Champ électrostatique
Objectifs: Déterminer l’expression d’un champ électrostatique pour des situations à haut degré de symétrie.
Lire une carte de champ.
Table des matières
I Champ électrostatique et charges 2
I.1 Loi de Coulomb . . . 2
I.2 Cas d’un ensemble de charges . . . 3
I.3 Cas des distributions continues . . . 4
II Etude des symétries du champ 7 II.1 Exemple de calcul direct . . . 7
II.2 Principe de Curie . . . 7
II.3 Première lecture de carte . . . 10
III Flux du champ électrostatique 11 III.1 Définition . . . 11
III.2 Le théorème de Gauss . . . 12
III.3 Application . . . 13
III.4 L’opérateur divergence . . . 14
III.5 Deuxième lecture de carte de champ . . . 16
I Champ électrostatique et charges
I.1 Loi de Coulomb
Définition:
On appellechargeune grandeur intrinsèque d’un corps qui caractérise se propriété d’être à la fois source et objet d’une force : la force de Coulomb ou force électrostatique, lorsqu’il est mis en présence d’un autre corps chargé.
Propriété:
•la charge électrique peut être positive ou négative.
•la charge totale d’un corps peut s’écrire comme la somme des charges élémentaires qui la constitue.
• la charge est quantifiable. Il existe une charge élémentaire e = 1,6.10−19C, telle que tout autre charge est un multiple de cette charge élémentaire.
•la charge est conservative. Elle ne peut être ni détruite ni créée, elle est échangée.
•la charge est invariante par changement de référentiel.
q0
qM
r O
M
Considérons la situation suivante : une charge ponctuelle qO est placé en un pointO de l’espace, une chargeqM est placée enM. On note la distanceOM =r.
La chargeqM subit de la part deqOune force :la force de Coulombs’exprimant :
−
→FO−→M = 1 4πε0
qM ×qO
OM3
−−→OM = 1 4πε0
qM×qO
r2
−
→er
Remarques :
i-Cette force est attractive si les charges sont de signe différent. Répulsive pour des charges de même signe.
ii-Cette force peut s’écrire comme : qM ×−→
EO(M). Alors−→
EO(M) est le champ électrostatique créé par la charge qO au pointM.
Propriété:
Les charges électriques immobile dans un référentiel galiléen sont les sources d’un champ appeléchamp électro- statiquetel qu’à une distancer:
−
→EO(M) = 1 4πε0
q0 r2
−
→er= q0 4πε0
−−→OM kOMk3
En chaque point de l’espace une chargeqM subira de la part deqO la force de Coulomb :−→
FO−→M =qM
−
→EO(M).
L’unité dek−→
EOk est V.m−1.
Le champ électrostatique est un champ de vecteurs. En chaque point de l’espaceM on peut associer un vecteur.
Définition:
On appelle champ vectoriel une application qui à un point repéré par ses trois coordonnées d’espace dansR3associe un vecteur dans R3
Exemple :
Considérons le champ électrique −→
EO(M) créé par une chargeqO au centre Od’un repère orthonormé direct (O,−→ex,−→ey,−→ez).
La loi de Coulomb donne :−→
EO(M) = qO
4πε0
−−→OM k−−→
OMk3. Ce qui donne en coordonnées cartésiennes : Ex(x, y, z) = −→
EO(M).−→ex = qO
4πε0
x px2+y2+z2 Ey(x, y, z) = −→
EO(M).−→ey = qO 4πε0
y px2+y2+z2 Ez(x, y, z) = −→
EO(M).−→ez = qO 4πε0
z px2+y2+z2
Bien entendu dans ce cas le système de coordonnées le plus adapté est unsystème sphérique. On remarque que le champ électrostatique créé en tout point par une chargepositivesemble s’éloigner de la charge.
Comme autres exemples on peut citer les : champs de force, champs de vitesses, champs d’accélération sont également des champs vectoriels.
I.2 Cas d’un ensemble de charges
Considérons maintenant deux chargesqO et qO0 placées enO et O0. Soit une troisième chargeqM en un pointM de l’espace.
