Action d'un champ électrostatique sur une surface de mercure (Suite)

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Action d’un champ électrostatique sur une surface de

mercure (Suite)

F. Bertein

To cite this version:

Il

_apparaît

donc nécessaire de réexaminer la

théorie des naines blanches en tenant

_compte

de la

valeur du facteur d’accélération

T,

et en tenant

çompte

de la réaction de formation du deutérium, considérée comme

_permise.

Nous avons

_déjà

annoncé

_(1~),

_{~12), (13~5}

comment

se

_présente

l’ensemble des nouveaux

_résultats,

un

travail

_général

est sous _presse

_(1~~.

(il) Comptes rendus, 226, 1948, p.

67-(12) Nature, 161. _1948, p. 6I , , (13) A. J., 107, 1948, p. 1 1 o.

(14) Sous presse : Le spectre des naines blanches et leur débit

d’énergie, Copenhague.

Manuscrit reçu le 1er _juin

ACTION D’UN CHAMP

_{ÉLECTROSTATIQUE}

SUR UNE SURFACE DE MERCURE

_(Suite)

_(1).

Par F. BERTEIN.

Compagnie

Générale de

_{Télégraphie}

sans fil.

LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. SÉRIE _VIII, TOME _{IX, FÉVRIER 1948.}

Les résultats obtenus vont

_permettre

l’étude

de la

_rupture

_{d’équilibre quand}

on

_applique

le

_champ

au mercure initialement au _repos. Cette

_rupture

provient

de deux causes très différentes et que nous

examinerons

_{séparément,}

d’une

_part,

l’existence de mouvements

_{imperceptibles}

dans le

_liquide

en

équilibre thermique,

d’autre

_part,

_{l’influence}

des

parois

rendant le

_champ

non uniforme au

_voisinage.

En ce

_qui

concerne tout d’abord le rôle des mouvements

_thermiques,

nous déterminerons ces

mouvements à l’aide de considérations connues de

mécanique statistique, puis

leur

_{amplification}

dans

un

_champ

E

_supposé

uniforme.

RUPTURE

_{D’ÉQUILIBRE}

DANS UN ’CHAMP UNIFORME. Le mercure au _{repos, E} = o. - La

’surface S

au

repos

est _{définie par} une

_expression

_(28),

_où,

d’après

la discussion

_générale,

« et «’ sont

_{complexes :}

les mouvements

_composants

sont oscillatoires

_(cc

oscil-lateurs

_».)

Il

_{n’y a}

_toutefois

_{pas à tenir}

_compte

ici de la viscosité. Ce facteur

_représente

en effet une

interaction entre les divers oscillateurs :

_lorsqu’il

s’agit

de mouvements d’intensité

observable,

la

présence

du

coefficient n

exprime

leur amortissement

au

_profit

des oscillateurs «

_{thermiques»;}

en revanche

dans le cas actuel où n’existent que ces

derniers,

l’interaction se traduit

_simplement

_par la loi de

répartition

des _{intensités que l’on} va déterminer.

Ajoutons

même pour ne

plus

avoir à y revenir

que nous

_négligerons

_également

la viscosité dans tous les

_{développements}

ultérieurs car les

phéno-mènes rencontrés seront extrêmement courts, de sorte _{que les forces d’amortissement n’auront pas}

le

_temps

de

_s’y

manifester. Nous _{pourrons poser} (1) Voir F. BERTEIN, J. _Physique et Rad., 1947, 8, p. 352-357.

d’autre

_part

th _pa = th

pd

= _1; les oscillateurs _ne

remplissent

pas cette

condition,

à savoir ceux des

longueurs

d’onde les

_plus

_grandes

fourniront en

effet une contribution très faible dans les effets

globaux.

En

_{conséquence,}

les

_équations

₍₂₈₎

et

₍₂₄₎

sont

pour le mercure au _{repos et,} si l’on pose ce = 1 ce

Les

_fréquences

évaluées en secondes

sont t)

La loi de

_répartition

des intensités

_s’exprime

_par

l’équipartition

de

_l’énergie

entre les divers oscillateurs. Calculons

_l’énergie

Umn

de chacun d’eux : le terme

cinétique

a été obtenu en

_(20);

il s’écrit avec les

notations actuelles

Suivant une

_{propriété générale}

des mouvements

oscillatoires,

l’énergie

est

_égale

au maximum de

cette fonction de t

-L’équipartition

exige

(le signe surligné indique

dans la suite la valeur

moyenne) :

K =

1,4.

