Tabledesmatières Rétroaction-Amplificateurlinéaireintégré PhysiquePTLycéeJulesFerry

Rétroaction - Amplificateur linéaire intégré

Objectifs: Connaître l’influence d’une action de la sortie sur le système, exemple de l’ALI.

Table des matières

I Amplificateur linéaire intégré 2

I.1 Présentation . . . 2

I.2 Caractéristique . . . 2

I.3 Etude du domaine linéaire . . . 3

I.4 Lecture d’une notice et ordres de grandeur . . . 4

II Rétroaction 4 II.1 Relation entrée-sortie . . . 5

II.2 Stabilité . . . 6

II.3 Cas d’une rétroaction positive . . . 7

III Exemples de montages 7 III.1 Modèle de l’ALI idéal de gain infini . . . 7

III.2 Utilisation linéaire . . . 8

III.2.a Montage suiveur . . . 8

III.2.b Amplificateur inverseur . . . 10

III.2.c Amplificateur non-inverseur . . . 10

III.2.d Produit gain-bande passante . . . 11

III.2.e Intégrateur . . . 12

III.2.f Dérivateur . . . 12

III.3 Utilisation non linéaire - comparateur à hystérésis . . . 13

I Amplificateur linéaire intégré

I.1 Présentation

+

-

V_s i_S i⁺

i^- V⁺

V^-

Définition:

L’Amplificateur Linéaire Intégré (ALI) est un composant ac- tif constitué de transistors. Il comporte deux entrées V⁺ non- inverseuse et V⁻ inverseuse et une sortie VS. L’ALI est un am- plificateur de différence, en régime linéaire de fonctionnement, il amplifie la différence de potentiel ε = V⁺ −V⁻. Il fournit un courant de sortieiS. Pour ne pas surchargé les schémas on ne re- présente pas l’alimentation (+15 V,−15 V).

L’intérêt d’un tel composant est de pouvoir réaliser une connexion entre la sortie et une des deux entrées. On parle alors de rétroac- tion.

Propriété:

L’ALI est un composant actif, pour fonctionner il doit être alimenter par une source de tension (+15 V,−15 V).

L’alimentation est la première chose à brancher sur un montage électronique, avant les signaux d’entrée. C’est également la dernière chose à débrancher.

I.2 Caractéristique

+

- Vs

i_S i⁺

i^- V⁺

V^- Réalisons le montage c-contre. L’entrée inverseuse est reliée à GBF la masse, l’entrée non-inverseuse est relié à un GBF. La tension d’entréee(t) = V⁺ = E₀cos(ω.t) est une tension harmonique de faible fréquence.

Sur l’écran d’un oscilloscope on observe la tensione(t) etV_S(t).

En réglant la base de temps sur une échelle adaptée on peut se rendre compte que les commutatrices n’ont pas une pente infinie, mais une durée finie de croissance ou de décroissance.

On distingue alors trois domaines de fonctionnement distincts.

La proportionnalité de la tension de sortieVS par rapport à al différence de potentielleεn’est obtenue que dans un domaine appelé :plage de linéarité. La tension de sotie ne peut pas dépasser la valeur des tensions d’alimentation, négative ou positive.

On distingue trois domaines :

i-domaine linéaire: la sortie est proportionnelle à la différence des entrée :VS =A0.ε. Soit :

|ε|<V_sat A0

i-domaine de saturation positive

Dans ce cas pour toutes valeurs deε≥ V_sat A0

la sortie conserve une valeur unique :s=Vsat∼15V. i-domaine de saturation négative

il s’agit de la situation opposée. Pour toutes valeurs de ε≤ −Vsat

A0

la sortie conserve une valeur unique s=−Vsat∼

−15V.

I.3 Etude du domaine linéaire

Dans un domaine précédemment définit l’amplificateur linéaire intégré est un système linéaire. Par définition son fonctionnement peut être décrit par une équation différentielle linéaire.

Définition:

En régime linéaire l’ALI est un amplificateur de différence. Sa tension de sortieV_S est proportionnelle à la tension différentielle d’entréeε=V⁺−V⁻.