Définissons le système{charge en M}. Le bilan des forces appliquées à la chargeqM donne :
−
→FO−→M = qOqM
4πε0
−−→OM k−−→
OMk3
−
→FO0−→M = qO0qM
4πε0
−−−→ O0M k−−−→ O0Mk3
Pour exprimer la résultante des actions mécaniques qui s’exercent sur la chargeqM il suffit d’additionner les deux forces : qOqM
4πε0
−−→OM k−−→
OMk3 +qO0qM
4πε0
−−−→ O0M k−−−→ O0Mk3
.
On remarque que l’on peut exprimer le champ électrostatique :
−
→E(M) =−→
EO(M) +−→ EO0(M).
Propriété:
Le champ électrostatique créé enM par un ensemble de charges{qi}il suffit d’appliquer lethéorème de super- position, et sommer les champs créés individuellement par chaque charge en{Oi}.
−
→E(M) =X
i
qi 4πε0
−−−→OiM k−−−→
OiMk3
Exemple de calcul de champ
M
L’application du théorème de superposition donne :
−
→E(M) = −→
EA(M) +−→
EB(M) +−→ EO(M)
= Q
4π0
−−→AM
kAMk3 + Q 4π0
−−→BM
kBMk3 − 2Q 4π0
−−→OM kOMk3 Or nous avons directement : AM = √
a2+x2 et BM =
√a2+x2 de plus :
−−→AM+−−→
BM= 2−−→
OM = 2x−→ex
Finalement on trouve l’expression du champ électrostatique en M :
−
→E(M) = 2Qx 4π0
1
(a2+x2)3/2 − 1
|x|3 −→ex
Remarques :
i-la première chose remarque est que−→
E(M) est porté par le vecteur de base−→ex.
ii-il va être très compliqué de calculer le champ électrostatique lorsque la quantité de charge devient "grande".
iii-on peut retenir quelques ordre de grandeur de champ électrique :
•pour un étincelle électrique 3600 kV.m−1
•à la surface de la terre il existe un champ électrostatique 100 V.m−1
•limite imposé par l’OMS 5 kV.m−1
I.3 Cas des distributions continues
Bien que la matière à l’échelle macroscopique soit globalement neutre, des charges électriques sont naturellement présente dans la matière. Ne serait-ce que parce qu’elle est constitué d’atomes, eux même constitué d’un noyau chargé positivement et d’électron chargés négativement.
Dans l’Antiquité les grecs avaient déjà remarqué qu’un morceau d’ambre (résine sèche), frottée avec un tissus, avait la capacité d’attirer d’autres objets. D’ailleurs ambre en grec se traduitélectron. Sans s’intéresser au mécanisme permettant à l’ambre d’attirer d’autre objets faisons un rapide calcul d’ordre de grandeur.
Considérons un morceau d’ambre tant facilement dans la main. Forme sphérique, il a un rayonR∼2 cm.
D’expérience on sait que ce morceau est capable d’attirer à lui un petit morceau de papier d’une surface carréeS ∼1 cm2 à 1 cm de distance.
Le grammage classique d’une feuille de papier blanc (photocopieuse) est environs 80 g.m−1. Le petit morceau de papier possède alors une massem= 10−4.80.10−3= 8.10−6kg.
Dans le champ de gravitation terrestre son poids est alors : P ∼8.10−6.10 = 8.10−5N.
Si l’ambre est capable de l’attirer à elle, alors la force électrostatique de Coulomb exercée par le morceau d’ambre sur le papier compense exactement le poids :
−
→Fambre−→papier =−−→ P Ce qui donne en module :qpapierqambre
1 4πε0
1
r2 = 8.10−5. En estimant que le papier et l’ambre possède la même charge globale :
qambre=p
4πε0.r2.8.10−5
L’application numérique donne :
qambre= 10−9C avec 4πε0= 10−10m.F−1
Propriété:
A l’échelle macroscopique, même un petit échantillon contient un très grand nombre de charges élémentaires : N = 10−9
10−19 = 109
On adopte alors une représentation continue de la répartition des charges.
Définition:
Lorsque l’ensemble des charges est répartie dans un volume de l’espace, on prend le modèle d’une répartition continue des charges en volume. On parle de densité volumique de charge notée ρ(M) en C.m−3.
dQest la quantité élémentaire de charges présentes dans volume mésoscopiquedτ autour deM tel que :
Q= ˆˆˆ
V olume
ρ(M)dτ Exemples:
i-Considérons une boule de rayonRuniformément chargée en volume par une densité de charge ρ0. La charge totale de cette boule est Q.