1 o-16

(constante

de

Bolltzmann);

T,

température

absolue,

,

d’où résulte la loi de

_répartition

des intensités

Si la

_{fréquence ,,}

_===2013

est suffisamment

_grande

21C

pour que h j

(h

constante de

Planck)

soit de l’ordre de

_grandeur

de K

T,

il est nécessaire de faire

inter-venir une relation autre _que

₍₃₀₎

_(statistique

de

Bose-Einstein);

il n’en serait toutefois ainsi que

pour des fréquences

de l’ordre d’au moins

_Io13,

_trop

élevées _pour faire

_partie

de la _gamme de

_fréquences

à

_envisager

ici,

à savoir celles

qui

subiront

l’ampli-fication de la

_part

du

_champ

E.

L’application

du,

_champ

uniforme E >

,Eo.

- A

_partie

de

l’instant,

soit t = _o,

auquel

on

applique

le

_{champ E,}

_phénomène

_que nous

suppo-serons

instantané,

l’équation

de S

_peut

s’écrire suivant

_{(28), (24)}

Nous en. caractériserons l’évolution

statistique

à

l’aide d’une

_grandeur

_{simple :}

le carré

_{moyen M2}

de sa

_pente

UJ à

chaque

instant t > o

La transformation suivante

_permet

d’évaluer v2 en faisant

_{appel uniquement}

aux relations

essen-tielles

_{(8), (9)}

des

La

_{première intégrale}

_{s’écrit par}

_application

de

la formule de Green

(C

contour de

S,

ds élément de ce _contour,

_{grad :}

gradient

relativement aux

_{variables x, y seules).}

Or,

l’égalité :

grad

ds = o en tout

_point

des

parois

(condition

aux

_limites)

entraîne

et,

par

suite,

d’après (11),

-1

La constance au cours du

_temps,

en

_particulier

pour E = _o, de F élément

(grad ~ /B

ds)

entraîne

nécessairement sa nullité.

_{L’expression}

(34)

est

donc

_également

nulle et m2 S se réduit à son deuxième

terme,

d’évaluation aisée

On

_peut

_remplacer

une telle

expression

_par

l’intégrale

- Il. ... On

Nous limitons l’intervalle

_{d’intégration}

à

_{(pi, p,),}

car lui seul fournit des

_{amplifications}

et,

par

suite,

contribue à la

_quantité

observable.

N

_(p)

_dp

_désigne

le nombre de

_{couples (mn)}

dont p

est

_compris

dans l’intervalle

_(p,

p +

dp).

Si nous

nous

_reportons

à la

_{représentation}

_graphique

_{(fig. 2),}

c’est le nombre de

_{points figuratifs}

dont la distance

à

_l’origine

est

_comprise

entre _p et

_{p +}

_dp,

c’est-à-dire,

le nombre de ces

_points

_par unité d’aire étant s

’

étant ;:1 ’

’

Cette relation ainsi établie _pour les

trigono-métriques (7)

reste valable _pour tout autre

_système

de fonctions en vertu d’un fhéorème dû à

_{Weyl [6].}

d2"ln

ch2

_(at

désigne

une valeur _moyenne à

_prendre

sur le même intervalle

(p,

_{p +}

_dp).

Pour

l’évaluer,

nous

_{l’exprimons}

d’abord en fonction

Les

_phases

_~"t,z

étant

_{équiprobables}

et sans

corrélation avec les b""t, nous _pouvons

_remplacer

le deuxième membre _{par le}

_produit

des _moyennes de chacun de ses deux

facteurs,

ce

_qui

conduit en vertu de

₍₃₁₎

à la valeur

et

₍₃₆₎

s’écrit en définitive

Calcul de m2. - La

commodité du calcul

exige

qu’on

se

_place

dans l’un des deux cas suivants :

Soit E voisin de

_{Eo :}

_{Pl, P2 voisins} de _po;

Soit : _{-pr, P2 donnés par}

_(27).

