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Action d'un champ électrostatique sur une surface de mercure

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Action d’un champ électrostatique sur une surface de

mercure

F. Bertein

To cite this version:

(2)

ACTION D’UN CHAMP

ÉLECTROSTATIQUE

SUR UNE SURFACE DE MERCURE Par F. BERTEIN.

Compagnie

Générale de

Télégraphie

sans fil.

Sommaire. 2014

On étudie le comportement d’une surface de mercure

soumise

à un champ électrique constant. On montre que si ce champ est suffisamment intense les forces de pression électrostatique

provoquent une rupture d’équilibre qui doit influer de façon décisive sur les phénomènes de décharge

tels que « l’émission froide » du mercure dans le vide.

On

imagine

communément la surface libre S d’un

liquide

au repos comme formant un

plan

parfait,

abstraction faite toutefois de la zone avoisinant les

parois

du

récipient,

déformée par les

phénomènes

capillaires.

En

réalité,

S

présente

des écarts par

rapport

à la

planéité

en raison de

l’agitation thermique

des

particules

liquides.

Le

phénomène

peut

être

analysé

à l’aide des lois fondamentales de la

méca-nique

statistique.

Il

est,

d’autre

part,

mis en évidence

expérimentalement

par l’étude de la

ré f lexion

de la lumière sur S : on observe à côté de la réflexion

classique

une réflexion diffuse due à des

aspérités

à l’échelle

microscopique

ou

submicroscopique

[i].

L’émission

électronique

d’une

sur f ace

de mercure sous t’action de

champs électriques

intenses dans le vide

émission froide

o}

conduit

également

à des résultats très différents de ceux que l’on attendrait

de la

part

d’une surface

métallique plane

[2];

on

conçoit

qu’ici

les forces de

pression électrostatique

interviennent pour

amplifier

les déformations. Nous

nous proposons d’examiner ce

phénomène

pour une

surface de mercure soumise à un

champ

uniforme et constant dans le

vide,

en

supposant

qu’il n’y

ait pas eu amorçage

préalable

d’une

décharge

par ionisation de la vapeur. On se bornera à l’étude des

petits

mouvements : autrement

dit,

il est

possible

que les calculs

s’appliquent

seulement au début du processus,

phase

réunissant les conditions suivantes :

Élongations

et vitesses des

particules

assez faibles

pour

qu’on

puisse négliger

leurs

carrés;

Surface S presque

plane partout,

c’est-à-dire

pente

faible et rayons de courbure

grands

vis-à-vis

de

l’élongation

en

chaque

point

(on

ne tiendra pas

compte

de l’effet de

ménisque

du mercure au voisi-nage des

parois).

Tonks a calculé

approximativement

les conditions

de

rupture

par le

champ

électrique

pour une surface S

présentant

initialement une bosse

sphérique

[3];

ses

résultats

présentent

un bon accord avec ceux que nous

établirons

ici de

façon

plus générale.

1.

Expression

du

champ

électrique

super-ficiel. - Soit z

=

~(xy) l’équation

de la surface libre S à un instant

déterminé,

rapportée

à un

sys-tème d’axes

rectangulaires,

Oz étant vertical.

( fig. i).

Le

champ

est

appliqué

à l’aide d’une électrode

plane

parallèle

située en

regard

à la distance

d;

soit E

sa valeur dans la

région

où il est

uniforme;

la

1

Fig. i. - La ligne ondulée voisine du niveau ~0,~

limite une portion de la surface S.

détermination de la

pression

électrostatique

s’exer-çant

sur S nécessite d’abord la connaissance du

champ superficiel

F (xy)

en tout

point

(xy)

de S. On

peut

écrire en vertu des conditions admises

F = E (i

+

2); -e

est un terme correctif fonction de xy,

dépendant

en fait de la forme

globale

de

S,

c’est-à-dire de la

fonction ~(xy).

On posera pour cette raison

d’où

le

symbole Y

définit un

opérateur

dont nous allons déterminer les

propriétés.