Alors :
ρ0= Q 4 3πR3
= 3Q 4πR3
ii-Considérons une couronne cylindrique de hauteur H, de rayon in- térieur R1 et de rayon extérieur R2, chargée uniformément par une densitéρ1.
La charge totale porté par cette couronne cylindrique est : Q1=
ˆ R2
R1
ˆ 2π 0
ˆ H 0
ρ1rdrdθdz=ρ1.π.(R22−R21).H
Définition:
Dans le cas où une dimension est très petite devant toutes les autres, on peut adopter un modèle de répartition surfacique des charges. On parle alors de densité surfaciquede charge, notéσ(M) en C.m−2.
dQest la quantité élémentaire de charges présentes sur une surface mésocopique dS autour deM telle que :
Q= ˆˆ
Surf ace
σ(M)dS(M)
Définition:
Lorsque que deux dimensions sont très petite devant la troisième on adopte un modèle de répartition linéique des charge. On parle dedensité linéiquede charges, notéeλ(M) en C.m−1.
dQest la quantité de charges présente sur une longueur mésoscopiquedl(M) telle que : Q=
ˆ
Longueur
λ(M)dl(M).
Pour ces différentes distributions on peut à partir du théorème de superposition déterminer l’expression du champ électrostatique−→
E(M) créé en tout pointM de l’espace.
Soit une densité volumique de chargeρ(M), considérons un volume élémentaire de l’espacedτ(M). Cet élément contient la chargedQ. La loi de Coulomb donne un champ électrostatique :
d−→
E(M) = 1 4πε0
−−→OM k−−→
OMk3dQ
En utilisant la définition de la densité volumique de chargedQ=ρ(M)dτ on trouve :
−
→E(M) = 1 4πε0
ˆˆˆ
V olume
−−→OM k−−→
OMk3ρ(M)dτ
Par analogie on exprime le champ électrostatique pour les autres densités : surfacique et linéique :
−
→E(M) = 1 4πε0
ˆˆ
Surf ace
−−→OM k−−→
OMk3
σ(M)dS
−
→E(M) = 1 4πε0
ˆ
Longueur
−−→OM k−−→
OMk3λ(M)dl Rappels:
Très souvent on a besoin de faire des calculs dans des bases différentes. On rappel alors les expressions des grandeurs élémentaires pour ces différentes bases :
cartésiennes cylindriques sphériques
−
→dl dx−→ex+dy−→ey+dz−→ez dr−→er+rdθ−→eθ+dz−→ez dr−→er+rdθ−→eθ+rsinθdϕ−→eφ
dS dxdy oudydz oudzdx rdrdθourdrdz r2sinθdθdϕ
dτ dxdydz rdrdθdz r2drsinθdθdϕ
Q -Q
Exemple :
On peut combiner ces différentes distribution afin de décrire une distribution plus com- plexe.
Considérons une boule globalement neutre, portant une charge +Q en volume et une charge−Qen surface. Pour déterminer le champ électrostatique en tout point de l’espace on peut utiliser les modèle de densités surface et volumique de charge.
Sur la surface de la sphère :
σ= −Q 4π.R2 et
ρ= 3Q 4π.R3
La cherche du champ électrique utilise le principe de superposition : −→
EBoule = 1 4πε0
ˆˆˆ
V olume
−−→OM k−−→
OMk3ρ(M)dτ et
−
→ESphère= 1 4πε0
ˆˆ
Surf ace
−−→OM k−−→
OMk3σ(M)dS.
Finalement :
−
→E(M) =−→
EBoule+−→ ESphère
Q
-Q
+
II Etude des symétries du champ
II.1 Exemple de calcul direct
L’objectif de ce chapitre est également de dégager des méthodes permettant de faire des calculs de champ électro- statique. Pour cela on à la choix entre plusieurs chemins :
i-le calcul direct du champ électrostatique par calcul de l’intégrale ; ii-l’utilisation d’un théorème (théorème de Gauss), loi intégrale ; iii-l’utilisation d’une loi locale (équation de Maxwell-Gauss) ; iv-l’utilisation du potentiel électrostatique.
Considérons un fil infini chargé, portant une densité linéique de chargeλ0 uni- forme, d’axe P z. On cherche le champ électrostatique créé par ce fil dans tout l’espace. Pour cela il fautfaire le choix d’un pointM de l’espace.