Nous examinerons ici ce deuxième cas; la

_figure

ù

montre alors la courbe de variation de oc en fonction de p dans l’intervalle

_{d’intégration (pi, p,).}

Soit la valeur de oc _pour

p ~ ~~’;

on consi-dérera des valeurs de

_{t > IaM ;}

_{l’expression (38)}

o.J1

contient alors un facteur franchement

_exponentiel

et l’on

_remplacera

la courbe

_précédente

_par l’arc de

_{parabole représenté}

en tirets sur la

_{figure :}

puisque a

intervient dans le terme

_exponentiel,

cette

_{approximation}

ne _{pourra conduire}

_qu’à

une

évaluation

_approchée

de

_logw2

non de la

_quantité

M2 elle-même. Il est

_permis

dans ces conditions de

.

,

remplacer

les

_quantités

extérieures à

_{l’exponentielle}

par leurs valeurs pour p

= ~’~ .

.

En

_conséquence

P2 est donné par

(27);

on en déduit sensiblement

d’après (29), (32)

et l’on

_peut

_achever

le calcul de v2. Posons

en

_particulier

_pour E = I oo kV : cm

Rappelons

qu’une

telle formule est valable pour "

l>1,

soit

l fI’80e

de seconde dans ce cas

~

IX Ji

numérique.

Fig..5.

On voit _que la vitesse

_{d’amplification}

_augmente

considérablement en fonction de E. L’ inlervalle de

temps

qui

s’écoule entre

_{l’application}

du

_champ

et

la

_décharge

_{créée par} «

_rupture

de la

_{sur f ace}

» _est

obtenu

_{approximativement}

_pour

soit sensiblement à l’instant :

INFLUENCE DES PAROIS : LE CHAMP E N’EST PAS UNIFORME.

Équation

du mouvement. 2013

_Reprenons

le même

_problème

en fonction de l’action des

_parois

et non

_plus

des mouvements

thermiques :

le bord

supérieur

du vase exerce sur la

_périphérie

de S

un

e f f et

de

blindage

vis-à-vis du

champ (aussi

la

forme de

ménisque

présentée

par S sur sa frontière

importe-t-elle

peu

puisque

le

_champ

_{y est}

main-tenant

_{l’importante}

_conséquence

de cette non-uniformité du

_champ.

_{Reportons-nous}

d’abord aux résultats de l’étude antérieure :

_{l’application}

d’un

champ uniforme

est

_capable

de

_{modifier l’amplitude}

d’une onde

sinusoïdale,

mais non de créer une telle onde

_{[ci ~?3)j;}

le mercure au _repos «

mathématique »

resterait

toujours

au _repos

_quelle

_que soit l’intensité de

E,

ce

qui

est bien évident a

priori.

Il n’en est

plus

de même si le

_champ

n’est

_plus.

_{uni f orme :}

un tel

_champ

est

_susceptible

de créer des

ondes,

car la

pression

électrostatique

étant

_plus

forte en certaines

régions

y provoque un soulèvement initial du

_liquide.

Le traitement

_analytique

du

_problème

_exige

tout d’abord l’évaluation du carré .~2 du

_champ

superficiel;

nous _pourrons

_représenter

cette

_quantité

par

E2 [I

-f- H (xy)J

dans le cas où S est

rigoureu-sement

_plane

_[on

_{suppose que}

_H(xy)

n’est

_qu’un

terme

_{correctif]. Rappelons}

que F2 s’écrivait d’autre

part

E2

₍

₊

2

_5~)

dans l’étude

_qui

_précède,

à _savoir

lorsque

n’est _pas

_plane~

mais _{que le}

_champ

est

uniforme;

il en résulte dans le cas actuel

_(S

non

plane,

champ

non

_uniforme)

_{l’expression}

_générale

suivante valable au

_premier

ordre

L’évolution de S s’obtiendra en

_posant

[on

ne

pourrait

trouver ici les lois

particulières

du

type (16)]; le système des équations (10),

(11),(12), (14)

dans

_lequel

_{l’expression}

du

_champ

estmaintenant

_(41),

aboutit à la relation

Il est commode

_d’y

faire intervenir le

dévelop-pement

de H

_(xy)

suivant les foncions

Les

_expressions

des coefficients

_numériques

s’obtiennent à la manière habituelle en

_multipliant

les deux membres _par

_tfmn

et

_intégrant

dans le

domaine S

Le

_premier

membre de

₍₄₃₎

_apparaît

alors sous

forme d’un

_{développement}

_par

_rapport

aux et son annulation

_exige

celle de chacun des

coeffi-cients

Ces

_équations

en résolvent le

_problème;