On appelle gain différentiel la grandeur :

Ad =VS

ε

De la notice d’un ALITL 081 on peut extraire ce diagramme de Bode : Propriété:

Dans un régime de fonctionnement linéaire, on adopte un modèle linéaire du premier ordre pour représenter l’ALI. Le gain différentiel de l’ALI s’exprime en nota- tion complexe :

Ad= A0

1 +j ω ω_c

= A0

1 +jτ ω

En utilisant les règles de calcul pour le passage de la fonction de transfert à l’équation différentielle on ob- tient :

jω.τ VS+VS = A0ε τdV_S

dt +V_S = A₀ε Remarques:

i-En régime de fonctionnement linéaire, l’ALI est modé- lisé par une fonction de transfert de typepasse-bas.

ii-l’ALI possède un temps de réponseτ. Un ordre de grandeur deτ est : τ∼10 ms

iii-A0 est le gain statique de l’ALI en régime linéaire.

I.4 Lecture d’une notice et ordres de grandeur

Afin de dégager des ordres de grandeurs des caractéristiques d’un ALI, on étudie la notice d’un ALITL 081 cou- ramment utilisé en travaux pratique.

1-En tête de la notice figure le nom du constructeur : STMicroelectronics et la référence de l’amplificateur :TL 081.

Cette référence est utilisée par tous les constructeurs pour une même fonction du circuit.

2- Pin Connectionindique le brochage de l’ALI. Celui-ci possède 8 pattes, une encoche semi-circulaire ou un point indique le sens du composant ou la position de la patte 1.

offset nul Non utilisé en TP

entrée inverseuse

entrée non-inverseuse

Alimentation -15V

offset nulNon utilisé en TP sorite

Alimentation +15V patte non connectée

3- Le gain statique A₀ est indiqué sous l’appellation Large Signal Voltage Gain. Dans la notice on lit A₀ = 200 V.mV⁻¹. Une différence de tension d’entréeε= 1 mV donne en sortie une tensionV_S = 200 V. SoitA₀= 2.10⁵. 4- L’ALI possède une résistance d’entrée. Les entrées inverseuse et non-inverseuse possède une résistance d’entrée Re= 10¹²Ω. Dans la notice elle est indiquée commeInput Resistance.

Si on applique une différence de potentiel à l’entrée non-inverseuse V⁺= 10 V l’intensité du courant entrant dans la borne + esti⁺= 10

10¹² = 10⁻¹¹A.

Propriété:

L’amplificateur linéaire intégré est un composant dont les caractéristiques ont pour ordre de grandeur : A0 ∼ 2.10⁵

τ ∼ 10 ms

R_e ∼ 10¹²Ω Propriété:

Les courant d’entrée d’un amplificateur linéaire intégré sont nuls :i⁺=i⁻= 0

II Rétroaction

L’un des intérêt des ALI est de pouvoir réalisé des rétroactions de la sortie du composant sur l’une des deux entrées voir les deux. Dans certain cas cette rétroaction aura pour effet d’atténuer les variations de la sortie, cette rétroaction

sera alors stabilisatrice. Dans le cas contraire elle sera déstabilisatrice.

Si elle est déstabilisatrice l’ALI rentrera dans un régime de fonctionnement saturé, sinon il fonctionnera en régime linéaire.

II.1 Relation entrée-sortie

+

- Vs

iS

i⁺

i^- V⁺

V^- e u1 i=0

R1

u2

R2

i2

i1

Considérons le montage ci-contre. Ce montage s’étude tout d’abord avec deux équations :

i-la fonction de transfert de l’amplificateur opérationnel.

ii- une relation liant ε aux tensions d’entrée, de sortie et des impé- dances des dipôles du montage.

