Action d'un champ électrostatique sur une surface de mercure

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Action d’un champ électrostatique sur une surface de

mercure

F. Bertein

To cite this version:

ACTION D’UN CHAMP

_{ÉLECTROSTATIQUE}

SUR UNE SURFACE DE MERCURE Par F. BERTEIN.

Compagnie

Générale de

Télégraphie

sans fil.

Sommaire. 2014

On étudie le comportement d’une surface de mercure

soumise

à un _{champ électrique} constant. On montre que si ce _champ est suffisamment intense les forces de pression électrostatique

provoquent une rupture d’équilibre qui doit influer de façon décisive sur les _phénomènes de décharge

tels _que « l’émission froide » du mercure dans le vide.

On

imagine

communément la surface libre S d’un

liquide

au _repos comme formant un

_plan

_parfait,

abstraction faite toutefois de la zone avoisinant les

parois

du

_récipient,

_{déformée par} les

_phénomènes

capillaires.

En

réalité,

S

_présente

des écarts par

rapport

à la

_planéité

en raison de

_{l’agitation thermique}

des

_particules

_liquides.

Le

_phénomène

_peut

être

analysé

à l’aide des lois fondamentales de la

méca-nique

statistique.

Il

_est,

d’autre

_part,

mis en évidence

expérimentalement

par l’étude de la

ré f lexion

de la lumière sur S : on observe à côté de la réflexion

classique

une réflexion diffuse due à des

_aspérités

à l’échelle

_{microscopique}

ou

submicroscopique

[i].

L’émission

_{électronique}

d’une

_{sur f ace}

de mercure sous t’action de

_{champs électriques}

intenses dans le vide

_(«

émission froide

_o}

conduit

_également

à des résultats très différents de ceux _{que l’on attendrait}

de la

_part

d’une surface

_{métallique plane}

_[2];

on

conçoit

qu’ici

les forces de

_{pression électrostatique}

interviennent pour

amplifier

les déformations. Nous

nous _{proposons d’examiner} ce

_phénomène

_pour une

surface de mercure soumise à un

_champ

uniforme et constant dans le

vide,

en

_supposant

_{qu’il n’y}

ait _pas eu _amorçage

_préalable

d’une

décharge

par ionisation de la _{vapeur. On} se bornera à l’étude des

petits

mouvements : autrement

dit,

il est

_possible

que les calculs

s’appliquent

seulement au début du processus,

phase

réunissant les conditions suivantes :

Élongations

et vitesses des

_particules

assez faibles

pour

qu’on

puisse négliger

leurs

carrés;

Surface _{S presque}

_{plane partout,}

c’est-à-dire

pente

faible et _rayons de courbure

_grands

vis-à-vis

de

l’élongation

en

_chaque

_point

_(on

ne _{tiendra pas}

compte

de l’effet de

_ménisque

du mercure au voisi-nage des

parois).

Tonks a calculé

approximativement

les conditions

de

_rupture

_par le

_champ

_électrique

_pour une surface S

présentant

initialement une bosse

sphérique

[3];

ses

résultats

_présentent

un bon accord avec ceux _que nous

établirons

ici de

façon

plus générale.

1.

_Expression

du

_champ

_électrique

super-ficiel. - Soit z

=

~(xy) l’équation

de la surface libre S à un instant

déterminé,

rapportée

à un

sys-tème d’axes

_{rectangulaires,}

Oz étant vertical.

_{( fig. i).}

Le

_champ

est

_appliqué

à l’aide d’une électrode

_plane

parallèle

située en

_regard

à la distance

_d;

soit E

sa valeur dans la

_région

où il est

uniforme;

la

1

Fig. i. - La ligne ondulée voisine du niveau ~0,~

limite une _portion de la surface S.

détermination de la

pression

électrostatique

s’exer-çant

sur S nécessite d’abord la connaissance du

champ superficiel

F (xy)

en tout

_point

_(xy)

de S. On

_peut

écrire en vertu des conditions admises

_{F = E (i}

+

2); -e

est un terme correctif fonction de _xy,

_dépendant

en fait de la forme

globale

de

S,

c’est-à-dire de la

_{fonction ~(xy).}

On posera pour cette raison

d’où

le

_{symbole Y}

définit un

_opérateur

dont nous allons déterminer les

_{propriétés.}

’

L’opérateur 5

est linéaire. ® Prenons E = 1 _pour

simplifier

l’écriture. La loi de

_potentiel

au-dessus

de S est de la forme

où v est infiniment

_petit.

