Electrostatique Champ électrostatique créé par une distribution discrète de charges

(1)

Electrostatique

Champ électrostatique créé par une distribution discrète de charges

Loi de Coulomb

Soit une particule chargée en O de charge Q, respectivement M de charge q. On note rOM et r

u OM

OM , et la permittivité du vide : ⁰^8,85.10^¹²F m. ^¹ Force électrostatique (ou de Coulomb) = force exercée par la charge Q sur q:

 

Q/q 2 3

0 0

1

4 ^r 4

Qq Qq OM

F u

r OM

 

  (1) si Q et q de même signe

Analogie avec la force gravitationnelle

Soit une masse m₁ en O et une masse m₂ enM

Force gravitationnelle = force exercée par la masse m₁ sur m₂ : _{1/ 2} m m¹₂² _r

F G u

  r Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle

Le champ électrostatique (V m. ^¹) créé par Q en M est :

 

0 ² 0

 

³

1

4 4

Q r

Q Q OM

E M u

r OM

 

  (2)

Champ électrostatique créé par un ensemble de charges ponctuelles

Le champ électrostatique total Etot

 

M créé au point M est égal à la superposition des champs électrostatiques créés par chacune des charges ponctuelles Qi au point M :

 

_i

 

tot Q

i

E M 



E M ⁽³⁾

Champ électrostatique créé par une distribution continue de charges

Distribution volumique de charges électriques Densité volumique de charges  (C m. ^³) :

dq

dV (4)

Champ électrostatique :

   

 

3 3

0 0

1

4 4

PM P PM

dE M dq dV

PM PM



 

 

Charge totale :

Q V

Q



dq



dV Champ total :

   

 

³

4 0 V

P PM

E M dV

PM









Distribution surfacique de charges électriques Densité surfacique de charges  (C m. ^²) :

dq

 dS (5)

   

 

3 3

0 0

1

4 4

PM P PM

dE M dq dS

PM PM



 

 

Charge totale :

Q S

Q



dq



dS Champ total :

   

 

³

4 0 S

P PM

E M dS

PM









Distribution linéique de charge électrique Densité linéique de charges  (C m. ^¹) :

dq

 

1 PM 

 

P PM

 

(2)

Symétries et invariances du champ électrostatique

Principe de Curie :

Lorsque des causes produisent des effets, les symétries des causes doivent se retrouver dans celles des effets.

Symétries de la distribution de charges

Plan de symétrie  = plan de symétrique géométrique et charges identiques de chaque côté du plan . Si le plan  est un plan de symétrique de la distribution de

charge, alors champs électrostatiques symétriques par rapport à .

Si M appartient au plan de symétrie , alors le champ électrostatique est inclus dans le plan de symétrie .

Plan d’anti-symétrie ^ = plan de symétrique géométrique et charges opposées de chaque côté du plan^. Si le plan ^ est un plan de symétrique de la distribution de

charge, alors champs électrostatiques anti-symétriques par rapport à^.

Si M appartient au plan d’anti-symétrie ^, alors le champ électrostatique est perpendiculaire au plan d’anti-symétrie

.

Invariances de la distribution de charges

Invariance par translation suivant un axe, si pour un point P et son translaté P': ^

 

^P ^^

 

^P^' . Alors le champ électrostatique sera indépendant de la coordonnée de P selon l’axe de translation.

Invariance par rotation autour d’un axe, si la densité de charge est la même en tout point P' obtenu par rotation de P autour de l’axe. Alors le champ électrostatique sera indépendant de la coordonnée angulaire de P par rapport à l’axe de rotation.

Potentiel électrostatique

Circulation du champ électrostatique entre A et B :

B

A

C



E dl ⁽⁷⁾

Opérateur gradient en coordonnées cartésiennes :

 

x y z

V V V

grad V u u u

x y z

 

  

   

         (8) Différence de potentiel entre deux points A et B =

circulation du champ électrostatique entre ces points.

   

^B

A

V A V B 



E dl ⁽⁹⁾

Relation locale :

 

E grad V (10) Propriété : Le champ électrostatique est dit à circulation conservative : 0

C

E dl 



Pour une charge ponctuelle Q placée à l’origine du repère, agissant sur une particule de charge q en M , on retrouve les expressions et équivalences suivantes :

(3)

Théorème de Gauss

Flux du champ électrostatique à travers une surface S = intégrale du champ à travers cette surface.