On a déjà donné la fonction de transfert pour l’ALI : V_S

ε = A₀ 1 +jτ ω Pour la seconde relation on écrit la loi des nœuds à l’entrée inverseuse :

i₁=i⁻+i₂. La loi d’Ohm en convention récepteur :

u1

R₁ = i⁻+ u2

R₂ 0−v₋

R₁ = i⁻+V⁻−s R₂ De plus l’intensitéi⁻ = 0 alors :

0−V⁻ R1

= V⁻−V_S R2

V⁻ = R₁

R1+R2

V_S Remarque :

on pouvait directement appliquer un diviseur de tension entre les deux résistances.

IciV⁺=ealors on obtient les deux équations voulues : V_S = A₀

1 +jτ ωε ε = e− R1

R1+R2

VS

Ces deux équations peuvent se mettre sous la forme d’un schéma bloc : +-

e V_S

Propriété:

Un montage à ALI possédant une rétroaction peut se mettre sous la forme d’un schéma bloc comportant : un comparateur,une chaîne directe,une chaîne de retour.

Dans cette structure en chaîne bouclée :

i-l’ensemble comparateur-premier bloc est constitué par l’ALI.

ii-le bloc de retour est le diviseur de tension formé par les résistances.

II.2 Stabilité

A

B

+-

e V_S

Considérons le système sous forme de schéma bloc suivant.

Le bloc d’action, d’entrée εet de sortie VS, est un élément de grand gain. Pour un ALI A0 ∼2.10⁵. Il peut présenter de fortes variations de ses paramètres en fonction de la température (voir notice) ou du choix du circuit par exemple.

A l’inverse la chaîne de rétroaction présente des caractéristiques constantes et précises.

On cherche la fonction de transfert de ce système :H(jω) = V_S e . ε = e−B×VS

VS = A×ε

Ces deux équations sont identiques à celles obtenues précédemment pour le montage à ALI avec la rétroaction par un pont de résistances.

VS

A = ε

VS

A = e−B×VS

Finalement on obtient la fonction de transfert en multipliant parA à gauche et à droite : A.e = VS.(1 +A.B)

H(jω) = A

1 +A.B Définition:

On appelle taux de rétroaction le dénominateur de la relation entrée-sortie. Ce taux de rétroaction est également présent dans la relation entre le signal d’erreurεet l’entrée e. On le note T :

T = 1 +A.B

Lorsque la chaîne d’action est réalisée par un ALI en régime linéaire : A = A₀

1 +jω.τ. Alors : H(jω) = A₀

1 +jωτ 1 + A0

1 +jωτ.B

. En mettant la fonction de transfert sous une forme plus traditionnelle :

H(jω) = A0

1 +A₀.B+jω.τ

Remarque :

i-Dans l’exemple précédent ce sont des composants passifs qui permettent la rétroaction.B est donc un gain positif.

ii-Tous les coefficients aux dénominateur de la fonction de transfert sont de même signe. Le système est stable.

Propriété:

Un système constitué d’un amplificateur linéaire intégré, possédant une unique rétroaction de la sortie sur l’entrée inverseuseV⁻, est un système stable. L’ALI fonctionne alors en régime linéaire.

On dit qu’unerétroaction négativeeststabilisatrice.

II.3 Cas d’une rétroaction positive

-+

e V_S

A

B

Considérons maintenant un montage avec une rétroaction comme ci-contre. En prenant exemple sur les calculs précédents on obtient :

VS

A = ε

ε = B×VS−e H(jω) = −A

1−A.B Remarque :

i-Les coefficients au dénominateur de la fonction de transfert ne sont pas de même signe. Le régime linéaire n’est pas stable. Le régime transitoire diverge. AlorsVS −→+∞.

Propriété:

Un système constitué d’un amplificateur linéaire intégré, possédant une unique rétroaction de la sortie sur l’entrée non-inverseuseV⁺, est un système instable. L’ALI fonctionne alors en régime de saturation.

On dit qu’unerétroaction positiveest déstabilisatrice.

III Exemples de montages

III.1 Modèle de l’ALI idéal de gain infini

Lorsqu’on extrait de la notice les caractéristiques d’un amplificateur linéaire intégré on a pour rappel :A₀∼2.10⁵, R_e∼10¹²Ω,R_s∼0 Ω et τ∼10 ms.