elles forment un

_système

différentiel

_linéaire

dans

lequel

la non-uniformité du

_{champ (expression}

en

_Hnzn)

est

_{respon.sàble}

des termes constants; la

partie

homogène déjà

obtenue en

₍₁₈₎

_régit

le cas

du

_champ

uniforme. Les

_propriétés

ben, connues

des

_équations

différentielles se traduisent en

consé-quence de la

façon

simple

suivante : l’évolution

de la

_{sur f ace S}

esf la même

_{que si}

le

_champ

était

uniforme,

à cela

_{près qu’elle}

_s’effectue

maintenant

par

rapport

à une

_position

_{d’équilibre,}

non

_plane

mais donnée _par

_{l’expression (42)}

dans

_laquelle

les umn sont les constantes solutions de

_(45).

Les conditions de stabilité de

_{l’équilibre}

restent ainsi les

mêmes que

précédemment (fig.

3).

"

Application

au mercure initialement

au

_repos. --

Étudions

maintenant l’évolution de

la

quan-tité v2 en

_supposant

le mercure initialement au

repos «

_{mathématique »}

: =

Umn

= o et soumis

à un

_champ

suffisant

_(E

>

_Eo)

à

_partir

de

l’ins-tant t = o.

En vue d’éviter des

_{complications}

inutiles,

nous

.

nous

_placerons

dans le cas de la

_symétrie

de

révo-lution ;

z r 0

_désignent

un

_système

de coordonnées

cylindriques

autour de l’axe vertical Oz du vase

supposé

de section circulaire et de _rayon

_R;

H

_(xy)

s’écrira

_H(r).

En raison de la

_symétrie,

les fonctions rencontrées seront

_{indépendantes}

de

_l’angle

0.

Le

_système

de fonctions de base

_adapté

au

_problème

actuel ne fait intervenir

_qu’un

_indice,

soit m; nous

allons voir

_qu’il

est défini _par

Je désigne

la fonction de Bessel d’ordre

zéro;

le

_paramètre

_p

_prend

la suite des valeurs

numé-rotées m = _{1; 2, ...,} solutions d’une

équation qui

peut

s’écrire sous les deux formes

_{équivalentes}

Il en résulte sensiblement

car c’est là une relation

_{asymptotique,}

mal vérifiée seulement pour les toutes

_premières

valeurs de _p, valeurs dont le rôle ultérieur est

_{négligeable.}

Les ainsi définis forment effectivement pour

l’opérateur à

un

_système

_complet

de fonctions

propres vérifiant par suite

(8).

En vertu de

_(47),

elles satisfont aux conditions aux limites sur la

Les satisfont enfin à

_{(9) :}

leur

_système

est

orthogonal

et normé

_{[c f .}

_par

exemple

[7],

p. 135,

équation

(11)].

Les

_équations

du

_problème

s’écrivent alors

Leur résolution

_requiert

l’évaluation des coef-ficients

₍₄₄₎

n .

La

_figure

6

_représente

les fonctions mises en

_jeu

1

-Fig. 6.

par cette

intégrale :

nous _supposerons le

_champ

uniforme,

sauf dans une bande

_{périphérique}

de

.

largeur T

(N

grand)

où il vient s’annuler au contact de la

_{paroi (r}

-

R).

’

Soit en

_conséquence

on a

sensiblement,

d’autre

_part,

dans le domaine utile

_{d’intégration}

R - r

C

§Î)

’

Pour les

_grandes

valeurs de m en

effet,

on

_peut

adopter

une

expression

asymptotique

_pour

Jo

(pr);

elle est dans le domaine

_précédent

sinusoïdale

d’argument

pr et la relation

(51)

résulte alors

de

_(46),

_{(47), (48).}

Pour les faibles valeurs de m,

les

_tfm

_(r)

_peuvent

être considérées comme constantes

dans

₍₅₀₎

et l’on

_peut

aussi bien les écrire encore sous la forme

_(51).