SoitM un point quelconque de l’espace, en dehors de l’axeP z. P est un point de la distribution de charge.
Pour le moment nous n’avons à notre disposition que l’expression explicite du champ électrostatique :
−
→E(M) = 1 4πε0
ˆ
Longueur
λ0
−−→P M k−−→
P Mk3dl
Une première remarque : le système de coordonnées le plus adapté à l’étude de cet objet est celui des coordonnées cylindrique. On place notre étude dans la base cylindrique (−→er,−→eθ,−→ez).
A priori on cherche le champ électrostatique sous la forme :
−
→E(M) =Er(r, θ, z)−→er+Eθ(r, θ, z)−→eθ+Ez(r, θ, z)−→ez
L’intégrale précédente s’exprime (en considérant que λ0 est uniforme) :−→ E(M) = λ0
4πε0
ˆ R−→er
(R2+z2)3/2dz+
ˆ z−→ez
(R2+z2)3/2dz
Le calcul de cette intégrale est fastidieux, on peut procéder avec un changement de variable en remarquant que cosα= R
P M et sinα= z P M.
La simplification de ce calcul passe en premier lieu par une étude des symétries et des invariances du système afin de détermineravant tous calculsla direction du champ électrostatique et ses dépendance d’espace.
II.2 Principe de Curie
Propriété:
Principe de Curie:
Lorsque des causes produisent des effets, les symétries présentes dans les causes doivent se retrouver dans celle des effets.
Ce principe énoncé par Pierre Curie à la fin de 19e siècle a de forte conséquence sur le champ électrostatique. Si on peut trouver des éléments de symétrie dans la répartition des charges électriques, alors le champ électrostatique possède les même élément de symétrie.
-- -- --- -- --
-
+ ++ ++ ++
+ +++
++ -
- - - - ---
- - ---
-
+ + + + + +
++ +
+ + +
+
Considérons la distribution de chargeDch ci-contre. Soient deux pointsM1
etM2appartenant à cette distribution et symétrie l’un de l’autre par rapport au plan Π.
Définition:
On appelle plan de symétrie d’une distribution de chargeDch, un plan Π tel que pour tout pointM1et M2 symétrique l’un de l’autre par rapport à Π on a :Q(M1) =Q(M2).
∏
M1 M2
Un plan Π est un plan de symétrie pour deux vecteurs−→
E(M1) et−→
E(M2) si pour ces deux vecteurs, leur composanteorthogonale au plan Π sont en sens opposé ; et si leur composanteparallèle au plan Π sont dans le même sens.
Considérons la distribution de chargeDch ci-contre. Soient deux pointsM1
etM2appartenant à cette distribution et symétrie l’un de l’autre par rapport au plan Π?.
Définition:
On appelle plan d’antsymétrie d’une distribution de chargeDch, un plan Π? tel que pour tout point M1 et M2 symétrique l’un de l’autre par rapport à Π? on a :Q(M1) =−Q(M2).
M1
M2 Un plan Π? est un plan d’antisymétrie pour deux vecteurs −→
E(M1) et −→ E(M2) si pour ces deux vecteurs, leur composante orthogonale au plan Π? sont dans le même sens ; et si leur composanteparallèleau plan Π? sont en sens opposé.
Propriété:
Soit Π un plan de symétrie d’une distribution de charges Dch, alors il est également un plan de symétrie pour le champ−→
E créé parDch. De plus siM ∈Π alors le champ−→
E(M) est contenu dans ce plan.
Soit Π? un plan d’antisymétrie d’une distribution de charges Dch, alors il est également un plan d’antisuy- métrie pour le champ−→
E créé par Dch. De plus siM ∈Π? alors la champ−→
E(M) est orthogonal à ce plan.
Exemples:
M1 M2
M3 M4
M5 M6
Considérons le champ électrostatique créé en tout pointM par la distribution constituée d’une charge +qplacée en (x= 1, y= 1) et par la charge
−qplacée en (x= 1, y=−1).
Le plan (M6,−→ey,−→ez) est un plan de symétrie de la distribution de charges. Et on remarque en effet qu’aux pointsM1 et M2 symétrie l’un de l’autre, le champ−→
E est symétrie.
De façon encore plus générale on remarque une symétrie du champ −→
E en tout point de part et d’autre du plan (M6,−→ex,−→ey).