_{L’équation}

de la

surface

S

353

qu’on

peut

supposer au

_potentiel

_0,

s’écrit dans ces

conditions :

_{z =}

et le

_champ

_superficiel

est

Dans le deuxième membre de chacune de ces

relations on

_peut

_{remplacer z}

_par

_zéro;

en

_effet,

on commet

ainsi,

dans la

_première

une erreur

z dç,

qui

est du 2e

_ordre,

donc à

négliger;

de même en ce

_qui

concerne la seconde. Revenant aux notations

initiales on voit

_qu’il

en résulte

relations

_{d’après lesquelles}

_{si ~ (xy)}

est une

combi-naison linéaire de fonctions

_~1

_(xy),

...,

51(xy)

apparaît

sous forme de combinaison de mêmes

coefficients

, En d’autres

termes,

tf est un

_opérateur

linéaire. Cette

_{propriété apparaît}

naturelle,

du fait

_qu’il

s’agit

d’un terme correctif infiniment

_petit;

mais

a

_priori

ce dernier caractère

_{n’impliquait}

_pas

néces-sairement la

linéarité,

la

_{correspondance pouvait}

être

_quadratique

ou

_{plus compliquée}

encore.

Détermination de Y pour des surfaces S particu-lières. - Nous achevons de déterminer

l’opé-rateur 5 en le calculant pour une série de cas

parti-culiers. - Soit E

= _I, on _{vérifie aisément que} les fonctions suivantes fournissent des distributions de

potentiel possibles

’

Les

_{fonctions s (xy) et 3i s (xy)}

associées sont

suivant

₍₂₎

autrement

dit,

on

_peut

écrire alors

Il est _{clair que}

₍₄₎

est encore valable _pour

et,

par

suite,

pour les diverses combinaisons linéaires

des fonctions

_{précédentes}

_{telles que}

p étant défini par

(3).

Si l’on considère

_{l’opérateur}

..

ces mêmes fonctions vérifient

Autrement

_dit,

les relations

₍₄₎

et

₍₅₎

s’entraînent

mutuellement.

Si l’on

_parle

le

_langage

de la théorie des

opéra-teurs, 5 et à ont les mêmes

_fonctions

_propres.

S pour une surface S quelconque. -

Étant

donnée une S

_{d’équation z}

=

~(xy)

quelconque,

nous _pouvons maintenant déterminer

_5--~;

nous

développons

par

exemple ~

en série de fonctions

trigonométriques lesquelles

constituent un «

_système

complet

» et en vertu de la linéarité nous sommes

ainsi ramenés aux relations

₍₄₎

_{valables pour chacune} de ces fonctions.

2. Les

_{équations générales}

du

_problème.

-Conventions et notations. - On

supposera le

mercure contenu dans un vase de forme

parallélé-pipédique

et de section horizontale

carrée;

les notations

_adoptées

sont rassemblées dans la liste suivante :

l,

longueur

du côté de cette

section;

a,

profondeur

du

_liquide;

.

d,

distance entre

électrodes;

xOz,

yOz, plans

de deux des

_parois

verticales;

z = --- _a,

plan

contenant le fond du _vase;

z

_{== ~(~/0, équation}

de la surface libre

_S,

la

variable 1 étant maintenant mise en évidence

(~

= o dans le cas du _repos

_parfait);

P

_{(xyt), pression}

en un

_point

de S

_(du

côté intérieur au

_liquide);

11(xyzi),

potentiel

des vitesses dans le

_liquide;

E,

_{champ électrique appliqué;}

intensité du

_champ

sur

_S;

g

= g8i

I C. G. S. accélération de la

_pesanteur;

? = I 3,6 » masse

_spécifique

du mercure;

A

_{= 4~0}

» constante

_capillaire;

ï. = 3,9.10-12

» coefficients de

compressi-bilité ;

Yj

= 0,016

» coefficient de viscosité. Nous utiliserons des

_fonctions

propres des

opéra-teurs 6. et 57

_formant

un

_{système complet,}

c’est-à-dire

susceptibles

de fournir le

_{développement}

de toute

Elles vérifient

Pour

_simplifier

nous _{écrivons p, mais la notation}

à

adopter

devrait _{être pmn pour}

_rappeler

le _{fait que}

ce nombre

dépend

de m et

_n).