+

- V_s

i_S i⁺

i^- V⁺

V^- En comparant les ordres de grandeur des gains de la chaîne d’action

et de la chaîne de retour on trouve queA₀ |B|. On adopte alors le modèle de l’ALI idéal de gain infini.

Définition:

On appelle ALI idéal de gain infini, un modèle simplifié d’ALI considérant que :A0−→+∞,Re−→+∞etRs−→0.

En prenant en compte ces considération on trouve directement que lescourant de polarisation,i⁺eti⁻ sont nuls. De plus comme Rs−→0, alors le courant de sortieiS et indépendant de la tension de sortieVS.

On peut également reprendre le tracé de la caractéristique de l’ALI dans le cadre ce modèle.

Au regard des ordres de grandeurs du gain et de la tension de saturation on trouve :

|ε|<Vsat

A₀ = 10⁻⁴V

On peut donc négliger la valeur deε devant les autres tensions mises en jeu dans le système. Dans le cadre du modèle de l’ALI idéal de gain infini on identifie les différents régimes de fonctionnement comme suit :

i-le régime linéaire correspond àε= 0 soit|V_S| ≤V_sat. ii-le régime de saturation positive àε >0 soitV_S =V_sat. iii-le régime de saturation négative àε <0 soitVS =−Vsat. Propriété:

Dans le cas d’un amplificateur linéaire intégré de gain infini, en régime linéaire, l’équationV⁺ =V⁻ remplace la fonction de transfert passe-bas d’ordre 1 modélisant l’ALI dans le même régime.

On retrouve cette propriété par un calcul relativement simple. En régime linéaire l’ALI donne : VS = A₀

1 +jωτε En utilisant le module à gauche et à droite de l’égalité :

VS

A0

= 1

p1 + (ωτ)²ε Alors quandA0−→+∞on àε−→0.

Remarque :

Une rétroaction sur l’entréeV⁻stabilise le système, mais l’ALI peut tout de même fonctionner en régime de saturation sur la tension d’entrée dépasse une limite. De même si le courant de sortie dépasse±isat, en branchant une résistance de trop faible valeur en sortie par exemple.

III.2 Utilisation linéaire

Définition:

L’impédance d’entréeZed’un système est le rapport entre la tension d’entrée et l’intensité du courant d’entrée du système :

Système

e s

I_e Is

Ze= e i_e

III.2.a Montage suiveur

Pour ce montage :V⁺ =e(t) etV⁻=s(t), l’ALI est idéal dans le régime linéaire :

e(t) =s(t) (1)

Comme les courants d’entrées sonti⁺=i⁻= 0 on a par définition :Ze→+∞.

Propriété:

Le montage suiveur sert à transmettre une tension entre deux blocs sans transmettre de puissance puisque l’impé- dance d’entrée est infinie.

- +

e(t) s(t)

1

e(t) 1 +- s(t)

Figure1 – Schéma électrique d’un montage suiveur à gauche. Schéma bloc du montage suiveur à droite.

R₁

e₁ C1 s1

R₂ C₂

e₂ s2

La mise en cascade de deux systèmes linéaires n’est pas tou- jours évidente. On ne peut pas toujours multiplier les fonction de transfert de chacun des systèmes :

H1(jω) = 1 1 +R1.C1.jω H₂(jω) = 1

1 +R₂.C₂.jω Si on les met en cascade on trouve :

H(jω) = 1

1 + (R₁.C₁+R₁.C₂+R₂.C₂)jω−R₁.C₁.R₂.C₂ω² 6= H1(jω)×H2(jω)

Tout le problème vient du fait que la sortie du montage 1 présente un courant non nul. Le second étage charge le premier étage. Il faut imposer un courant de sortie de l’étage 1 nul, pour ceci on interpose un montage suiveur, dont l’impédance d’entrée est infini, entre les deux étages.

R₁ C1

e₁ s₁ e₂

R₂ C₂

s₂ +

_

Figure2 – Mise en cascade de deux filtres passe-bas passifs d’ordre 1 à l’aide d’un montage suiveur.

