.R

R₂ . L’équation différentielle qui donne l’évolution de la tension aux bornes du condensa- teur :

d²u_c

dt² +r−R₀ L

du_c dt + u_c

LC = 0 Pour le courant nous avons de même :

d²ie

dt² +r−R0

L die

dt + ie

LC = 0

Avec ce qu’on a vu précédemment les oscillations démarrent à la condition queR0> r. On pose 2.α=R0−r L >0 et ω₀²= 1

LC. Le discriminant de l’équation caractéristique est :

∆ = 4α²−4ω₀²= 4.(α−ω₀)(α+ω₀) Les solutions sont périodiques siα < ω0, de la forme :

uc(t) =u0e^α.tcosω.t avecω=p

ω²₀−α²> ω0.

Comme les oscillations croissent commee^α.t on doit observer un basculement du système du régime linéaire vers un régime de saturation de l’ALI. Si la saturation est stable on n’a plus un système oscillant, cet état de saturation doit être instable pour avoir un oscillateur quasi-sinusoïdal.

Supposons que le système est en saturation haute.:

V_S =V_sat. Alors d’après la caractéristique courant tension :V_e=V_sat+R₁.i_e. On peut assimiler le montage à résistance négative à un générateur de Thévenin de fem :V_satet de résistance interneR₁. Alors l’équation différentielle pour le courant est :

d²ie

dt² +r+R1

L die

dt + ie

LC = 0 Remarque:

ie → 0 puisque tous les cœfficients ont le même signe. Le système quitte le ré-

gime de saturation haute puisque la condition i_e < − R₂V_sat

R1(R+R2) n’est plus véri- fiée.

Qualitativement : V⁻ < V⁺ et V⁺ = R

R+R₂Vsat < Vsat, donc V⁻ < Vsat. De plus duc

dt =Vsat−V⁻

RC >0, charge du condensateur et augmentation deV⁻, doncdiminue.

Mais le système, par continuité des courants dans une bobine, ne passe pas directement à la saturation basse, il passe par le régime linéaire. Puis enfin rejoint la saturation basse, et pour les mêmes considérations le quitte spontanément...

Tracer le trajet dans la caractéristique et les oscillations du système.

Propriété:

L’amplitude des oscillations quasi-sinusoïdales est limitée par des effets non linéaires. En présence d’un AO il s’agit souvent d’une saturation de la tension de sortie.

II Oscillateur à relaxation

II.1 Principe et définition

Comparateur à hystérésis

Intégrateur

Le but d’un oscillateur à relaxation est de pouvoir générer des signaux carrés et triangulaires. C’est un système bouclé qui comporte lui aussi deux blocs : un comparateur à hystérésis et un intégrateur inverseur. La sor- tie de l’intégrateur inverseur est bouclé sur l’entrée du comparateur à hys- térésis ce qui permet d’atteindre les tensions de basculement de ce der- nier.

Dans cette partie nous étudierons un montage relativement simple, on peut imaginer d’autre montage permettant de modifier le rapport cyclique par exemple ou d’engendrer des signaux différent qu’une tension triangulaire.

R1

R2

R

C

+ -

+ -

Ve

VS

Comparateur à hystérésis Intégrateur inverseur

Dans le chapitre précédent nous avons établi la réponse du comparateur à hystérésis à une entréeV_e(t) croissante ou décroissante.

La tension de sortie d’un tel montage peut prendre deux va- leurs : +Vsat ou −Vsat puisque l’ALI fonctionne en régime de saturation, la rétroaction étant sur l’entrée non-inverseuse V⁺.

On remarque aussi la présence de deux seuils de basculement : de la saturation haute vers la basse pour Ve = −R₁

R2

Vsat et de la saturation basse vers la saturation haute pour Ve = +R₁

R2

Vsat.

D’un autre côté l’intégrateur inverseur possède une relation entrée sortie du type :

Ve=− 1 RC

ˆ VSdt On comprend alors que :

i-SiVS = +VsatalorsVe=− 1

RCVsat.t+K1,Ve(t) est unefonction affine décroissante.

ii-Si VS=−Vsat alorsVe= + 1

RCVsat+K2,Ve(t) est une fonction affine croissante.

II.2 Etude des différentes phases de fonctionnement

L’étude des phases de fonctionnement exige une méthode rigoureuse. Au préalable on a établi le cycle d’hystérésis du comparateur. Etape très important.

Méthode :

1-A t= 0⁻ on suppose queVS(t= 0⁻) =−Vsatet àt= 0⁺ VS(t= 0⁺) = +Vsat. La sortie du comparateur vient de basculer de−Vsatà +Vsat.

AlorsVe(t= 0) = R1

R2

Vsat par lecture du cycle d’hystérésis.

Grâce au montage intégrateur inverseurVe(t) =− 1 RC

ˆ

VS.dton trouve : Ve(t >0) =− 1

RCVsat.t+K1

K₁est une constante donnée par l’étude de la condition initiale :K₁=R₁ R2

V_sat. Finalement : V_e(t >0) =− 1

RCV_sat.t+R₁ R2

V_sat 2-On cherche la condition de basculement de V_S.

La sortie V_S bascule de +V_sat à −V_sat dès que V_e(t₁) = −R₁ R2

V_sat. On cherche alors la date t₁ pour laquelle cette condition est réalisée.

− 1

RCV_sat.t₁+R₁ R2

V_sat=−R₁ R2

V_sat Ce qui donne :

t1= 2R1

R2

RC

On représente la première phase complète :

3-On procède de la même manière pour les datest > t1. At=t⁻₁ ;VS(t=t⁻₁) = +Vsatet àt=t⁺₁ ;VS(t=t⁺₁) =−Vsat. La sortie du comparateur bascule de +Vsat à−Vsat.

Par lecture du cycleVe(t=t1) =−R1

R2

Vsat.

Grâce au montage intégrateur inverseurVe(t) =− 1 RC

ˆ

VS.dton trouve : V_e(t > t₁) = + 1

RCV_sat.t+K₂

.K2 est une constante donnée par l’étude la condition initiale àt=t1 Ve(t=t1) =−R1

R2

Vsat alors : K2=−R₁

R2

Vsat− 1

RCVsat.t1

Ce qui finalement donne pourVe(t > t₁) :

Ve(t > t1) = 1

RCVsat(t−t1)−R1

R₂Vsat

On représente sur le même graphe les deux phases :

Pour la nouvelle conditions de basculement de −Vsat à +Vsat on peut recommencer le même raisonnement qu’au début. On comprend alors que le système permet d’obtenir des tensions créneau et triangulaire périodiques.

II.3 Période des oscillations

La période des oscillations peut être aisément déterminer par lecture graphique, ici on remarqueT = 2.t₁ alors T = 4R1

R₂RC.

Mais il faut le démontrer :

pour cela nous avons déjà obtenue la première datet₁de basculement du comparateur à hystérésis. Cherchons la date t₂ pour laquelle le comparateur bascule encore une fois de−V_sat à +V_sat.

Le basculement se produit pourVe(t2) = R1

R₂Vsat. Alors 1

RCVsat(t2−t1)−R1

R₂Vsat= R1

R₂Vsat. Soit : t₂= 2R₁

R₂RC+t₁= 4R₁ R₂RC Et iciT =t₂.

Remarques :

i-La période des oscillations est indépendante deV_sat.

i-La période des oscillations est proportionnelle àRC qui intervient dans la pente de la tension V_e(t).

i-La période des oscillations est fonction du rapport R1

R2

qui permet de définir la dimension du cycle d’hystérésis. Plus celui-ci est "large" plus la période est longue.