Une

_{représentation graphique}

connue

_permet

le

repérage

des

_tfmn

et

_la

détermination des valeurs

correspondantes

de _{p. On}

_porte

sur un

_plan

_rapporté

à un

_système

d’axes

_{rectangulaires}

tous les

_points

IVE d’abscisses

_mTT

et d’ordonnées

nTT ;

ils forment les d’abscisses

_l

et d’ordonnées

_{1 ;}

ils forment les noeuds d’un réseau à mailles carrées et sont liés

biunivoquement

aux fonctions

_{Y,n,z ( f g.}

_2),

la valeur

Fi g. 2.

de p attachée à chacun est

_simplement

_p == OI1~. Le

_système

des

_rfmn

est d’autre

_part

_orthogona~

ef

normé,

c’est-à-dire _{tel que}

L’étude ultérieure sera

_fondée

sur les cui-actères

essentiets

₍₈₎

et

₍₉₎

de

_non

sur leur

_expression

particulière

elle-même

_(7).

,

Dans le cas oû le vase serait

_toujours

_cylindrique

mais non

_plus

de section

carrée,

il faudrait faire

appel

à un autre

_système

_~m,2

_{ainsi que} nous le verrons

_plus

loin sur un

_exemple;

les

_{équations (8)}

et

₍₉₎

étant

_{sauvegardées,}

l’étude

_{s’appliquerait}

sans

modifications.

Observons encore _{que la deuxième relation}

₍₈₎

s’applique

en toute

_rigueur

à des fonctions s’étendant

à tout le

_plan

_{x0y ;}

dans le cas actuel où leur domaine d’existence est un carré de

côté 1,

on verrait _que la relation en J n’est

_{qu’approchée}

_pour les valeurs de p les

plus

faibles;

la suite montrera que ces valeurs ne

_{jouent pratiquement}

aucun rôle. Cette même relation pourra d’autre

part,

être absolument en

dé f aut

au

_voisinage

des

_parois

verticales du aase :

le mercure ne

_peut

_{y être} considéré comme

_plan

et le _champ

_n’y

est _pas uniforme. Cette

_question

sera examinée à la fin de l’étude.

Les calculs sont établis en unités C. G.

_S.,

sauf

en ce

_qui

concerne le

champ électrique qu’on

évaluera en kilovolts par centimètre

(il

suffit à cet effet de

remplacer E par

(5)

E dans les relations obtenues

, J /

en C. G.

_S.).

,

Équations

des petits mouvements. - On

assimi-lera tout d’abord le mercure à un fluide

_parfait

(mouvement

irrotationneo,

incompressible,

les influences de la

_{compressibilité}

et de la viscosité étant

_{envisagées plus}

loin.

Dans ces conditions la vitesse de la

_particule

liquide

au

_point

_(xyz)

est donnée, à

_partir

d’un

potentiel

de vitesses

_IT(xyzt),

_par

_grad

II. Les

_équations

sont les suivantes :

En tout

_point

du

_{liquide :}

En tout

_point

de S :

Ces

_équations

traduisent les lois de

l’hydrodyna-mique

[~~];

P

_(xyt)

_.dési~ne

en

_particulier

_la

_pression

intérieure en un

_point

de S et la relation

_{(13) exprime}

que P est la somme des

_{pressions capillaire}

et

électrostatique.

3. Les solutions fondamentales Le

_systèmes

des

_équation

_{précédentes}

est linéaire à coefficients constants : F2 dans

₍₁₃₎

fera

_{apparaître simplement 5}

en vertu d’un

_{développement}

limité au 1er ordre.

Ce

_{système comprend}

des termes

_homogènes

_par

rapport

aux fonctions inconnues et aussi un terme constant dans

_(13).

On

_ignorera

ce

_dernier,

car il est clair que son introduction se traduit

_simplement

par l’addition au

_potentiel

des

_vitesses,

d’une

cons-tante sans effet

_physique.

En

_conséquence

et

_’compte

tenu de

_{(6), (13)}

devisent :

Il est commode dans ces conditions de rechercher des solutions

_{particulières}

de la forme

où X YZ T sont des fonctions de

_xyzl

_{respectivement;}

on essaiera des fonctions XY sinusoïdales de

façon

à _{provoquer l’intervention} des

₁

Conditions aux limites et

équation

(10).

- Les

conditions aux limites sur les

_parois

verticales

355

fournissent

et Z est alors déterminé par

(10)

et par la condition

aux limites sur le fond

On écrira _{pour des} raisons de commodité

_{T= à,,i,,(1)}

(le point désignant

la _{dérivation par}

_{rapport à}

_t),

d’où en faisant

_appel

à la notation

_(7),

Équation (11).

