Cas des conducteurs ohmiques
Objectifs: Appliquer aux conducteurs ohmiques les lois de l’électromagnétique. Faire des bilans d’énergie.
Table des matières
I Conducteurs ohmiques 2
I.1 Conduction dans un conducteur . . . 2 I.2 Loi d’Ohm locale . . . 3 II Approximation des régimes stationnaires dans un conducteur ohmique 5 II.1 Ordre de grandeur . . . 5 II.2 Equations de Maxwell dans un conducteur ohmique . . . 6 II.3 Conservation de la charge . . . 6
III Bilan d’énergie 6
III.1 Puissance cédée au conducteur . . . 6 III.2 Puissance rayonnée . . . 7
I Conducteurs ohmiques
I.1 Conduction dans un conducteur
Un certain nombre de matériaux tels que le cuivre, l’argent, l’or, le fer, le zinc, etc... permettent le passage d’un courant électrique lorsqu’il sont soumis à une différence de potentiel, c’est-à-dire plongé dans un champ électrique.
D’autres qualifiésd’isolant ne le permettent pas : chlorure de sodium, glace, bois etc...
Définition:
On appelle conducteurdes milieux qui soumis à un champ électrique sont susceptibles d’être traversés par un courant électrique.
Remarques:
i-Si le milieu conducteur est un métal, chaque atome métallique met en commun sur l’ensemble du réseau cristallin des électrons appelésélectrons libres.
Ils forment un nuage d’électron délocalisé sur l’ensemble du réseau cristallin, ils sont responsable, grâce à leur mobilité, de la conduction électrique.
ii- Si le milieu conducteur est un plasma par exemple, il faut distinguer la conduction due aux électrons et aux cations. En ordre de grandeur on peut montrer que la vitesse des électrons est plus importante que celle des ions.
Alors la conduction est majoritairement due aux électrons du plasma.
+e -e
Considérons dans un premier temps un conducteur métallique. Les atomes formant ce conducteurs mettent en commun un ou plusieurs électrons. Alors les noeuds du réseau cristallin sont occupés pardes charges fixes, les cations métal- liques.
Les électrons libres sont libres de se déplacer sur des distances grandes devant la distance inter-ions.
Nous allons commencer par établir un ordre de grandeur. Supposons que ce conducteur est un barreau de longueur Let de sectionS.
Supposons que ce barreau est parcouru dans sa longueur par un courant d’in- tensitéI= 1 A. Quelle est la vitesse des électron correspondant ?
On peut écrire deux relations :
−
→j =n.q.−→v et I=k−→ jk.S
En ordre de grandeur on peut écrire :v= I
n.q.S. Comme la conduction est due aux électrons : q=e= 1,6.10−19C,S ∼1 mm2 et n∼1029m−3 pour un conducteur tel que le cuivre. L’application numérique donne :
v∼ 1
1029.10−19.10−6 = 10−4m.s−1
En conclusion lorsqu’un courant de 1 A circule dans un barreau de cuivre de section 1 mm2, la vitesse des électrons de conduction, des électrons libres est :v∼0,1 mm.s−1.
Considérons maintenant que le milieu conducteur soit plongé dans un champ électromagnétique−→
E(M, t),−→ B(M, t)
. Les électrons libre du milieu sont soumis à la force de Lorentz :
−
→FLorentz=q.−→
E(M, t) +q−→v(M, t)∧−→ B(M, t)
On peut montrer en ordre de grandeur que la composante magnétique de cette force est négligeable face à la
composante électrique. Calculons un ordre de grandeur : kq−→v ∧−→
Bk kq−→
Ek ∼ v.B E
L’équation de Maxwell-Faraday−→
rot−→
E(M, t) =−∂−→ B
∂t (M, t) donne en ordre de grandeur : E D ∼ B
T, alors : B
E ∼ T D ∼ 1
c aveccla célérité des ondes électromagnétiques.
Soit finalement :
kq−→v ∧−→ Bk kq−→
Ek ∼ v c
Dans un conducteur la composante magnétique de la force de Lorentz peut être négligée face à la composante électrique. En effet dans ce conducteurvc.
I.2 Loi d’Ohm locale
Propriété:
Un conducteur ohmique est un conducteur qui soumis à un champ électromagnétique (−→ E ,−→
B) est siège d’un courant dont la densité volumique s’exprime :
−
→j(M, t) =γ.−→ E(M, t)
γ est appeléeconductivité du conducteur ohmique en S.m−1. Cette loi est appeléeloi d’Ohm locale.