(50)

fournit alors

Déterminons maintenant à l’aide de

₍₄₉₎

l’évo-lution des coefficients Um

_(t),

_compte

tenu des

condi-tions initiales. En faisant

_appel

à la notation a

[équation

(22)]

L’expression

de w2 est

_{[c f .}

_(36)]

N’

_(p)

_dp

est le nombre de fonctions

_tpm

dont

le

_paramètre

_p est

_compris

dans

_(p,

p +

dp);

d’après

(48)

Z?

En y

remplaçant

les lettres par leurs

expressions

respectives,

il reste à évaluer m2 suivant la méthode utilisée

_déjà

_pour

_{l’expression}

_(38).

On _suppose

la variation de a est assimilée à une loi

parabolique

(fig. 4),

a et p étant

_remplacés

en dehors de

l’expo-nentielle par

_{~’ ~}

On verrait facilement d’autre

part,

qu’on peut

_{substituer 2}

au facteur sin2 introduit par

H"t.

Le calcul donne sensiblement

_(log

_décimaux)

Évaluons

ici encore l’intervalle de

_{temps :}

_qui

s’écoule entre

_{l’application}

du

_champ

et la

_{décharge ;}

T est défini

_{approximativement}

_par

_(39’);

on voit

qu’il

dépend

surtout de E et de la

largeur N

de

la zone

_{périphérique}

de

_champ

non uniforme : il est

d’autant

_plus

_petit,

c’est-à-dire le

_phénomène

est d’autant

_plus

_brusque

que cette

largeur

est

plus

65 de 7 en fonction de E est moins

rapide

que dans le

cas du

_champ

uniforme.

Prenons _par

exemple ’"

= _{1 mm;} l’on S

-1

pour E = _{I cm,} même valeur

qu’en (40),

de

sorte que la

comparaison

des deux _{processus conduit} aux conclusions suivantes :

La

_rupture

de la

_surface

est

_pratiquement

due : A la non

_uniformité

du

champ

si E 1 1Vl V : cm.

Aux oscillations

_thermiques

si E > 1 .1B1 11 : cm.

POSSIBILITÉS

D’AUTRES

PHÉNOMÈNES.

Considérons la

_rupture

de S sous _i,S NIÀ° : cm;

elle a lieu en moins de io-1 s, suivant l’étude

expéri-mentale de l’émission froide du mercure

_[2~,

et en

un

temps

sensiblement

supérieur 7

s suivant

les calculs

_{[formule (39)].}

-On ne

_peut

_expliquer

cet écart _par le fait _{que le}

mercure n’est

_peut-être

_{pas exactement} au _repos

physique

au début des mesures : une telle

hypo-thèse ne conduit

qu’à

une correction très insuffisante.

pour T.

Le

_désaccord,

observé

_déjà

_{par Tonkas}

_[3],

s’accuse encore si l’on note _{que les} résultats

_{expérimentaux}

paraissent

modifiés _{sensiblement par la}

_présence

de traces

_{d’impuretés.}

Il ne

_pourrait

en être ainsi

dans la théorie _{actuelle que} si ces

_impuretés

modi-fiaient sensiblement le

_profil

de la surface S au

repos, du moins en ce

_qui

concerne la _gamme des

longueurs

d’onde A des mouvements

_amplifiés,

à savoir

_{d’après (27)}

A > cu).

Il n’en est rien car une telle modification ne

_peut

mettre en

_jeu

_{que des 1, à} l’échelle des molécules

adsorbées,

et. _par

suite.

bien

_plus

faibles.

Nous sommes conduits ainsi à admettre que des

phénomènes

d’autre nature et

_{plus rapides}

inter-viennent dans la

_rupture

de

S,

du moins _{pour les}

champs

E suffisamment intenses.

On

_{peut envisager}

_par

_exemple

la cavitation :

l’application

du

_champ

E soumet instantanément S

à la

_{pression électrostatique}

(10 3)2 F2 8r

C. G. S.

(F : champ

superficiel).

Si E°=

1,8

MV : cm, il

s’agit

là d’une traction de 1,5

kg :

cm2 sur les

régions

rigoureusement planes

et

_plus

forte encore sur les

aspérités

de sorte _{que l’on}

_peut

concevoir des ébullitions ou mieux des arrachements

_superficiels

locaux de mercure ou de molécules adsorbées.

Manuscrit reçu le 18 février 19g8.

BIBLIOGRAPHIE.

[6] COURANT et HILBERT, Methoden der mathem. _Physik,

Chap. IV, § 4.