- De

(11)

on

_{déduit ~(~);}

si

l’on _{pose z} = o dans

2013

(erreur

du 2e

_ordre)

Équation (14).

-

(14) explicite

alors la pres-sion l’

_(xyt)

Équation

(12).

-

En y substituant

II, ~,

P par leurs valeurs

_{(15), (16), (17),}

cette

_équation

donne enfin la relation suivante déterminant

_u(t)

On

_{peut prendre}

en

_conséquence

_u,,,,,(t)

== ex’

(on

devrait en fait écrire (X’Jlll et non

_a),

(X étant solution de

Signification physique

de

_{(19) :}

conservation de

isénergie.

- Cherchons

l’expression

de cette

con-servation pour la masse de mercure;

_l’énergie

cinétique

totale est

En tenant

_compte,

d’une

_part,

de l’identité

et,

d’autre

_part,

de la relation

₍₁₀₎

et des conditions

aux limites du

_champ

_grad

IT,

nous en déduisons

c’est-à-dire en vertu de

₍₁₅₎

Il est inutile de calculer

_l’énergie

_potentielle

_th,

du

_liquide;

la conservation de

_{l’énergie exige}

en

effet que l’on ait

c’est-à-dire

_{d’après (20)}

Or,

si l’on

_{explicite Up}

on obtient trois termes contenant

_{respectivement}

les facteurs d’action _g,

A, E,

d’où une

_équation

entre les deux

_paramètres

oc

et p. Si l’on se

_reporte

à

_(19),

il est clair que

l’équa-tion

_actuelle,

ne

_peut

en être différente.

(19) exprime

donc

_{simplemerit la}

conservation de

l’énergie (au coelficient

1 C( e-20153t

_près).

P«

Influence de la

compreèsibilité

du mercure. - Si l’on

tient

_compte

de cette

_{propriété, l’équation (10)}

est à

remplacer

par la suivante :

la résolution conduit sans difficultés à

l’équa-tion

₍₁₉₎

où l’on

_remplace

dans le

_premier

terme _{p par}

_{B/ p2 -}

en raison de la

valeur Zp =

5,3.

Io-11 on voit _que la

compressi-bilité du mercure n’interviendrait _{que dans} des

’

mouvements très

_rapides

_que nous n’aurons _pas

pas lieu

d’envisager.

Correction introduite par la viscosité. -- La

visco-sité du mercure fait

_disparaître

en l’unité de

temps

une

_{énergie mécanique}

_[5]

c’est-à-dire en raison de

₍₁₅₎

de _{sorte que la conservation} de

l’énergie

s’écrit alors

Up

et Uc

gardent pratiquement

les valeurs calculées de sorte

_qu’il

_s’agit

de

₍₂₁₎

_{modifiée par} le terme

U~;

conformément à une remarque

précédente,

c’est-à-dire avec les valeurs

_numériques

4. Discussion des divers mouvements. - En

conclusion. des évolutions

possibles

pour la surface libre S sont _{données par}

ce

_{pouvant d’après}

₍₂₂₎

_prendre

deux _valeurs

dis-tinctes,

c’est-à-dire fournir deux variations pour

chaque

Les

_{phénomènes dépendront}

essentiellement du

signe

de

_{l’expression}

D

_{(p E).}

_{Nous supposerons} tout d’abord d = oo

_(coth

_pd

=

i)

et

désignerons

par p~, p, les racines de

l’équation

D(pE)=o.

9?Ù

>

Ce sont des fonctions de

E;

soit

_Eo

la valeur de E pour

laquelle

pi, p, sont

_confondues,

_po leur valeur

commune dans ces

conditions

Il existe deux cas à considérer en

_fonction

des valeurs affribuées aux

_paramètres

_p,

E;

on observe

que la viscosité intervient dans (x, oc’ à la

façon

générale

des facteurs d’amortissement. Premier cas. -

E2 >

Ei

et pi P p2.

D

_{(p E)}

> o ; ex et ce’ réels de

signes

contraire déformations

_{exponentielles}

de la surface libre. « > o définit une déformation

croissante,

c’est-à-dire

une

_rupture

de

_{l’équilibre}

du mercure, oc’ o définit un

mouvement amorti aboutissant à

_{l’équilibre ~}

= _o. Deuxième cas

(complémentaire).

