Potentiel électrostatique
Objectifs: Savoir utiliser une approche énergétique pour déterminer les propriétés du champ électrostatique.
Lire une carte de champ.
Table des matières
I Potentiel électrostatique et charges 2
I.1 Energie potentielle d’une charge ponctuelle . . . 2 I.2 Potentiel électrostatique . . . 2 I.3 Exemple de calcul de potentiel . . . 4
II Propriétés topologique du potentiel et du champ 5
II.1 Passer du potentiel au champ : opérateur gradient . . . 5 II.2 Invariances . . . 6 II.3 Lecture de cartes : notion de circulation . . . 6
III Formulation locale des propriétés du champ électrostatique 8
III.1 Champ à circulation conservative : opérateur rotationnel . . . 8 III.2 Equation de Poisson . . . 9 III.3 Densité volumique d’énergie électrostatique . . . 10
I Potentiel électrostatique et charges
I.1 Energie potentielle d’une charge ponctuelle
qM O
r qO
M
Considérons une charge ponctuelleqM en un pointM de l’espace, repéré par ses coordonnées sphérique telle que−−→
OM =r−→er.
Il existe un tout point de l’espace une champ électrostatique créé par une autre charge ponctuelle qO, placé en O.
La chargeqM est alors soumise à une force de Coulomb−→
FO−→M =qM.−→ EO(M).
Considérons qu’un opérateur extérieur déplace la charge d’une déplacement élémentaire−→ dl.
Le travail que doit fournir cet opérateur s’exprime par définition : δW =−→
F .−→ dl Détaillons un peu plus ce travail :−→
dl=dr−→er+rdθ−→eθ+rsinθdϕ−→eφ, de plus le champ −→
EO(M) = qO 4πε0
−−→OM k−−→
OMk3. Comme on a :−−→
OM =r−→er le travail s’exprime :
δW =qM.qO 4πε0
r.dr r3 Le terme r.dr
r3 se simplifie : dr
r2. On remarque que ce terme peut s’écrire sous forme d’une différentielle totale, en effet : dr
r2 =−d 1
r
Finalement le travail élémentaire de l’opérateur extérieur s’exprime sous forme d’une différentielle totale : δW =−qMqO
4πε0 d 1
r
=−dEp
Propriété:
La force de Coulomb est uneforce conservative, c’est-à-dire qu’elle dérive d’un potentielle. L’énergie potentielle d’une charge ponctuelleqM dans le champ électrostatique d’une charge qO s’exprime :
Ep= qM.qO 4πε0.k−−→
OMk +K1
I.2 Potentiel électrostatique
Comme nous avons définit à partir de la force de Coulomb :−→
F = qM.qO
4πε0
−−→OM k−−→
OMk3 le champ électrostatique −→ E = qO
4πε0
−−→OM k−−→
OMk3
, on procède de même avec l’énergie potentielle. En effet on peut écrire : Ep=qMVO(M)
avecVO(M) = qO
4πε0.k−−→
OMk +K2.
Définition:
On appelle potentiel électrostatique créé par une charge qO, placée en un point O, le champ scalaire noté VO(M) tel que, l’énergie potentiel d’une seconde chargeqM soit :Ep=qM.VO(M). Alors :
VO(M) = qO 4πε0.k−−→
OMk +K2 est définit à une constante près.
Son unité est le V.
Définition:
On appelle champ scalaire, une application de R3 dansRqui à un pointM repéré par ses coordonnées d’espace associe un nombre réel.
Exemples:
Le champ de température est un champ scalaire, on as- socie à chaque point la valeur de la température relevée.
Le champ d’énergie potentiel gravitationnelle est un champ scalaire. On peut le représenter sur une carte IGN par des lignes de niveaux.
Remarques :
i- Dans de nombreuses situations on choisi de considérer que V(r−→+∞) = 0, alors la constanteK2= 0. Nous la prendrons nulle dans la suite du cours.
ii- Sur une carte de potentiel on ne représente pas la valeur du potentiel en chaque point, mais des courbes (en 2D) ou des surface en (3D) appeléessurfaces équipotentielles.
iii-Sur le même principe que pour le champ électrostatique, on peut déterminer le potentiel électrostatiqueV(M) créé par un ensemble de charges ponctuelles en appliquant le théorème de superposition.