L’opérateur 5

est linéaire. ® Prenons E = 1 pour

simplifier

l’écriture. La loi de

potentiel

au-dessus

de S est de la forme

où v est infiniment

petit.

L’équation

de la

surface

S

(3)

353

qu’on

peut

supposer au

potentiel

0,

s’écrit dans ces

conditions :

z =

et le

champ

superficiel

est

Dans le deuxième membre de chacune de ces

relations on

peut

remplacer z

par

zéro;

en

effet,

on commet

ainsi,

dans la

première

une erreur

z dç,

qui

est du 2e

ordre,

donc à

négliger;

de même en ce

qui

concerne la seconde. Revenant aux notations

initiales on voit

qu’il

en résulte

relations

d’après lesquelles

si ~ (xy)

est une

combi-naison linéaire de fonctions

~1

(xy),

...,

51(xy)

apparaît

sous forme de combinaison de mêmes

coefficients

, En d’autres

termes,

tf est un

opérateur

linéaire. Cette

propriété apparaît

naturelle,

du fait

qu’il

s’agit

d’un terme correctif infiniment

petit;

mais

a

priori

ce dernier caractère

n’impliquait

pas

néces-sairement la

linéarité,

la

correspondance pouvait

être

quadratique

ou

plus compliquée

encore.

Détermination de Y pour des surfaces S particu-lières. - Nous achevons de déterminer

l’opé-rateur 5 en le calculant pour une série de cas

parti-culiers. - Soit E

= I, on vérifie aisément que les fonctions suivantes fournissent des distributions de

potentiel possibles

Les

fonctions s (xy) et 3i s (xy)

associées sont

suivant

(2)

autrement

dit,

on

peut

écrire alors

Il est clair que

(4)

est encore valable pour

et,

par

suite,

pour les diverses combinaisons linéaires

des fonctions

précédentes

telles que

p étant défini par

(3).

Si l’on considère

l’opérateur

..

ces mêmes fonctions vérifient

Autrement

dit,

les relations

(4)

et

(5)

s’entraînent

mutuellement.

Si l’on

parle

le

langage

de la théorie des

opéra-teurs, 5 et à ont les mêmes

fonctions

propres.

S pour une surface S quelconque. -

Étant

donnée une S

d’équation z

=

~(xy)

quelconque,

nous pouvons maintenant déterminer

5--~;

nous

développons

par

exemple ~

en série de fonctions

trigonométriques lesquelles

constituent un «

système

complet

» et en vertu de la linéarité nous sommes

ainsi ramenés aux relations

(4)

valables pour chacune de ces fonctions.

2. Les

équations générales

du

problème.

-Conventions et notations. - On

supposera le

mercure contenu dans un vase de forme

parallélé-pipédique

et de section horizontale

carrée;

les notations

adoptées

sont rassemblées dans la liste suivante :

l,

longueur

du côté de cette

section;

a,

profondeur

du

liquide;

.

d,

distance entre

électrodes;

xOz,

yOz, plans

de deux des

parois

verticales;

z = --- a,

plan

contenant le fond du vase;

z

== ~(~/0, équation

de la surface libre

S,

la

variable 1 étant maintenant mise en évidence

(~

= o dans le cas du repos

parfait);

P

(xyt), pression

en un

point

de S

(du

côté intérieur au

liquide);

11(xyzi),

potentiel

des vitesses dans le

liquide;

E,

champ électrique appliqué;

intensité du

champ

sur

S;

g

= g8i

I C. G. S. accélération de la

pesanteur;

? = I 3,6 » masse

spécifique

du mercure;

A

= 4~0

» constante

capillaire;

ï. = 3,9.10-12

» coefficients de

compressi-bilité ;

Yj

= 0,016

» coefficient de viscosité. Nous utiliserons des

fonctions

propres des

opéra-teurs 6. et 57

formant

un

système complet,

c’est-à-dire

susceptibles

de fournir le

développement

de toute

(4)

Elles vérifient

Pour

simplifier

nous écrivons p, mais la notation

à

adopter

devrait être pmn pour

rappeler

le fait que

ce nombre

dépend

de m et

n).