Le plan (M5,−→ex,−→ez) est un plan d’antisymétrie de la distribution de charges. Et on remarque en effet qu’aux pointsM2etM3symétrique l’un de l’autre, le champ−→
E est antisymétrique.
De façon plus générale on remarque une antisymétrie du champ−→
E en tout point de part et d’autre du plan (M5,−→ex,−→ez).
M1 M2
M3 M4
M5 M6
Considérons le champ électrostatique créé en tout pointM par la distribution constituée d’une charge +qplacée en (x= 1, y= 1) et par la charge +qplacée en (x= 1, y=−1).
Le plan (M6,−→ey,−→ez) est un plan de symétrie de la distribution de charges. Et on remarque en effet qu’aux pointsM1 et M2 symétrie l’un de l’autre, le champ−→
E est symétrie.
De façon encore plus générale on remarque une symétrie du champ −→
E en tout point de part et d’autre du plan (M6,−→ex,−→ey).
Le plan (M5,−→ex,−→ez) est également un plan de sy- métrie de la distribution de charges. Et on re- marque en effet qu’aux points M2 et M3 symé- trique l’un de l’autre, le champ−→
E est symétrique.
De façon plus générale on remarque une symétrie du champ−→
E en tout point de part et d’autre du plan (M5,−→ex,−→ez).
Considérons une distribution volumique de charges uniforme ρ0 répartie dans un cylindre infini de rayon R et d’axe Oz.
La base adaptée à l’étude de cette distribution est la base cylindrique : (−→er,−→eθ,−→ez). Soit un pointM de l’espace. On trouve deux plans de sy- métrie :
i- Le plan (M,−→er,−→ez) est un plan qui intercepte la distri- bution, il est également plan de symétrie de cette distribu- tion.
ii-Le plan (M,−→er,−→eθ) est aussi un plan de symétrie de cette distribu- tion, puisqu’elle est infini.
A priori le champ électrostatique peut-être cherché au pointM sous la forme :
−
→E(M) =Er(r, θ, z)−→er+Eθ(r, θ, z)−→eθ+Ez(r, θ, z)−→ez Le principe de Curie précise alors que −→
E(M) doit appartenir à ces deux plans. Finalement : −→
E(M) = Er(r, θ, z)−→er
puisque −→er est le seul vecteur de la base cylindrique commun aux deux plans de symétrie.
Mais on peut aller plus loin. On remarque qu’une translation du pointM suivant l’axeM zne change rien à l’étude du système. De même si M tourne autour de Oz l’étude du système reste inchangé. On parled’invariance de la distribution.
Définition:
On appelle invariance d’une distribution de charge, toute variation des paramètres d’espace telles que la distribution reste identique à elle-même lors de cette variation.
Propriété:
Le champ électrostatique−→
E(M) créé en tout point M de l’espace par une distribution de charge Dch, ne dépend pas des coordonnées d’espace qui laissent invariant la distribution.
Ainsi dans l’exemple précédent le champ−→
E n’est pas fonction des paramètre zet θ:
−
→E(M) =Er(r)−→er.
II.3 Première lecture de carte
Ces premières considérations de symétrie, permettent une première étude descartes de champ.
Définition:
On appelleligne de champune courbe en tout point tangente au vecteur champ, orientée dans le sens du champ.
Dans la suite on privilégiera une représenta- tion de lignes de champ plutôt qu’une carate de champ.
Vu l’orientation des lignes de champ on peut identifier le signes des charges :
i-une charge négative au point (0,0).
ii- quatre charges positives aux points (−3,0), (−1,5; 0), (1,5; 0) et (3,0).
Propriété:
Les lignes de champ électrostatique se croisent aux lieux des charges ponctuelles ou aux points d’annulation du champ.
Une étude des symétries de la carte de champ permet de conclure sur la symétrie des charges. En effet on remarque que le plan (O,−→ey,−→ez) est un plan de symétrie des lignes de champ. Alors :
i-q4(−3,0) =q5(3,0) ii-q2(−1,5; 0) =q3(1,5; 0).
On remarque également des points de champ nul à l’intersection du cercle rouge avec les axeOxetOy.
De plus aucune ligne de champ−→
E ne sort de ce cercle, alors|q1|=q2+q3. Le paragraphe suivant va permettre de justifier cette dernière affirmation.