Propriété:
Pour déterminer le potentielV(M) créé en un pointM par un ensemble de charges ponctuelles{qi} on applique lethéorème de superposition
V(M) =X
i
qi
4πε0.ri
Le théorème de superposition permet d’exprimer pour les répartitions continues de charge le potentiel en chaque point de l’espace.
On peut généraliser cette expression aux autres distributions de charge, on additionne alors les potentiels dV = dQ
4πε0.P M :
Répartition volumique Répartition surfacique Répartition linéique
V(M) = 1 4πε0
.
ZZZ ρ(P)
P Mdτ V(M) = 1 4πε0
.
ZZ σ(P)
P MdS V(M) = 1 4πε0
.
Z λ(P) P M dl
I.3 Exemple de calcul de potentiel
-2.Q
Q Q
M 2a
x
x y
Reprenons une situation que nous avons déjà rencontré. On cherche à déterminer au pointM le potentiel créé par un ensemble de trois charges ponctuelles : +Qen A: (x= 0, y= +a),−2QenO: (x= 0, y= 0) et +QenB: (x= 0, y=−a).
Le théorème de superposition donne :
V(M) =VA(M) +VO(M) +VB(M)
Soit avec les calculs individuels des potentiels : VA(M) = VB(M) = Q 4πε0AM et VO(M) = −2Q
4πε0OM.
CommeAM =BM on trouve finalement : V(M) = 2Q
4πε0
1
√
a2+x2 −1 x
Considérons maintenant une boule uniformément chargée d’une densité volumiqueρ0. D’après le principe de superposition le potentiel électrostatique créé en un point M par l’élément de volume dτ au pointP de la distribution s’exprime :
dV(M) =ρ0dτ 4πε0
1 P M
En intégrant pour avoir la contribution de l’ensemble du volume on a avec dτ = r2drsinθdθdϕ. Attention la variation de dr, dθ et dϕ se fait sur la position de P par rapport à l’origine du re- père, le point M étant fixe. On décompose alors : −−→
P M = −−→ P O+
−−→OM.
V(M) = ρ0
4πε0
ZZZ r2drsinθdθdϕ q
r2+ 2−→r .−−→
OM+OM2 Le produit scalaire entre−→r et−−→
OM n’est pas forcément très simple à
étudier. Il faut alors dans cette situation pouvoir trouver une autre façon d’exprimer le potentielV(M).
On sait déjà calculer le champ électrostatique pour une telle distribution. Il suffit alors de savoir exprimer le champ électrostatique en fonction du potentiel.
II Propriétés topologique du potentiel et du champ
II.1 Passer du potentiel au champ : opérateur gradient
Définition:
Soitf(x, y, z) une fonction des trois variables d’espace (x, y, z). La différentielle de la fonctionf, notéedfest définie par :
df= ∂f
∂xdx+∂f
∂ydy+∂f
∂zdz elle représente une variation infinitésimale de la fonction.
On appelle gradient, noté−−→
grad , unopérateur vectoriel linéaire qui à une fonction f associe un champ de vecteursnoté−−→
grad(f) tel que :
df =−−→
grad(f).−→ dl où−→
dl est le déplacement élémentaire.
Remarque :
i- L’opérateur gradient transforme un champ scalaire en un champ vectoriel. Pour le champ scalaire f le champ vectoriel associé est :
−−→grad f =∂f
∂x
−
→ex+∂f
∂y
−
→ey+∂f
∂z
−
→ez
ii- A partir des expressions des différentielles des fonctions dans les trois systèmes de coordonnées d’espace on peut déduire l’expression du gradient dans ces trois systèmes.
Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphérique
−
→dl =dx−→ex+dy−→ey+dz−→ez
−
→dl=dr−→er+rdθ−→eθ+dz−→ez
−
→dl =dr−→er+rdθ−→eθ+rsinθdϕ−→eφ
M
x
y z
O
M
x
y z
O r
M
x
y z
O r
dV =∂V
∂xdx+∂V
∂ydy+∂V
∂zdz dV = ∂V
∂rdr+∂V
∂θdθ+∂V
∂zdz dV =∂V
∂rdr+∂V
∂θdθ+∂V
∂φdϕ
−−→grad(V) = ∂V
∂x
−
→ex+∂V
∂y
−
→ey+∂V
∂z
−
→ez
−−→grad(V) =∂V
∂r
−
→er+1 r
∂V
∂θ
−
→eθ+∂V
∂z
−
→ez
−−→grad (V) = ∂V
∂r
−
→er + 1 r
∂V
∂θ
−
→eθ + 1
rsinθ
∂V
∂φ
−
→eφ
Propriété:
Le champ électrostatique−→
E(M) créé enM par une distribution de charges est relié au potentielV(M) au même point par la relation :
−
→E(M) =−−−→
grad(V) En coordonnées cartésiennes :−→
E = ∂V
∂x
−
→ex+∂V
∂y
−
→ey+∂V
∂z
−
→ez.
Propriété : Le vecteur−−→
grad(V) est en tout point orthogo- nal aux surfaces telles queV =cte.
Corolaire: le champ électrostatique−→ E est en tout point orthogonal aux surfaces équipoten- tielles.
Soit un ensemble de points définissants une sur- face sur laquelleV(x, y, z) =cste. Considérons un pointM se déplaçant sur cette surface d’une quan- tité−→
dl.
V(x, y, z) = cste dV(x, y, z) = ∂V
∂xdx+∂V
∂ydy+∂V
∂zdz= 0 dV(x, y, z) = −−→
grad(V).−→ dl= 0
Donc le gradient deV est bien orthogonal au dé- placement élémentaire−→
dl sur la surface équipoten- tielle.
II.2 Invariances
Les propriétés d’invariance et de symétrie du potentiel électrostatique sont hérités de celle du champ électrostatique : Propriété:
SoitDch une distribution de charges.
Si Π est un plan de symétrie de cette distribution alors il l’est également pour le potentiel :V(M1) =V(M2) pour M1 et M2 symétrique l’un de l’autre par Π.
Si Π?est un plan d’antisymétrie de la distribution, alors il l’est également du potentiel : V(M1) =−V(M2).
II.3 Lecture de cartes : notion de circulation
La notion de potentiel électrostatique permet de déduire des propriétés fondamentales pour le champ électrosta- tique. Comme la propriété précédente d’orthogonalité des lignes de champ avec les surfacesV =cste.
Propriété:
La valeur du potentiel décroit le long des lignes de champ électrostatique dans le sens du champ électrostatique.
Preuve :
Le gradient d’un champ scalaire indique la manière dont ce champ varie dans l’espace. Ainsi de grandes variation deV sur une courte distance donne un gradient important.
Par définition :−→
E =−−−→
grad(V).
SoientM1etM2deux points sur une même ligne de champ telle que−→
E est colinéaire à−−−−→
M1M2 et de même sens.
Considérons queM1etM2sont aussi proche l’un de l’autre que voulu, alors :
dV =V(M1)−V(M2) Or par définition du gradient :dV =−−→
grad(V).−−−−→
M1M2, et la relation entre−→
E etV implique : dV =−−→
E .−−−−→
M1M2<0 puisque −→
E et −−−−→
M1M2sont colinéaire et de même sens.
AlorsV(M1)< V(M2), le potentiel décroit le long des lignes de champ.
Propriété:
Les extrema du potentiel sont localisés sur les charges. Maxima pour les charges positives, minima pour les charges négative.
Corolaire: il n’existe pas d’extremum de potentiel en dehors des points de localisation des charges.
Preuve :
Soit un pointP, lieu d’un maximum du potentielV.
Par définition pour tous les points autres queP :V(Mi)≤V(P). Or comme le potentiel décroit le long des lignes de champ, les lignes de champ−→
E sont toutes orientés deP vers les points alentours.
Considérons maintenant une surface fermée Σ contenant le pointP. Le flux Φ de−→
E à travers Σ est donc positif (flux sortant).
D’après le théorème de Gauss : Φ = Qint
ε0 , donc il existe une charge au pointP telle que Q(P)>0.
