Condensateurs électrostatiques
Objectifs: Déterminer la capacité d’un condensateur plan.
Table des matières
I Champ créé par un plan infini uniformément chargé 2
I.1 Symétries et invariances . . . 2 I.2 Calcul du champ et du potentiel . . . 3 I.3 Relation de passage . . . 4
II Condensateur plan 6
II.1 Capacité d’un conducteur . . . 6 II.2 Etude d’une carte d’équipotentielles . . . 6 II.3 Etude du condensateur plan . . . 7
III Aspects énergétiques 9
III.1 Densité volumique d’énergie électrostatique . . . 9 III.2 Energie emmagasinée dans un condensateur . . . 9
I Champ créé par un plan infini uniformément chargé
I.1 Symétries et invariances
x
z
M
Considérons la situation ci-contre : un plan infini normal au vecteur
−
→ez portant une densité surfacique de charge σ uniforme. On cherche l’expression du champ électrostatique−→
E créé par cette distribution en tout point de l’espace.
On peut être tenté d’utiliser la base cartésienne ici, mais il est plus commode d’utiliser la base cylindrique ne serait-ce que pour définir de façon simple la surface de Gauss.
i-Base d’étude :
Base cylindrique : (−→er,−→eθ,−→ez).
A priori on cherche le champ électrostatique sous la forme :
−
→E(M) =Er(r, θ, z)−→er+Eθ(r, θ, z)−→eθ+Ez(r, θ, z)−→ez
ii-Plans de symétrie en M :
Le plan (M,−→er,−→ez) est un plan de symétrie de la distribution de charge.
Le plan (M,−→eθ,−→ez) est un plan de symétrie de la distribution de charge.
Le principe de Curie permet de conclure :−→
E(M) =Ez(r, θ, z)−→ez. iii-Etude des invariances :
La distribution de charge est invariante par rotation d’angleθ et par translation suivantr. Finalement on trouve :
−
→E(M) =Ez(z)−→ez
On peut aller plus loin encore. En effet le plan (O,−→er,−→eθ) est également plan de symétrie de la distribution de charge (le plan lui même). Alors ce plan est également un plan de symétrie du champ électrostatique.
Soit un pointM0 symétrique deM par rapport au plan (O,−→er,−→eθ) ce qui conduit à E(M0)−→ez=−E(M)−→ez
.
x
z
M
M'
I.2 Calcul du champ et du potentiel
x
z
M
M'
On défini une surface de Gauss : cylindre de rayonr, dont les bases S1 etS2contiennent les pointsM et M0, sa hauteur est alors 2.z.
Le théorème de Gauss donne alors : { −→
E .−→ dS=Qint
ε0 En développant l’intégrale :
{−→ E .−→
dS= ZZ
S1
−
→E(M).−→ dS1+
ZZ
S2
−
→E(M0).−→ dS2+
ZZ −→ E .−→
dSlat
Or on vient de montrer que le champ électrostatique est orthogonal à −→
dSlat, et −→
E(M) = −−→
E(M0) et −→
dS1 = −−→
dS2. Ces deux égalités
conduisent à : {−→
E .−→ dS= 2.
ZZ
S1
−
→E(M).−→ dS1
Avec−→
dS1=r.dr.dθalors : {−→ E .−→
dS= 2.π.r2.Ez(z) En exprimant la charge intérieur :
Qint= ZZ
Section
σ.dS=π.r2.σ
Finalement on peut exprimer le champ électrostatique en tout point de l’espace en n’oubliant pas queEz(z) est une fonction impaire :
−
→E = σ 2.ε0
−
→ez siz >0
= −σ
2.ε0
−
→ez siz <0
Représentons le graphe deEz(z) en fonction de z:
i-on remarque une discontinuité du champ électrostatique à la traversée du plan chargé, la valeur de cette discontinuité est σ
ε0 ii- on remarque que dans chaque partie de l’espace le champ électrostatique est uniforme, il n’est pas fonction dez.
iii- comme prévu par l’analyse des symétrie, le champ dans la partiez <0 est bien l’opposé du champ dans la partiez >0.