III Flux du champ électrostatique
III.1 Définition
Petit rappel :
SoitS une surface et dS un élément de cette surface autour d’un pointM. On note −→n le vecteur normale àS au pointM.
Définition:
On appelle vecteur surface élémentaire, noté −→
dS, le vecteur
−→ dS=dS.~n Remarque: i) L’orientation de−→
dS dépend du type de surface considérée :
• SiS est fermée : sphère par exemple. Alors−→
dS est toujours orientée sortant deS.
• SiS est ouverte : selle de cheval par exemple. L’orientation de−→
dS dépend du sens de parcourt du chemin Γ sur lequel s’appuieS.
Définition: Soit−→
E un champ de vecteurs etSune surface. Soit M un point de la surface. On appellefluxde−→
E à travers la surfaceS, la grandeur notée Φ telle que :
Φ = ˆˆ
dΦ = ˆˆ
M∈S
−
→E(M).−→ dS
Sont unité est V.m.
Remarque:
i-Il faut faire attention à l’orientation de−→
dS. Φ dépend de l’orientation entre le champ et−→ dS.
ii-Dans le cas d’une surface fermée on note la fermeture sur l’intégrale : Φ =
‹ −→ E(M).−→
dS
On calcul alors le flux sortant de la surfaceS fermée puisque −→
dS est orienté vers l’extérieur.
III.2 Le théorème de Gauss
Considérons le champ créé en un pointP par une charge ponc- tuelle−2Qplacée enO. La loi de Coulomb donne dans la base sphérique (−→er,−→eθ,−→eφ) :
−
→E(P) = −2Q 4π0
−
→er
r2.
Calculons le flux de ce champ à travers une sphère de rayonr et centrée en O. La surface est fermée :
Φ(−→ E(P)) =
‹ −→ E(P).−→
dS
L’élément de surface est : −→
dS=r2sinθdθdϕ−→er, alors :
‚−→ E(P).−→
dS = −2Q 4π0
´π 0
´2π 0
−
→er
r2.r2sinθdθdϕ−→er
= −2Q
4π0
4π
= −2Q
0
Remarques :
i-le calcul du flux du champ−→
E est totalement indépendant de la position de la charge à l’intérieur de la surface. Alors quelle que soit la position de cette charge (au centre de la sphère ou totalement décentrée) le résultat est le même.
ii-le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée est uniquement le rapport de la charge contenue dans cette surface parε0. On comprend que si la sphère ne contient pas de charge Φ = 0.
On remarque sur une carte de champ qu’il y a autant de lignes de champ entrantes que sortantes de la surface.
iii- le résultat du calcul du flux est indépendant de la forme de la surface, on peut donc choisir la surface afin de n’avoir à faire que des calculs simples.
Propriété:
Théorème de Gauss:
SoitDch une distribution de charges. Soit S une surface fermé (fictive) appelée surface de Gauss.
Le flux du champ −→
E créé parDch à travers la surface S est égale à la charge totale contenue deS divisée
par0: ‹
S
−
→E .−→ dS= Qint
0
Qint= ˆˆˆ
ρdτ. Remarques:
i-La surface de Gauss est déterminer par un choix. Il convient alors de faire le choix le mieux adapté à la situation considérée.
ii- Le théorème de Gauss permet de trouver rapidement l’expression d’un champ −→
E pour des cas simple : fil infini uniformément chargé, plan infini uniforme, sphère, etc...
iii-les charges située à l’extérieur de la surface de Gauss ne participent pas au flux du champ électrostatique.
iv-la position des charges à l’intérieur de la surface de Gauss n’a pas d’influence sur le flux sortant.
III.3 Application
Méthode:
Considérons encore une fois la situation pré-
cédente du fil infini. On peut calculer le
champ électrostatique créé en tout point
de l’espace par application du théorème de
Gauss.
1. Choix de la base d’étude
On choisit la base cylindrique (−→er,−→eθ,−→ez).
−
→E(M) =Er(r, θ, z)−→er+Eθ(r, θ, z)−→eθ+Ez(r, θ, z)−→ez 2. Etude des symétries au pointM d’étude
Le plan (M,−→er,−→eθ) est un plan de symétrie de la distribution de charge.
Le plan (M,−→er,−→eθ) est un plan de symétrie de la distribution de charge.