E S

 



E dS ⁽¹¹⁾

Sur une surface  est fermée :

E dS







Théorème de Gauss : Le flux du champ électrostatique sortant d’une surface fermée  (surface de Gauss) est égal au rapport de la charge intérieure (à cette surface) à la permittivité du vide :

int 0

E dS Q

 

 



⁽¹²⁾

Analogies entre champ électrostatique et champ de gravitation :

Champ électrique Champ de gravitation

Force de Coulomb : _{1/ 2} ^{1 2}₂ ₁₂

0

1 4

F q q u

 r

 Force gravitationnelle : _{1/ 2} m m¹₂² ₁₂

F G u

  r

Charge : q Masse : m

Constante :

0

1

4 Constante : G

Champ électrique :

 

₂

0

1

4 ^r

E M Qu

 r

 Champ de gravitation :

 

₂ r

G M GMu

  r

Théorème de Gauss : ^int

0

E dS Q

 

 



Théorème de Gauss : G dS 4GMint



  



Sphère uniformément chargée en volume

Plans de symétrie de la distribution de charges : plans passant par le centre de la sphère et par le point



^{, ,}



M r   . Le champ électrique sera donc compris dans l’intersection de ces deux plans : EE M u

 

r

Invariance par rotation de la distribution de charges autour de O, d’où : EE r



^{, ,} 



ur E r u

 

r

Surface de Gauss () : sphère de centre O, de rayon r

Flux : E dS E r u

 

r dSur E r dS

 

E r

 

dS E r

 

⁴r²

   

     

   

Charge intérieure :

3 int

4 3 4 3

r R Q r

r R Q R

 

  



  



Théorème de Gauss : ^int

0

E dS Q

 

 



Champ électrostatique : ⁰₃

2 0

3 3

r

r R E ru

r R E R u r









  



  



rR: ^int ₂

4 0 ^r

E Q u

 r



Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle placée à l’origine de charge de valeur _int 4 ³

qQ 3 R

(4)

Cylindre « infini » uniformément chargé en volume

Plans de symétrie de la distribution de charges : plan contenant l’axe du cylindre et le plan perpendiculaire à l’axe du cylindre passants par le point M . Le champ électrique sera donc compris dans l’intersection de ces deux plans : EE M u

 

r Invariance par translation le long de l’axe du cylindre et par rotation autour du même axe, d’où : EE r



, , z u



_r E r u

 

_r Surface de Gauss () : cylindre fermé d’axe Oz, de rayon r et de hauteur h

Flux :

 

r r

 

r z

     

²

latérale transversales latérale latérale

E dS E r u dSu E r u dSu E r dS E r dS E r rh



       

    

Charge intérieure :

2 int

r R Q r h r R Q R h

 

  



 

 Théorème de Gauss : ^int

0

E dS Q

 

 



Champ électrostatique : ⁰₂

0

2 2

r

r R E ru

r R E R u r









  



  



Plan « infini » uniformément chargé en surface

Plans de symétrie de la distribution de charges : plans contenant l’axe Mz. Le champ électrique sera donc compris dans l’intersection de ces deux plans : EE M u

 

z

Invariance par translation selon x et yde la distribution de charge :



^{, ,}



z

 

z

EE x y z u E z u

Parité :le plan contenant la distribution de charge



xOy



= plan de symétrie de la distribution de charge. Le champ électrostatique sera symétrique par rapport à ce plan. Donc : ^E

 

^{  }^z ^{E z}

 

La fonction est impaire.

Surface de Gauss () : cylindre d’axe Mz, de rayon R et de hauteur h fermé par des disques aux côtes z et z (h2z)

Flux :

       

( ) ( )

2

( ) ( ) ( )

2 2 0

z r z z z z

latérale disque z disque z

disque z disque z disque z

E dS E z u dSu E z u dSu E z u dS u E z dS E z dS E z dS E z R pour z

 



        

      

   

  

Charge intérieure : Q_int  R² Théorème de Gauss : ^int

0

E dS Q

 

 



Champ électrostatique : ⁰

0

2 0 2 0

z

E u z









  



   



(5)

Condensateur plan

Armature supérieure :

1 0

1

0

2 2

z

E u pour z d E u pour z d









  



   



Armature inférieure:

2

0

2 0

2 2

z

E u pour z d E u pour z d









    



   



Théorème de superposition :

0

0 2

2 2

0 2

z

E pour z d

d d

E u pour z

E pour z d





  



     



   



Différence de potentiel :

2

2 2

d

d d

U V V E dl Ed

    

      

   



Capacité d’un condensateur plan : Q ⁰S

C U d

  avec QS

Energie électrique stockée :

2

2 2

0

1 1 1

2 2 2

E

U Q CU SdE

C 

  

Densité volumique d’énergie électrostatique : ⁰ ² 2

E E

u dU E

dV

 

Topographie du champ électrostatique

Définitions :

Le champ électrique est tangent à des courbes appelées lignes de champ qui sont orientées dans le sens du champ.

Un tube de champ est formé par un ensemble de lignes de champ qui s’appuyant sur un contour fermé.

Une surface équipotentielle est une surface formée d’un ensemble de points au même potentiel.

Propriétés :

- le champ électrique est orienté vers les potentiels décroissants.

- le champ électrique est perpendiculaire en tout point à une surface équipotentielle - Une ligne de champ électrostatique ne peut pas être fermée sur elle-même.

- en un point M où le potentiel a un maximum relatif, se trouve une charge positive et inversement pour un minimum relatif et une charge négative.

- dans une région sans charge, si les lignes de champ se resserrent alors le champ électrique est plus intense.

- l’intersection de lignes de champ correspond à un point où se trouve une charge ponctuelle ou où le champ est nul.