- E2

>E2

et p extérieur à l’intervalle ou

_{E2 E~~ .}

D (p E)

o; oc et «’ soit

complexes,

soit

réels,

et

négatifs.

Évolutions,

soit

_{exponentielles,}

soit

oscillatoires,

mais

toujours

de

_type

amorti aboutissant à

l’équi-libre §

= _o.

Cas intermédiaire. --- D

(p E)

® _{o ;} o. On

observe ainsi une solution

_{particulière}

statique :

~

=

§mn(xy)

représentant

_un

équilibre

différent

de ~

= _o; l’autre solution est amortie,

Représentation- graphique.

- La courbe définie

par

(25) partage

le

plan (p E)

en deux

régions

corres-pondant

respectivement

à

_chacun

_des cas

envi-sagés

(fig. 3).

Fig. 3.

Le tracé en est aisé si _{l’on remarque que}

On

_{peut envisager}

au _{lieu de p la}

_longueur

d’onde

géométrique

de la déformation 1. == _{à po en}

P

particulier correspond Jo ==

I, cm.

La

_{justification qualitative}

des résultats

_précédents

est aisée : les deux

_{f acfeurs}

tension

_{superficielle}

et

pesanteur

tendent à maintenir

_{l’équilibre}

du

mercures = o. Le

_{champ électrique}

_{mani f este}

la

tendance inverse _{du fait que} la

_{pression (on}

devrait dire la

_{traction) électrostatique}

est

_plus

forte sur

les

_parties

convexes _que sur les

autres; il

ne

_parvient

à _rompre

_{l’équilibre}

_{que s’il} est

_suffisamment

intense et si la

_longueur

d’onde de la

_{dé f ormation}

n’est ni

tl°op

f aible,

ni

_trop

_grande,

sinon les

_{phénomènes,}

soit

capillaires,

soit de

_gravitation

sont

_{respectivement}

prépondérants

et

_imposent

leurs

_types

_propres d’oscil-Iations amorties.

Si l’on lieret

_compte

de la distance

_finie

d,

séparant

les électrodes et intervenant dans

_cothpd

seuls sont

_changés

les

_phénomènes

correspon-dant

à des valeurs de _{p de l’ordre} au

_plus

de

_{m et}

n au

_plus

de l’ordre

de 1 ).

On a

_reporté

en tirets sur la

_figure

3, la

_ligne

de

sépara-tion D

_{(p E)}

= _o dans le _cas d == 2 _mm; le

_champ

critique

est alors non _pas

_Eo

=

75

kV,

mais sensi-blement 55 kV et

_{correspond à}

_p = o.

Il

_s’agit

là de différences _{dénuées d’intérêt pour}

la suite.

5.

Évolution

de la surface S dans le cas

général.

- La solution

super-357

position

à

_partir

des solutions

_{particulières qu’on}

vient de définir : la surface libre S évolue suivant la relation

oc et oc’ sont

f onctions

de _p suivant

(24),

et

Clnn

sont des coefficients

_numériques

_{déterminés par} des conditions de réalité et les conditions initiales : forme de S et vitesse d’évolution

_{pour 1}

=

o, ce

qui

est

_possible

car les constituent le

_système

complet

des fonctions

_{trigonométriques}

adaptées

aux conditions aux limites sur les

_parois.

₁

L"évolution de S est donc un mouvement amorti

sauf si

E est

_{suffisamment fort (E}

>

_{Eo =}

_{75 kV,}

si d =

oo)

et s’il’existe à

_l’origine

dans le «

_spectre

» de p des valeurs

comprise

entre certaines limites

_{(p, P2) :}

dans ce dernier cas les

_composantes

correspon-dantes

_{Cmn tfmn eXL}

1

s’ampIi fient exponentiellement (le

cas où o mais c"2n = o

correspondrait

à des

conditions initiales

_{trop particulières}

_pour être effec-tivement

_réalisé).

Stabilité

d’équilibre

du mercure au repos. -

Envi-sageons le mercure au _repos au sens

_physique

du terme; s’il arrive que les dimensions du vase

permettent,

en vertu de

_(’l)

l’existence de valeurs de p

comprises

entre _pi et _p,

_{(point représentatif}

dans la zone

_hachurée

de la

_{figure 3),}

ces valeurs existent effectivement en raison des mouvements

_thermiques

et,

du fait de leur

_{amplification, l’équilibre}

est instable.

Supposons

à titre

_d’exemple

E = ioo _cm; on trouve

-ce

_qui

donne les

_longueurs

d’onde À =

o,35

et

_3,9

cm.