Propriété:

La forte impédance d’entrée d’un montage suiveur et sa faible impédance de sortie permettent la mise en cascade de filtre, afin d’obtenir des filtres d’ordre plus élevés.

III.2.b Amplificateur inverseur

+- ^s(t)

e(t)

Figure3 – Schéma électrique d’un montage amplificateur inverseur à gauche et son schéma bloc à droite.

La loi des noeuds impose :i₁=i⁻+i₂.

En utilisant la loi d’Ohm sur chaque résistance : u₁ R1

= u₂ R2

+i⁻. Ori⁻= 0.

Par définition :u₁=e−V⁻ et u₂=V⁻−s. Soit au final : s(t) = −R₂

R1

e(t) H(jω) = −R2

R₁.

Propriété:

L’amplificateur inverseur sert à amplifier le signal d’entrée si R2 > R1 avec un gain négatif. L’ALI sature si :

R2

R1

.e

> Vsat.

L’impédance d’entrée est donnée par :Ze= e i1

,i1 est le courant d’entrée du montage.

i1= u1

R1

=e−V⁻ R1

= e R1

. Propriété:

L’impédance d’entrée du montage amplificateur inverseur est : Z_e=R₁

III.2.c Amplificateur non-inverseur

+-

e(t)

Figure4 – Représentations du montage amplificateur non-inverseur.

La loi des nœuds appliquée à l’entrée inverseuse (aveci⁻ = 0) conduit à : u1

R₁ = u2

R₂ + 0

Puis comme l’ALI est supposé idéal :v₋= +v+=eavecu1=−eet u2=e−s: s(t) =

1 +R₂

R1

.e(t)

Propriété:

L’amplificateur non-inverseur sert à amplifier le signal d’entrée. L’ALI sature dès que

1 +R2

R₁

.e

> Vsat. L’impédance d’entrée du montage est donnée par :Ze= e

i⁺, commei⁺= 0 : Propriété:

L’impédance d’entrée d’un amplificateur non-inverseur est infinie :Z_e→+∞.

III.2.d Produit gain-bande passante

On reprend ici le montage amplificateur non-inverseur :

La fonction de transfert du système linéaire sans l’hypothèseA₀→ +∞:

H(jω) =

1 + R₂ R1

1 +

1 +R2

R1

τ A0

jω

Notons :H0= 1 +R2

R₁ etτBF =

1 + R2

R₁ τ

A₀. On choisi les valeurs : R1= 10³Ω,R2= 10⁵Ω,A0= 2.10⁵ etτ = 5.10⁻²s. Ainsi :

H0 = 10² τ_BF = 2,5.10⁻⁵s La fonction de transfert s’écrit :H(jω) = H₀

1 +τBFjω on reconnait la fonction de transfert d’un filtre passe-bas d’ordre 1.

Ce système multiplie le signal d’entrée par 10² mais dans une zone de pulsations ω 1 τBF

= 4.10⁴rad.s⁻¹, soit ω <4.10³ rad.s⁻¹.

Peut-on repousser cette limitation en fréquence ?

La limite de pulsation au-delà de laquelle il n’y a plus amplification du signal est : ωlim= 1

τBF

= 1

1 +^R_R²

1

.A0

τ

Remarquons que la pulsation limite est d’autant plus élevée que le gainH0est faible. Recherchons la bande passante du système :GdB> GdB,max−3dB:

20 log H0

p1 + (τ_BFω)² > 20 logH0−10 log 2 1

p1 + (τBFω)² > 1

√2 ω < 1

τBF

.

La bande passante est :

0, 1 τBF

puis on remarque que :

H0×∆ω=

1 +R2

R₁ 1

τ_BF = A0

τ =cte Propriété:

Le produit gain-bande passante, pour un système linéaire bouclé par une chaine directe de transmittance constante, est une constante :

H₀×∆ω=A0

τ =cte

Il faut alors choisir un compromis entre l’amplification et la bande passante du système.