M1
V(M1) M2
V(M2)
Propriété :
Une ligne de champélectrostatiquene peut pas être fermée sur elle même.
Preuve :
Considérons une ligne de champ électrostatique bouclée sur elle même. Le potentiel décroit le long de cette ligne de champ.
Alors il existe deux pointsM1etM2sur cette ligne tels queV(M1)< V(M2), or comme la ligne est bouclé on a aussiV(M2)< V(M1).
Ceci nous conduit à une absurdité.
Définition: Soit−→
E un champ vectoriel, soit ΓAB un chemin orienté deAversB.
On appelle circulation de−→
E le long de ΓAB la grandeur : Z B
A
−
→E .−→ dlAB
Appliquons directement cette définition au champ électrostatique :RB A
−
→E .−→ dl =RB
A −−−→
grad(V).−→ dl: Z B
A
−
→E .−→
dl =V(A)−V(B) .
Propriété:
La circulation du champ électrostatique le long d’un chemin AB orienté deA versB est égale à la différence de potentielle :V(A)−V(B).
Le champ dérivant d’un potentiel sa circulation ne dépend pas du chemin suivit, mais uniquement des positions de départ et d’arrivée.
III Formulation locale des propriétés du champ électro- statique
III.1 Champ à circulation conservative : opérateur rotationnel
Considérons maintenant un contour fermé, orienté Γ. La circulation du champ électrostatique le long du contour s’exprime :
I
Γ
−
→E .−→ dl
Or comme−→
E =−−−→
grad V, I −→
E .−→ dl = 0 Définition:
On appellechamp à circulation conservativeun champ vectoriel tel que : I
Γ
−
→E .−→ dl= 0 Remarque :
i- Le champ électrostatique est à circulation conservative puisqu’il s’exprime
−
→E =−−−→
grad V.
ii-Réciproquement un champ à circulation conservative peut s’exprimer comme le gradient d’un champ scalaire.
iii-Un contour fermé s’oriente selon la règle de la main droite, le vecteur surface élémentaire s’oriente en respectant la règle de la main droite.
Soit un contour fermé Γ. On note−→
dS le vecteur surface élémentaire associé au contour Γ orienté suivant la règle de la main droite.
Définition:
On appelle opérateurrotationnel, noté−→
rot, un opérateur vectoriel tel que la circulation élémentaire d’un champ de vecteur−→
E le long de Γ soit :
−
→E .−→ dl =−→
rot−→ E .−→
dS Ses composantes en coordonnées cartésienne sont :
−→rot−→ E =
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
∧
Ex
Ey
Ez
=
∂Ez
∂y −∂Ey
∂z
∂Ex
∂z −∂Ez
∂x
∂Ey
∂x −∂Ex
∂y
Remarque :
i-L’opérateur rotationnel transforme un champ vectoriel en un autre champ vectoriel.
ii-C’est un opérateur local, il nous renseigne à la rotation locale du champ de vecteurs.
Propriété: Soit−→
E un champ de vecteur, soit Γ un contour fermé orienté. A date fixét, la circulation de−→
E le long de Γ es égale au flux du rotationnel de−→
E à travers une surfaceS s’appuyant sur Γ : I
Γ
−
→E .−→ dl =
ZZ −→
rot(−→ E).−→
dS
Appliquons le théorème de Stokes au champ électrostatique−→ E. Soit un contour fermé Γ aussi petit que voulu. La circulation de −→
E le long de Γ s’exprimer :
I
Γ
−
→E .−→ dl =
ZZ
Surf ace
−→rot(−→ E).−→
dS
Or comme −→
E = −−−→
grad V, les propriétés précédentes mènent à : I −→
E .−→ dl = 0.
Alors :
ZZ −→
rot(−→ E).−→
dS= 0 Si on fait tendre le contour vers 0 on trouve :−→
rot−→ E =−→
0 . Propriété:
Le champélectrostatiqueest à circulation conservative. C’est-à-dire qu’en tout pointM de l’espace :
−→rot−→ E =−→
0 Remarques :
i-Cette relation conduit directement à la propriété suivante : Propriété:
Pour tout champ scalairef :
−→rot(−−→
grad(f)) =−→ 0
Un champ vectoriel à circulation conservative peut s’écrit sous forme du gradient d’un champ scalaire.