Une

représentation graphique

connue

permet

le

repérage

des

tfmn

et

la

détermination des valeurs

correspondantes

de p. On

porte

sur un

plan

rapporté

à un

système

d’axes

rectangulaires

tous les

points

IVE d’abscisses

mTT

et d’ordonnées

nTT ;

ils forment les d’abscisses

l

et d’ordonnées

1 ;

ils forment les noeuds d’un réseau à mailles carrées et sont liés

biunivoquement

aux fonctions

Y,n,z ( f g.

2),

la valeur

Fi g. 2.

de p attachée à chacun est

simplement

p == OI1~. Le

système

des

rfmn

est d’autre

part

orthogona~

ef

normé,

c’est-à-dire tel que

L’étude ultérieure sera

fondée

sur les cui-actères

essentiets

(8)

et

(9)

de

non

sur leur

expression

particulière

elle-même

(7).

,

Dans le cas oû le vase serait

toujours

cylindrique

mais non

plus

de section

carrée,

il faudrait faire

appel

à un autre

système

~m,2

ainsi que nous le verrons

plus

loin sur un

exemple;

les

équations (8)

et

(9)

étant

sauvegardées,

l’étude

s’appliquerait

sans

modifications.

Observons encore que la deuxième relation

(8)

s’applique

en toute

rigueur

à des fonctions s’étendant

à tout le

plan

x0y ;

dans le cas actuel où leur domaine d’existence est un carré de

côté 1,

on verrait que la relation en J n’est

qu’approchée

pour les valeurs de p les

plus

faibles;

la suite montrera que ces valeurs ne

jouent pratiquement

aucun rôle. Cette même relation pourra d’autre

part,

être absolument en

dé f aut

au

voisinage

des

parois

verticales du aase :

le mercure ne

peut

y être considéré comme

plan

et le champ

n’y

est pas uniforme. Cette

question

sera examinée à la fin de l’étude.

Les calculs sont établis en unités C. G.

S.,

sauf

en ce

qui

concerne le

champ électrique qu’on

évaluera en kilovolts par centimètre

(il

suffit à cet effet de

remplacer E par

(5)

E dans les relations obtenues

, J /

en C. G.

S.).

,

Équations

des petits mouvements. - On

assimi-lera tout d’abord le mercure à un fluide

parfait

(mouvement

irrotationneo,

incompressible,

les influences de la

compressibilité

et de la viscosité étant

envisagées plus

loin.

Dans ces conditions la vitesse de la

particule

liquide

au

point

(xyz)

est donnée, à

partir

d’un

potentiel

de vitesses

IT(xyzt),

par

grad

II. Les

équations

sont les suivantes :

En tout

point

du

liquide :

En tout

point

de S :

Ces

équations

traduisent les lois de

l’hydrodyna-mique

[~~];

P

(xyt)

.dési~ne

en

particulier

la

pression

intérieure en un

point

de S et la relation

(13) exprime

que P est la somme des

pressions capillaire

et

électrostatique.

3. Les solutions fondamentales Le

systèmes

des

équation

précédentes

est linéaire à coefficients constants : F2 dans

(13)

fera

apparaître simplement 5

en vertu d’un

développement

limité au 1er ordre.

Ce

système comprend

des termes

homogènes

par

rapport

aux fonctions inconnues et aussi un terme constant dans

(13).

On

ignorera

ce

dernier,

car il est clair que son introduction se traduit

simplement

par l’addition au

potentiel

des

vitesses,

d’une

cons-tante sans effet

physique.

En

conséquence

et

’compte

tenu de

(6), (13)

devisent :

Il est commode dans ces conditions de rechercher des solutions

particulières

de la forme

où X YZ T sont des fonctions de

xyzl

respectivement;

on essaiera des fonctions XY sinusoïdales de

façon

à provoquer l’intervention des

1

Conditions aux limites et

équation

(10).

- Les

conditions aux limites sur les

parois

verticales

(5)

355

fournissent

et Z est alors déterminé par

(10)

et par la condition

aux limites sur le fond

On écrira pour des raisons de commodité

T= à,,i,,(1)

(le point désignant

la dérivation par

rapport à

t),

d’où en faisant

appel

à la notation

(7),

Équation (11).