On peut démontrer cette relation dans le cadre du modèle de Drüde. Pour simplifier on applique le principe fon- damental de la dynamique à un électron libre (charge libre) du conducteur, dans le cadre des hypothèses établies précédemment.
Considérons le référentiel galiléen du réseau cristallin, fixe. Le système :{électron libre}est soumis aux actions exté- rieurs :
i-son poids−→
P =m.−→g ii-la force électrique :−→
Fe=−e.−→ E(M, t) iii-une force de frottement :−m
τ
−
→v(M, t)
En effet les électrons libres subissent des chocs entres eux et sur les ions du réseau, ces chocs aléatoires sont modélisés par une force de frottement fluide qui fait apparaître un temps caractéristiqueτ.
τ peut-être compris comme étant la durée caractéristique de mise en mouvement stationnaire des électrons.
On néglige l’action du poids face à la force électrique et la force de frottement. Le principe fondamental de la dynamique donne :
m.d−→v
dt (M, t) =−e.−→
E(M, t)−m τ
−
→v(M, t)
Si on recherche le régime permanent : d−→v dt =−→
0 , alors :
−
→v(M, t) =−τ.e m
−
→E(M, t)
Notonsnvle nombre d’électrons libres par unité de volume du conducteur. Par définition−→
j(M, t) =−nv.e.−→v(M, t), alors :
−
→j(M, t) = nv.τ.e2 m
−
→E(M, t).
On trouve alors une expression de la conductivité électrique en fonction des paramètres physiques du modèle : γ= nv.e2.τ
m Cherchons à valider le modèle :
Considérons le cuivre :
i-conductivité électriqueγ∼6.107S.m−1 ii-masse volumiqueµ= 9.103kg.m−3
iii-masse molaire atomiqueM(Cu) = 63,5 g.mol−1
On suppose que chaque atome de cuivre fourni un électron libre capable de contribuer au courant électrique. La densité volumique de charge libre est :
n= Na.µ M(Cu Une application numérique donne :n∼1029m−3.
Le modèle de Drüde nous permet d’avoir accès àτ : τ= m.γ
nv.e2 De même l’application numérique donne :τ∼10−14s.
Propriété:
La loi d’Ohm locale peut s’appliquer dans un conducteur si la durée caractéristique d’évolution du champ électro- magnétique est très grande devantτ∼10−14s.
La loi d’Ohm locale peut être appliquer si la fréquence d’évolution du champ : f 1014Hz.
Exemple d’utilisation :
Considérons une portion de longueurL de conducteur de section S parcouru par un courant d’intensitéI sous l’action du champ électrique −→
E. On suppose que I est uniforme :
I= ˆˆ
Section
−
→j .−→ dS=j.S La différence de potentielVB−VA=
ˆ A B
−
→E .−→
dl. De plus avec la loi d’Ohm locale : ˆ A
B
−
→j
γ .−→ dl = j
γ.L
. Finalement on trouve : VB−VA= L
S.γ.I
On retrouve la loi d’Ohm avec pour expression de la résistance ohmique :R= L γ.S.
II Approximation des régimes stationnaires dans un conducteur oh- mique
II.1 Ordre de grandeur
On vient de montrer que la loi d’Ohm locale pouvait être appliqué dans un conducteur ohmique lorsque la durée caractéristiqueT d’évolution du champ électromagnétique est telle que :
T 10−14s
Il est alors légitime de vérifier l’expression des équations de Maxwell dans le cadre d’application de la loi d’Ohm locale.
Définition:
On peut considérer qu’un conducteur est étudié dans le cadre de l’ARQS si la durée caractéristique d’évolution du champ électromagnétique est très grande devant la durée caractéristique de mise ne mouvement des charges libres du milieu.
Considérons dans un premier temps l’équation de Maxwell-Ampère :−→
rot−→
B(M, t) =µ0.−→
j(M, t) +µ0.ε0.∂−→ E
∂t (M, t).
En ordre de grandeur on calcul le rapport :
µ0.ε0.∂−→ E
∂t kµ0.−→
jk .
µ0.ε0.∂−→ E
∂t kµ0.−→
jk ∼ ε0
E T γ.E
Alors
µ0.ε0.∂−→ E
∂t kµ0.−→
jk ∼ ε0 γ.T.