III.2.e Intégrateur

+- ^s(t)

e(t)

La loi des nœuds :i_r=i_c+i⁻, etZ_c= 1

jωC ur

R = uc

Zc

Avecu_r=e−V⁻ etu_c=V⁻−spuisV⁺=V⁻= 0 e

R = −s×jωC

s = − e

jωR.C

En utilisant les équivalences entre régime harmonique et régime temporel : s(t) =− 1

RC ˆ

e(t).dt

Propriété:

Le montage intégrateur présente en sortie l’opposée de l’intégrale de l’entrée e(t). L’impédance d’entrée d’un montage intégrateur est :Ze=R.

Remarque : Le montage intégrateur sature dès que le signal d’entrée présente une composante continue dans son spectre. Cette composante intégrée en un signal proportionnel à t, la tension de sortie atteint alors la valeur de saturation.

III.2.f Dérivateur

En procédant de la même manière que pour le montage intégrateur on a :

+- ^s(t) e(t)

Propriété:

Le montage dérivateur présente en sortie l’opposé de la dérivée de l’entrée : s(t) =−R.Cde

dt. L’impédance d’entrée du montage dérivateur est :Ze= e

ic

=Zc.

III.3 Utilisation non linéaire - comparateur à hystérésis

+

- Vs

iS

i⁺

i^- V⁺

V^- e(t)

R₁

R2

On considère le circuit ci-contre. La source de tension alternative est réalisée par un GBF qui délivre en tension sinusoïdale de la formeue1(t) =Uem1cosωt.

On prendra pour les application numériques : .R2= 10kΩ et R1= 1kΩ

.Uem1∼2 V etf ∼500 Hz fréquence du signal.

Définition:

On appelle comparateur de tension un composant à deux entrées et une sortie, dont la fonction est de fournir une tension de sortie Vs fonction du signe de la tension différentielle d’entrée ε=V⁺−V⁻. Cette fonction est réalisée par un ALI sans aucune rétroac- tion.

Il suffit pour s’en rendre compte de reprendre la caractéristique de transfert de l’ALI idéal de gain infini. Le signe de la tension de sortie est fonction du signe deε.

Méthode:

iOn rappel les hypothèse de l’ALI idéal de gain infini : A0−→+∞,Re−→+∞alorsi⁺=i⁻= 0 etRs= 0.

ii-On exprime la tensionV⁺ ouV⁻ en fonction des paramètres : Théorème de Millman à l’entrée non-inverseuse.

V₊= e R₁ +VS

R₂ 1 R₁ + 1

R₂

= R₂.e R1+R2

+ R₁.V_S R1+R2

V⁻ = 0

⇒ε = R₂.e R1+R2

+ R₁.V_S R1+R2

Méthode:

iii-On suppose queV_S= +V_sat(ε >0) : à quelle condition sure(t)la sortie V_S commute-t-elle de+Vsat à−Vsat?

La sortieVS passe de +Vsat à−Vsatlorsqueε≤0.

ε = R₂.e R1+R2

+ R₁.V_sat R1+R2

≤0

⇒e ≤ −R₁ R2

Vsat

Quand la tensionediminue alorsV⁺diminue également.

La sortie de l’ALI bascule pour e=−R1

R₂Vsat.

iv-De même, à quelle condition surela sortie VS commute-t’elle de−Vsatà+Vsat? On fait le même raisonnement :

ε = R2.e R1+R2

− R1.Vsat

R1+R2

≥0

⇒e ≥ R1

R₂Vsat

Quand la tension e aug-

mente alors V⁺ augmente

également. La sortie de

l’ALI bascule pour e =

R1

R2

Vsat.

Finalement on en déduit la caractéristique totale de transfert.

Il suffit pour ceci d’utiliser les deux caractéristiques construites et de les superposer.

Propriété:

On constate dans les dispositifs précédents que, pour une valeur d’entrée nulle, deux valeurs de sortie sont possibles selon l’évolution précédente du signal d’entrée. Le dispositif conserve une mémoire de ses états antérieurs. On parle de fonction mémoire.