- De

(11)

on

déduit ~(~);

si

l’on pose z = o dans

2013

(erreur

du 2e

ordre)

Équation (14).

-

(14) explicite

alors la pres-sion l’

(xyt)

Équation

(12).

-

En y substituant

II, ~,

P par leurs valeurs

(15), (16), (17),

cette

équation

donne enfin la relation suivante déterminant

u(t)

On

peut prendre

en

conséquence

u,,,,,(t)

== ex’

(on

devrait en fait écrire (X’Jlll et non

a),

(X étant solution de

Signification physique

de

(19) :

conservation de

isénergie.

- Cherchons

l’expression

de cette

con-servation pour la masse de mercure;

l’énergie

cinétique

totale est

En tenant

compte,

d’une

part,

de l’identité

et,

d’autre

part,

de la relation

(10)

et des conditions

aux limites du

champ

grad

IT,

nous en déduisons

c’est-à-dire en vertu de

(15)

Il est inutile de calculer

l’énergie

potentielle

th,

du

liquide;

la conservation de

l’énergie exige

en

effet que l’on ait

c’est-à-dire

d’après (20)

Or,

si l’on

explicite Up

on obtient trois termes contenant

respectivement

les facteurs d’action g,

A, E,

d’où une

équation

entre les deux

paramètres

oc

et p. Si l’on se

reporte

à

(19),

il est clair que

l’équa-tion

actuelle,

ne

peut

en être différente.

(19) exprime

donc

simplemerit la

conservation de

l’énergie (au coelficient

1 C( e-20153t

près).

Influence de la

compreèsibilité

du mercure. - Si l’on

tient

compte

de cette

propriété, l’équation (10)

est à

remplacer

par la suivante :

la résolution conduit sans difficultés à

l’équa-tion

(19)

où l’on

remplace

dans le

premier

terme p par

B/ p2 -

en raison de la

valeur Zp =

5,3.

Io-11 on voit que la

compressi-bilité du mercure n’interviendrait que dans des

mouvements très

rapides

que nous n’aurons pas

pas lieu

d’envisager.

Correction introduite par la viscosité. -- La

visco-sité du mercure fait

disparaître

en l’unité de

temps

une

énergie mécanique

[5]

c’est-à-dire en raison de

(15)

de sorte que la conservation de

l’énergie

s’écrit alors

Up

et Uc

gardent pratiquement

les valeurs calculées de sorte

qu’il

s’agit

de

(21)

modifiée par le terme

U~;

conformément à une remarque

précédente,

(6)

c’est-à-dire avec les valeurs

numériques

4. Discussion des divers mouvements. - En

conclusion. des évolutions

possibles

pour la surface libre S sont données par

ce

pouvant d’après

(22)

prendre

deux valeurs

dis-tinctes,

c’est-à-dire fournir deux variations pour

chaque

Les

phénomènes dépendront

essentiellement du

signe

de

l’expression

D

(p E).

Nous supposerons tout d’abord d = oo

(coth

pd

=

i)

et

désignerons

par p~, p, les racines de

l’équation

D(pE)=o.

9?Ù

>

Ce sont des fonctions de

E;

soit

Eo

la valeur de E pour

laquelle

pi, p, sont

confondues,

po leur valeur

commune dans ces

conditions

Il existe deux cas à considérer en

fonction

des valeurs affribuées aux

paramètres

p,

E;

on observe

que la viscosité intervient dans (x, oc’ à la

façon

générale

des facteurs d’amortissement. Premier cas. -

E2 >

Ei

et pi P p2.

D

(p E)

> o ; ex et ce’ réels de

signes

contraire déformations

exponentielles

de la surface libre. « > o définit une déformation

croissante,

c’est-à-dire

une

rupture

de

l’équilibre

du mercure, oc’ o définit un

mouvement amorti aboutissant à

l’équilibre ~

= o. Deuxième cas

(complémentaire).