III.2 Equation de Poisson
Propriété:
Soit V le champ scalaire potentiel électrostatique. Soitρ une densité volumique de charges. La relation entre le potentiel et la répartition des charges est donnée par l’équation de Poisson :
∆V(M) =−ρ(M) ε0
Siρ= 0 on parle d’équation de Laplace :
∆V = 0 On lit ∆V :" Laplacien V".
Cette relation provient directement de l’équation de Maxwell-Gauss et de la relation :−→
E =−−−→
grad(V).
En effet :
div−→ E = ρ
ε0
Or −→
E =−−−→
grad(V) et div(−−→
grad(V)) = ∆V alors en tenant compte du signe :
∆V =−ρ ε0
III.3 Densité volumique d’énergie électrostatique
qM O
r qO
M
Considérons deux charges ponctuelles dans l’espace. Nous avons déjà établi que l’énergie potentielle de la chargeqM dans le champ électrostatique créé par la chargeqO s’exprime :
Ep(M) =qM.VO(M) +cste
Or on peut faire un raisonnement réciproque et donner l’énergie potentielle de la chargeqOdans le champ créé par la charge enM :
Ep(O) =qO.VM(O) +cste Définition:
On appelleénergie d’interaction le travail que doit fournir un opérateur extérieur pour approcher deux charges qO etqM à une distancerl’une de l’autre depuis l’infini.
Appliquons le théorème de l’énergie cinétique au système :{les deux charges ponctuelles} dans un référentiel gali- léen :
∆Ec=Woperateur+Wforce de Coulomb
Or initialement les deux charges sont sans vitesse et dans l’état final les deux charges sont immobiles : ∆Ec= 0.
Finalement :
Woperateur=−Wforce de Coulomb
Nous avons montré queWforce de Coulomb =−Ep opposé de l’énergie potentiel électrostatique. Alors : Woperateur=qM.VO(M) +cste=1
2 qM.VO(M) +cste+qO.VM(O) +cste On choisi de considérer que l’énergie potentiel s’annule à l’infini :cste= 0 :
Woperateur= 1
2 qM.VO(M) +qO.VM(O)
q
iM
iConsidérons maintenant un ensemble de charges ponctuelles qi en des points Mi. Avec le même raisonnement que pour le système de deux charges ponctuelles nous pouvons trouver :
Wopérateur=1 2
X
i
qi.V(Mi)
Finalement si on conduit le même raisonnement pour une densité volumique de charges ρ(M) :
Wopérateur= 1 2
ZZZ
Tout l’espace
ρ(M)V(M)dτ Or l’équation de Maxwell-Gauss donne :div−→
E =ρ(M)
ε0 alorsρ(M) =ε0.div−→ E : Wopérateur= 1
2ε0
ZZZ
Tout l’espace
div−→
E(M).V(M)dτ
On utilise la relation vectorielle :div −→
E(M).V(M)
=div(−→
E).V +−−→
grad(V).−→ E alorsdiv−→
E(M).V(M) =div −→
E(M).V(M)
−−−→
grad(V).−→ E : Wopérateur=1
2ε0
ZZZ
Tout l’espace
div −→
E(M).V(M) dτ−
ZZZ
Tout l’espace
−−→grad(V).−→ E dτ
Le théorème de Green-Ostrogradsky conduit : ZZZ
Tout l’espace
div −→
E(M).V(M)
dτ = {
Tout l’espace
V(M).−→ E(M).−→
dS Nous avons considéré que le potentiel s’annule à l’infini alors : {
Tout l’espace
V(M).−→ E(M).−→
dS= 0.
De plus :−−−→
grad V =−→ E alors :
Wopérateur= ZZZ
Tout l’espace
1 2ε0E2dτ Propriété:
En tout point de l’espace où règne du champ électrostatique −→
E il existe une énergie liée à la présence du champ, appelée énergie électrique telle quedEe=ue.dτ, avecuela densité volumique d’énergie électrostatique :
ue=1 2ε0.E2
