Chapitre III Le potentiel électrostatique dans le vide

1

^ère

partie

Chapitre III Le potentiel électrostatique dans le vide

I. Circulation du champ électrostatique I.1 Définition

La circulation d’un champ de vecteur

E r

, sur une courbe, de A à B est définie par :

C

AB

( ^Γ ) ⁼ ∫

A^B

E r . d r l

où

d r l

désigne le déplacement élémentaire le long de la courbe

Γ

.

I.2 Conservation de la circulation du champ électrostatique

La circulation élémentaire d’un champ

E r

créé par une charge ponctuelle q est:

)

r ( 1 4 d

q

² r 4

dr . r q

d .

²e r 4 r q d . E

0 0

r 0

πε − πε =

πε =

= r r

r r

La circulation de A à B sur la courbe

Γ

est donc :

)

r 1 r

( 1 4

r q d . E

B A 0 B

A

−

= πε

∫ ^{r r}

Cette circulation ne dépend pas du chemin

Γ

pour aller de A à B : la circulation se conserve lorsque nous passons d’un chemin

Γ

à un chemin Γ’ reliant les points A et B : la circulation du champ est conservative.

On peut donc identifier le champ Er

à champ de gradient :

cte

r 4 V(r) q avec

) r ( V grad E

0

πε +

=

− r =

II. Potentiel crée par une charge ponctuelle

une charge ponctuelle qi placé en O, crée à la distance r le potentiel scalaire V donné par :

• C'est un champ scalaire . Il est défini par les relations suivantes :

cte

V

r

q

+

=

4πε0

dl E V

V V

grad E

B

A B

A

^{− =} ∫

−

= , r .

r

Filière SMI – Module Physique II – Elément 1 : Electricité – Cours Prof . R.Tadili

Remarques :

o Le potentiel V est défini à une constante près. Lorsqu’il n’y a pas de charges à l’infini, on choisit la constante nulle, c.à.d que l’action des charges tend vers zéro lorsque r tend vers l’infini.

o Physiquement, c’est la différence de potentiel entre deux points qui a un sens et qui est mesurable.

o V croît des charges - aux charges + (sens de croissance de V opposé à )

o Les surfaces de potentiel constant sont appelées équipotentielles

o V est un scalaire exprimé en Volt (V)

o De la relation Er = −gradV

on peut calculer Er

connaissant V : on a

- En coordonnées cartésiennes : z

V y z

V x y

V

x

E E

E = −

^∂_∂

, = −

^∂_∂

, = −

^∂_∂

- En coordonnées cylindriques : z ^V_z

V r r

V

r

E E

E = −

^∂_∂

,

_θ

= −

¹ _∂^∂_ϑ

, = −

^∂_∂

o

Les champs et les potentiels électriques ont été exprimés dans le cas où les charges sont dans le vide. On a utilisé la constante

SI 10 4 9

1

₉

0

= .

πε , ε

₀

est la permittivité du vide. Dans le cas où on a de la matière à la place du vide on remplace ε

₀

par ε ; donc la constante

4 0

πε1

change de valeur mais la structure des formules reste la même

.

III. Potentiel crée par un ensemble de charges ponctuelles

Le potentiel électrostatique crée en M par un ensemble de charges q₁, q₂, …. q_n est la somme des potentiels crée par chacune des charges au point M :

∑ ⁺

=

i

q

cte

V

i

εi

πε₀ 4

1

IV. Potentiel crée par une distribution continue de charges

On passe des charges ponctuelles à la distribution continue de charges en changeant

∑

i i

r q

:

- par

∫

^λ._r^dl pour un fil chargé Æ

^{V =} _{4 πε} ¹

₀

∫ ^{λ .} _r ^{dl + cte}

^,

- par

∫∫

^σ._r^ds pour une surface chargée Æ

^{V =} _{4 πε} ¹ ∫ ∫ ^σ _r ^ds

0

.

- par

∫∫∫

^ρ._r^dvpour un volume chargé Æ

^{V =} _{4 πε} ¹ ∫∫∫ ^ρ _r ^dv

0

.

.

V. Surfaces équipotentielles et lignes de champ

V.1 surfaces équipotentielles

C’est l’ensemble des points M pour lesquels : V(x,y,z) = cte V.2 Lignes de champs

Ce sont des lignes tangentes en tout point au champ Er .

Considérons deux point M et M’ d’une surface équipotentielle : on a,

MM d r l

= '

et dV = 0 (potentiel constant).

Or :

dV = gradV d r l et E r = − gradV donc E r d r l = 0 .

.

Æ Er

est normale à la surface équipotentielle.

Conclusion : les lignes de champ sont normales aux surfaces équipotentielles.

Exemple : Surfaces équipotentielles et ligne de champ dans le cas d’une charge ponctuelle : - Surfaces équipotentielles :

cte r r cte

q 4 cte 1

V

0

=

→ πε =

→

=

Æ les surfaces équipotentielles sont des sphères centrés sur la charge q.

- Lignes de champs : elles sont normales aux surfaces équipotentielles

Æ ce sont les rayons des sphères centrées sur la charge q.

VI. Travail de la force électrostatique

Le travail élémentaire de la force

F r q . E r

=

lors d’un déplacement élémentaire

l d v

de la charge q est :

δ W = F r . d r l = q E r . d r l = − q . gradV . d r l = − qdV = − d ( qV )

Lorsque la charge se déplace de A à B, le travail total est :

W W q dV q ( V V

_A

)

B B

A B

AB

= ∫

A

δ = − ∫ = − −

Lignes de champ

Surfaces équipotentielles

q>0

VII. Energie potentielle d’interaction électrostatique

VII.1 Energie potentielle d’interaction de deux charges ponctuelles

Le travail de la force électrostatique ne dépend pas du chemin suivi, elle dérive donc d’une énergie potentielle W_ptelle que :

F r = q . E r = − grad W

_p

, et puisque E r = - grad V on en déduit : W

_p

= q . V

Wp est l’énergie potentielle électrostatique, elle sera noté Ee.

Ainsi pour une charge q1 placé en M1 sous l’action du potentiel V2(M1) créé par une autre charge q₂, l’énergie électrostatique est :

) V . q V . q 2( ) 1 M ( V . r q 4 q q r 4 q q ) M ( V . q

E _{2 1 2 1 2 2 1}

0 1 2 0

2 1 1 2 1

e = = +

= πε

= πε

=

VII.2 Energie potentielle électrostatique de n charges ponctuelles

Pour une charge qi placé en Mi sous l’action du potentielle Vi créé en Mi par toute les charges sauf q_i, son energie électrostatique sera q_iV_i. Pour l’ensemble des charges, l’énergie électrostatique sera :

⁼ ∑

i

i i

e

q V

2 E 1

VII.3 Energie potentielle d’une distribution continue de charges

On se ramène à un ensemble de charges ponctuelles en divisant la charge totale en charges élémentaires dq :

Distribution volumique :

dq = ρ d τ →

^{W = 1} ₂ ∫∫∫ ^{ρ . V . d τ}

Distribution surfacique :

dq = σ dS → = ∫∫ σ

_S

. V . ds 2

W 1

Distribution linéique :

dq = λ dl → = ∫ λ

c

dl . V 2 .

W 1

V étant le potentiel créé par toutes les charges de la distribution au point où se trouve la charge élémentaire dq.