Pour un bon conducteur comme le cuivreγ∼106S.m−1 etε0∼10−11F.m−1. Alors : ε0
γ ∼10−17s CommeT 10−14s on peut conclure :
µ0.ε0.∂−→ E
∂t kµ0.−→
jk 1 Propriété:
Pour des régimes d’évolution du champ électromagnétique justifiant l’utilisation de la loi d’Ohm locale, le courant de déplacement est au sain du conducteur ohmique négligeable devant le courant de conduction :
k−→
j(M, t)k
ε0∂−→ E
∂t (M, t)
II.2 Equations de Maxwell dans un conducteur ohmique
Propriété:
Dans le cadre d’utilisation de la loi d’Ohm locale au sain d’un conducteur, les équations de Maxwell sont les mêmes que dans le cadre de l’ARQS magnétique :
Equation de Maxwell-Gauss (MG) div−→
E(M, t) =ρ(M, t) ε0
Equation de Maxwell-Faraday (MF) −→
rot−→
E(M, t) =−∂−→ B(M, t)
∂t Equation de Maxwell-flux (MT) div−→
B(M, t) = 0 Equation de Maxwell-Ampère (MA) −→
rot−→
B(M, t) =µ0
−
→j(M, t)
II.3 Conservation de la charge
L’équation de Maxwell-Ampère dans le cadre de l’ARQS dans les conducteurs ohmiques est compatible avec l’équation de conservation de la charge telle que div−→
j(M, t) = 0. En effet on peut montrer que dans ce cadre l’effet des charges est négligé devant l’effet des courants :
∂ρ
∂t ∼ ρ
T div−→
j =γdiv−→ E =γρ
ε0 Alors comme précédemment :
∂ρ
∂t div−→
j
∼ ε0 γ.T 1 Propriété:
Dans le cadre pour lequel la loi d’Ohm locale s’applique, l’équation de conservation de la charge s’exprime : div−→
j(M, t) = 0.
III Bilan d’énergie
III.1 Puissance cédée au conducteur
Soit une portion de conducteur ohmique plongé dans un champ électro- magnétique. Dans le cadre de l’ARQS on peut écrire la loi d’Ohm locale
−
→j(M, t) = γ.−→
E(M, t). On considère que le courant crée le champ magné- tique.
La puissance cédée par le champ électromagnétique au conducteur, par unité de volume s’écrit :
dP dτ =−→
j(M, t).−→
E(M, t) =γ.E2(M, t)
Dans l’hypothèse d’un champ uniforme on peut faire un calcul simple pour calculer la puissance cédée par le champ électromagnétique sur l’ensemble du volume du conducteur :
Pcédée= ˆˆˆ
V
γ.E2(M, t).dτ =γ.E2(M, t).V
Le volume du conducteur peut s’exprimerV =S.Lsoit :Pcédée=γ.E2(M, t).S.L=γ.E2(M, t).S.L2 L .
On peut remarquer que la différence de potentielle à laquelle est soumise la portion de conducteur estU =E(M, t).L.
Finalement on obtient :
Pcédée= U2 R Propriété:
Dans le cadre de l’ARQS la puissance cédée par le champ électromagnétique au conducteur s’identifie à la puissance dissipée par effet Joule dans le conducteur ohmique :
Pcédée= U2 R
III.2 Puissance rayonnée
Pour calculer la puissance rayonnée par le champ électromagnétique il faut trouver l’expression du champ de Poynting : −→
R =
−
→E∧−→ B µ0
.
Le champ magnétique créé par le courant circulant dans le conducteur ohmique s’exprime :−→ B = µ0.I
2.π.r
−
→eθ. Ce calcul a déjà été fait dans le cours de magnétostatique.
Le vecteur de Poynting s’exprime alors :
−
→R = I γ.S
−
→ez∧ µ0.I 2.π.r
−
→eθ
µ0
= − I2
2.π.γ.r.S
−
→er
L’apport énergétique par rayonnement se fait à travers la surface latérale du conducteur. La puissance rayonnée se calcul :
‹
Σ
−
→R .−→ dS :
Prayonnée =
‹
Σ
− I2 2.π.γ.r.S
−
→er.r.dθ.dz−→er
= I2.L γ.S Propriété:
Dans le cadre de l’ARQS la puissance rayonnée du champ électromagnétique à travers la surface du conducteur ohmique est égale à la puissance cédée par le champ à la matière.