Le mercure sera

_toujours

en

_équilibre

instable s’il

existe des valeurs _{de p}

_{possibles comprises}

_{entre pl} et _p,,

_{c’est-à-dire,}

comme le montre la

représen-tation

_{géométrique}

_(fig.

_2),

si _{1 > 0,17} cm.

Plaçons-nous

dans le cas de

_{l’équilibre}

_instable;

les

équations

obtenues ne

_peuvent

alors

_{s’appliquer}

que tout au début du _processus

_{(approximation}

des

«petits

mouvements

_»~.

La

_{thermodynamique}

_permet

de

_{prévoir qualitativement}

la suite de l’évolution : le mouvement

_prend

une

amplitude

telle

_qu’une

décharge

s’établit nécessairement entre le mercure et l’électrode

_{opposée (décharge}

soit

_{électronique,}

soit

simplement

par contacts de

gouttelettes

ou

d’oscil-lations).

Cette

_décharge,

continue ou

_{intermittente,}

se

_poursuit

tant _que subsistent les conditions

d’équi-libre instable : elle ne

_peut

cesser

_qu’à

la faveur d’un abaissement de E ramenant les

_{points figuratifs}

des mouvements dans la zone

_{d’équilibre}

stable.

S’il _{n’en était pas}

ainsi,

en

effet,

nous aurions la

possibilité

de réaliser le mouvement

_perpétuel

du mercure à l’aide de

_{charges statiques}

fournies

une fois _{pour toutes} aux électrodes et suffisante

pour créer un

_champ

assurant l’instabilité.

6. La

_phase

transitoire d’établissement du

champ.

-

Reprenons

l’exemple

numé-rique

E = Ioo kv : cnx et

_envisageons

pour fixer les idées un mouvement associé à p ~ 1 o

cm-1,

c’est-à-dire

correspondant

à _peu

_près

au milieu du domaine d’instabilité

_{(pl p2) ~}

Le coefficient oc

correspondant

est,

si l’on suppose a, d i i mm

L’amplification

se traduit ainsi par

l’exponen-tielle

_e15ut;

en

_l’espace

de

_{1/; oe}

de seconde les

élonga-tions sont

_multipliées

par un facteur de l’ordre

de 3. 1 ol. Bien _{que le}

_champ

I oo kV : cm ne soit pas tellement

supérieur

à la limite

_Eo

=

75

kV : _cm,

on _{voit que} la

_rupture

_{d’équilibre}

s’effectue à une

vitesse considérable et le calcul montrerait aisément que cette vitesse

augmente

rapidement

pour des valeurs croissantes de E. On

conçoit

bien que même si seules

préexistent

les oscillations

_thermiques

d’amplitude

très

_faible,

ces oscillations conduisent

à une

_rupture

_{d’équilibre}

_presque

immédiate;

ce

point

sera

_précisé

ultérieurement.

On voit de

_{plus, qu’il}

ne sera _pas

_{toujours possible}

d’admettre que

l’application

du

_champ

E

_s’effectue

instantanément : la durée du

_régime

d’établissement de E

_peut

être relativement

_grande

en raison de l’existence d’une résistance de

_protection

élevée

disposée

sur le circuit et de ce

_fait,

l’état du mercure

est

_susceptible

de varier notablement durant cette

phase.

L’étude de ce

_phénomène

transitoire met

toujours

en

_jeu

le

_système

_{d’équations (10),}

_(11),

(12),

(14);

il lui

_correspond

encore des solutions

particulières

(16); Umn(t)

est solution de

_{l’équation}

différentielle

₍₁₈₎

dans

_laquelle

E est maintenant

/ t

une fonction de 1. Si l’on

_prend

on

_peut

montrer _que les

_{u"2,t (t) s’expriment}

à l’aide de fonctions de Bessel

_complexes.

,

(A

_suivre.)

Manuscrit reçu le 5 janvier 1948.

BIBLIOGRAPHIE.

[1] MANDELSTAM, Ann. der Physik, 1913, 41, p. 609; GANS,

Ann. der _{Physik, 1924, 74,} p. 231; 1925, 77, p. 317. [2] BEAMS, Phys. Rev., 1933, 44, p. 803; QUARLES, Phys. Rev.,

1935, 48, p. 260; MOORE, Phys. Rev., 1936, 50, p. 344.

[3] TONKS. Phys. Rev., 1935, 48, p. 562.