Leprincipe de Curiedonne :
−
→E(M) =Er(r, θ, z)−→er 3.Etude des invariance de la distribution
La distribution de charges est invariante par translation suivantz.
La distribution de charges est invariante par rotation d’angleθ.
−
→E(M) =Er(r)−→er
4.Définition d’une surface de Gauss
On choisit une surface de Gauss Σ, cylindre de rayonRet de hauteurH.
‹
Σ
Er(r)−→er.−→ dS= Qint
ε0
Méthode: 5.Calcul
‹
Σ
Er(r)−→er.−→ dS=
ˆˆ
Er(r)−→er.−→ dS1+
ˆˆ
Er(R)−→er.−→ dSlat+
ˆˆ
Er(r)−→er.−→ dS2
Par définition les éléments de surface sont :−→
dS1=r.dr.dθ−→ez,−→
dSlat=Rdθ.dz−→er et−→
dS2=−r.dr.dθ−→ez. Comme
−
→er.−→
dS1= 0 et−→er.−→
dS2= 0 on obtient :
‚
ΣEr(r)−→er.−→ dS =
ˆˆ
Er(R).Rdθ.dz
‚
ΣEr(r)−→er.−→
dS = Er(R).2πR.H D’un autre côté le calcul de la charge intérieure donne :Qint=
ˆ H 0
λ0dl=λ0.H.
Lorsqu’on rassemble les deux expressions nous obtenons : Er(R).2πR.H =λ0.H
ε0 Soit un champ électrostatique :
−
→E(M) = λ0
2π.ε0.r
−
→er
Le formaliste de l’électrostatique et semblable au formaliste de la gravitation. On peut alors réaliser une analogie formelle entre les deux domaines.
Champ électrostatique Champ de gravitation
−
→Fel = q1q2 4π0
−−−−→
M1M2 M1M23
−
→Fgr=−Gm1m2
−−−−→
M1M2 M1M23
q1 m1
1
4π0 −G
1 0
−4πG
−
→E(M2) = q1
4π0
−−−−→
M1M2
M1M23 ~g(M2) =−Gm2
−−−−→
M1M2
M1M23
‚−→ E .−→
dS=Qint
0
‚~g.−→
dS=−4πGMint
III.4 L’opérateur divergence
y z
Reprenons le calcul du flux d’un champ électrostatique en coordonnées cartésiennes :−→
E =Ex(x, y, z)−→ex+Ey(x, y, z)−→ey+ Ez(x, y, z)−→ez. La surface de Gauss est définie comme étant un cube de côtéa. Les faces respectives sont situées enxetx+a,y ety+a,zetz+a. Calculons le flux élémentaire de−→
E traversant
Mécanique des fluides 14 Année 2020-2021
la surface élémentaire fermée.
dΦ =−→ E .−→
dS
= (Ex(x+a, y, z).dS(x, y)−Ex(x, y, z).dS(x, y)) + (Ey(x, y+a, z).dS(x, z)−Ey(x, y, z).dS(x, z)) + (Ez(x, y, z+a)dS(x, y)−Ez(x, y, z)dS(x, y))
Faisons tendreavers 0, on notex+a=x+dx,y+a=y+dy et z+a=z+dz. Dans ce cas on utilise la relation suivante :
Ex(x+dx, y, z)−Ex(x, y, z) =∂Ex
∂x dx Le flux élémentaire à travers le cube est :
dΦ =∂Ex
∂x dxdydz+∂Ey
∂y dxdydz+∂Ez
∂z dxdydz On notedτ =dxdydz.
Définition:
Soient un champ de vecteur −→
E et un volume élémentaire dτ en un point M. On appelle divergence du champ vectoriel−→
E au pointM l’opérateur définit tel que : dΦ = div−→
E dτ avecdΦ le flux élémentaire de−→
E sortant à travers la surface entourantdτ. En coordonnées cartésiennes la divergence s’exprime :
div−→ E = ∂Ex
∂x +∂Ey
∂y +∂Ez
∂z
Remarque :
l’opérateur divergence transforme un champ vectoriel en un scalaire.
Afin de bien cerner la signification de la diver- gence d’un champ de vecteurs considérons la carte de champ ci-contre. Elle représente les lignes de champ créées par deux chargesq placée en (10,0) et une charge 20.qen (0,0).