- E2

>E2

et p extérieur à l’intervalle ou

E2 E~~ .

D (p E)

o; oc et «’ soit

complexes,

soit

réels,

et

négatifs.

Évolutions,

soit

exponentielles,

soit

oscillatoires,

mais

toujours

de

type

amorti aboutissant à

l’équi-libre §

= o.

Cas intermédiaire. --- D

(p E)

® o ; o. On

observe ainsi une solution

particulière

statique :

~

=

§mn(xy)

représentant

un

équilibre

différent

de ~

= o; l’autre solution est amortie,

Représentation- graphique.

- La courbe définie

par

(25) partage

le

plan (p E)

en deux

régions

corres-pondant

respectivement

à

chacun

des cas

envi-sagés

(fig. 3).

Fig. 3.

Le tracé en est aisé si l’on remarque que

On

peut envisager

au lieu de p la

longueur

d’onde

géométrique

de la déformation 1. == à po en

P

particulier correspond Jo ==

I, cm.

La

justification qualitative

des résultats

précédents

est aisée : les deux

f acfeurs

tension

superficielle

et

pesanteur

tendent à maintenir

l’équilibre

du

mercures = o. Le

champ électrique

mani f este

la

tendance inverse du fait que la

pression (on

devrait dire la

traction) électrostatique

est

plus

forte sur

les

parties

convexes que sur les

autres; il

ne

parvient

à rompre

l’équilibre

que s’il est

suffisamment

intense et si la

longueur

d’onde de la

dé f ormation

n’est ni

tl°op

f aible,

ni

trop

grande,

sinon les

phénomènes,

soit

capillaires,

soit de

gravitation

sont

respectivement

prépondérants

et

imposent

leurs

types

propres d’oscil-Iations amorties.

Si l’on lieret

compte

de la distance

finie

d,

séparant

les électrodes et intervenant dans

cothpd

seuls sont

changés

les

phénomènes

correspon-dant

à des valeurs de p de l’ordre au

plus

de

m et

n au

plus

de l’ordre

de 1 ).

On a

reporté

en tirets sur la

figure

3, la

ligne

de

sépara-tion D

(p E)

= o dans le cas d == 2 mm; le

champ

critique

est alors non pas

Eo

=

75

kV,

mais sensi-blement 55 kV et

correspond à

p = o.

Il

s’agit

là de différences dénuées d’intérêt pour

la suite.

5.

Évolution

de la surface S dans le cas

général.

- La solution

(7)

super-357

position

à

partir

des solutions

particulières qu’on

vient de définir : la surface libre S évolue suivant la relation

oc et oc’ sont

f onctions

de p suivant

(24),

et

Clnn

sont des coefficients

numériques

déterminés par des conditions de réalité et les conditions initiales : forme de S et vitesse d’évolution

pour 1

=

o, ce

qui

est

possible

car les constituent le

système

complet

des fonctions

trigonométriques

adaptées

aux conditions aux limites sur les

parois.

1

L"évolution de S est donc un mouvement amorti

sauf si

E est

suffisamment fort (E

>

Eo =

75 kV,

si d =

oo)

et s’il’existe à

l’origine

dans le «

spectre

» de p des valeurs

comprise

entre certaines limites

(p, P2) :

dans ce dernier cas les

composantes

correspon-dantes

Cmn tfmn eXL

1

s’ampIi fient exponentiellement (le

cas où o mais c"2n = o

correspondrait

à des

conditions initiales

trop particulières

pour être effec-tivement

réalisé).

Stabilité

d’équilibre

du mercure au repos. -

Envi-sageons le mercure au repos au sens

physique

du terme; s’il arrive que les dimensions du vase

permettent,

en vertu de

(’l)

l’existence de valeurs de p

comprises

entre pi et p,

(point représentatif

dans la zone

hachurée

de la

figure 3),

ces valeurs existent effectivement en raison des mouvements

thermiques

et,

du fait de leur

amplification, l’équilibre

est instable.

Supposons

à titre

d’exemple

E = ioo cm; on trouve

-ce

qui

donne les

longueurs

d’onde À =

o,35

et

3,9

cm.