Les lignes de champ de la charge 20.qsemblent dé- former celle de la plus petite. En effet en utilisant la définition de la divergence :
dΦ =÷−→ E dτ etdΦ = ρdτ
ε0
, on remarque que la divergence d’un champ électrostatique est d’autant plus grande que la charge qui le créée est grande en valeur absolue.
La divergence représente la "vitesse de dilatation"
(attention abus de langage) du champ −→ E de ses sources. On comprend alors la déformation ob- servée des lignes de champ.
Propriété:
Théorème de Green-Ostrogradsky Soient S une surface fermée et −→
E un champ de vecteur. On note V le volume définit par cette surface fermée. Alors à une datet fixée : ‹
S
−
→E .−→ dS=
ˆˆˆ
V
div−→ E dτ
Appliquons directement ce théorème au cas de l’électrostatique.
Soit une distribution volumique quelconque de charge D de densité volumique ρ(M). Soit une surface de Gauss Σ fermé délimitant un volumeV.
Alors on peut écrire : ‹
P∈Σ
−
→E(P).−→
dS = Qint
ε0
Qint =
ˆˆˆ
M∈V
ρ(M).dτ Le théorème d’Ostrogradsky permet d’écrire le flux de−→
E sous forme d’un intégrale sur le volume :
‹
P∈Σ
−
→E(P).−→
dS =
ˆˆˆ
M∈V
div−→ E(M).dτ ˆˆˆ
M∈V
div−→
E(M).dτ = 1 ε0
× ˆˆˆ
M∈V
ρ(M).dτ PourV −→0 alors on a :
Propriété:
Pour un champ électrostatique −→
E(M) créé par une densité de charge ρ(M) le théorème de Gauss peut s’écrire sous forme locale :
div−→
E(M) =ρ(M) ε0 0 est la permittivité diélectrique du vide0= 1
36π.10−9F.m−1
Cette équation est vraie dans tout l’espace et non plus sur un volume. C’est une équation locale qui lie le champ en un pointM avec sa source au même pointρ(M).
Exemples: Soit le champ −→
E(x) = E0−→ex en coordonnées cartésienne dans un repère (O,−→ex,−→ey,−→ez). Alors l’équation locale de Maxwell-Gaussdonne :
div−→ E = dE0
dx = 0 = ρ ε0
Alorsρ= 0, le champ électrique peut être non nul en des points de charge nul.
III.5 Deuxième lecture de carte de champ
Définition:
On appelle tube de champ, un ensemble de ligne de champ qui s’appuient sur un contour fermé
Propriété:
Soit un tube de champ électrostatique−→
E ne contenant pas de charge(vide de charge). Le flux du champ
−
→E à travers toute section de ce tube de champ est le même.
Par conséquence les lieux de resserrement des lignes de champ correspondent aux zones de plus forte intensité du champ électrostatique.
Considérons un tel tube de champ. On noteS=S1∪Slat∪S2. Alors comme le tube de champ est vide de charge, le théorème de Gauss donne immédiatement :
‹
S
−
→E .−→ dS= 0 Or
‹ −→ E .−→
dS=− ˆˆ −→
E .−→ dS1+
ˆˆ −→ E .−→
dSlat+ ˆˆ −→
E .−→
dS2. Par définition des lignes de champ :−→ E .−→
dSlat= 0, alors : ˆˆ −→
E .−→ dS1=
ˆˆ −→ E .−→
dS2 Attention ici −→
dS1 oriente la section du tube de courant, pour constituer la surface fermé (orienter vers l’extérieur) il faut prendre−−→
dS1.
Par conséquence le flux de−→
E étant le même, si la section du tube diminue, l’intensité de−→
E augmente.
Pour la carte suivant on observe alors faci- lement que le champ−→
E est plus intense aux pointsAet H qu’aux pointsD etF. De plus la propriété précédent permet de trouver la norme du champ−→
E(P) connais- sant celle du champ−→
E(A).
En effet construisons un tube de courant par rotation des lignes de champ enserrantAet P.
P A
x
Comme ce tube de champ ne contient aucune charge :
E(A).S1=E(P).S2
. La construction du tube de champ permet de d’exprimer une approximation des surface : S1 = 2π.yA.eA et S2 = 2πyP.ep aveceAet eP les distances entre les deux lignes de champ aux niveaux des pointsAet P.
Finalement l’égalité des flux donne :
E(P) =E(A)yA.eA
yP.eP