Le mercure sera

toujours

en

équilibre

instable s’il

existe des valeurs de p

possibles comprises

entre pl et p,,

c’est-à-dire,

comme le montre la

représen-tation

géométrique

(fig.

2),

si 1 > 0,17 cm.

Plaçons-nous

dans le cas de

l’équilibre

instable;

les

équations

obtenues ne

peuvent

alors

s’appliquer

que tout au début du processus

(approximation

des

«petits

mouvements

»~.

La

thermodynamique

permet

de

prévoir qualitativement

la suite de l’évolution : le mouvement

prend

une

amplitude

telle

qu’une

décharge

s’établit nécessairement entre le mercure et l’électrode

opposée (décharge

soit

électronique,

soit

simplement

par contacts de

gouttelettes

ou

d’oscil-lations).

Cette

décharge,

continue ou

intermittente,

se

poursuit

tant que subsistent les conditions

d’équi-libre instable : elle ne

peut

cesser

qu’à

la faveur d’un abaissement de E ramenant les

points figuratifs

des mouvements dans la zone

d’équilibre

stable.

S’il n’en était pas

ainsi,

en

effet,

nous aurions la

possibilité

de réaliser le mouvement

perpétuel

du mercure à l’aide de

charges statiques

fournies

une fois pour toutes aux électrodes et suffisante

pour créer un

champ

assurant l’instabilité.

6. La

phase

transitoire d’établissement du

champ.

-

Reprenons

l’exemple

numé-rique

E = Ioo kv : cnx et

envisageons

pour fixer les idées un mouvement associé à p ~ 1 o

cm-1,

c’est-à-dire

correspondant

à peu

près

au milieu du domaine d’instabilité

(pl p2) ~

Le coefficient oc

correspondant

est,

si l’on suppose a, d i i mm

L’amplification

se traduit ainsi par

l’exponen-tielle

e15ut;

en

l’espace

de

1/; oe

de seconde les

élonga-tions sont

multipliées

par un facteur de l’ordre

de 3. 1 ol. Bien que le

champ

I oo kV : cm ne soit pas tellement

supérieur

à la limite

Eo

=

75

kV : cm,

on voit que la

rupture

d’équilibre

s’effectue à une

vitesse considérable et le calcul montrerait aisément que cette vitesse

augmente

rapidement

pour des valeurs croissantes de E. On

conçoit

bien que même si seules

préexistent

les oscillations

thermiques

d’amplitude

très

faible,

ces oscillations conduisent

à une

rupture

d’équilibre

presque

immédiate;

ce

point

sera

précisé

ultérieurement.

On voit de

plus, qu’il

ne sera pas

toujours possible

d’admettre que

l’application

du

champ

E

s’effectue

instantanément : la durée du

régime

d’établissement de E

peut

être relativement

grande

en raison de l’existence d’une résistance de

protection

élevée

disposée

sur le circuit et de ce

fait,

l’état du mercure

est

susceptible

de varier notablement durant cette

phase.

L’étude de ce

phénomène

transitoire met

toujours

en

jeu

le

système

d’équations (10),

(11),

(12),

(14);

il lui

correspond

encore des solutions

particulières

(16); Umn(t)

est solution de

l’équation

différentielle

(18)

dans

laquelle

E est maintenant

/ t

une fonction de 1. Si l’on

prend

on

peut

montrer que les

u"2,t (t) s’expriment

à l’aide de fonctions de Bessel

complexes.

,

(A

suivre.)

Manuscrit reçu le 5 janvier 1948.

BIBLIOGRAPHIE.

[1] MANDELSTAM, Ann. der Physik, 1913, 41, p. 609; GANS,

Ann. der Physik, 1924, 74, p. 231; 1925, 77, p. 317. [2] BEAMS, Phys. Rev., 1933, 44, p. 803; QUARLES, Phys. Rev.,

1935, 48, p. 260; MOORE, Phys. Rev., 1936, 50, p. 344.

[3] TONKS. Phys. Rev., 1935, 48, p. 562.

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