On peut aussi conduire le calcul du potentiel en chaque point de l’espace. Pour cela on utilise la relation −→ E =
−−−→
grad(V). De façon générale le gradient du potentiel s’écrit :
−−→grad(V) =∂V
∂r
−
→er+1 r
∂V
∂θ
−
→eθ+∂V
∂z
−
→ez
Mais l’étude des symétries et des invariances donne :−−→
grad(V) =−dV dz
−
→ez.
On procède au calcul du potentiel dans chaque portion d’espace séparées par le plan chargé :
x
z
z0 z
z'0
z
Le calcul de la circulation de long de chacun des contours donne :
V(z0)−V(z) = σ 2ε0
(z−z0) V(z)−V(z00) = − σ
2ε0
(z00 −z)
Finalement on fait tendre z0 −→ 0 et z00 −→ 0 et on note V(z0) =V(z00) =V0:
V(z >0) = − σ 2ε0.z V(z <0) = σ
2ε0.z
De même on représente l’évolution du potentiel électrostatique en fonc- tion dez. Immédiatement on remarque que le potentiel est luicontinu à la traversé de la surface chargée. On peut choisir par convention V0= 0.
En revanche on ne peut pas choisir le potentiel nul à l’infini, celui-ci croit depuis−∞jusqu’au plan chargé et décroit depuis le plan chargé jusqu’à +∞.
On remarque également que la surface chargée est une surface équi- potentielle, les lignes de champ électrostatique sont bien en tout point orthogonales à la surface.
Propriété:
Le champ électrostatiquen’est pas définiten un point d’une surface portant une densité surfacique de chargeσ, celui-ci est discontinu à la traversé de cette surface.
Le potentiel électrostatique est défini lui en tout point de l’espace, même sur le plan chargé, il reste continu à la traversé de la surface.
I.3 Relation de passage
L’équation de Maxwell-Gauss, vu dans le chapitreIV s’applique en tout point de l’espace :div−→ E = ρ
ε0. Elle traduit de façon locale le théorème de Gauss et permet de relier le champ électrostatique à ses sources.
En effet une densité volumique de charges est source d’un champ électrostatique.
Cependantσetλ, densité surfacique et linéique, sont aussi des sources du champ électrostatique. Or dans l’exemple précédent on remarque que dans l’espacez >0 l’équation de Maxwell-Gauss s’exprime :
div−→ E = 0 puisque ρ= 0. On obtient la même relation dans l’espacez <0.
On comprend alors que pour trouver le champ électrostatique on a besoin d’une relation supplémentaire qui apparaît ici comme une condition aux limites.
x
z
M2
Considérons un point M du plan portant une densité surfacique de chargesσ. SoientM2 dans le demi-espacez >0 etM1 dans le demi- espacez <0, tels queM2,M etM1soient à la verticale l’un de l’autre.
La relation de passage permet d’exprimer la discontinuité de la compo- sante du champ normale au plan, alors que sa composante tangentielle est continue à la traversée du plan.
Propriété:
Lors du passage au travers d’une surface chargé, la composante normaleà la surface du champ électrostatique estdiscontinue.
Cette discontinuité est donnée par la relation de passage :
−
→E(M2−→M)−−→
E(M1−→M) = σ ε0
−
→n12
avec−→n12un vecteur unitaire, orthogonal à la surface dirigé deM1 versM2.
Exemple :
Considérons une surface chargée d’une densité surface uniformeσ0 séparant l’espace en deux demi-espaces :z >0 et z <0. On considère qu’il existe dans l’espace z <0 un champ électrostatique −→
E =Ex(x, y, z)−→ex.+Ez(x, y, z)−→ez
dont on ne s’intéresse pas à la création.
Soient deux points M1 dans l’espace z < 0 et M2 dans l’espace z > 0. Dans chacun de ces demi-espace la densité volumique de charges est nulle :ρ= 0. Alors l’équation de Maxwell-Gauss donne :div−→
E = 0. La relation de passage permet d’exprimer le champ dans l’espacez >0.
−
→E(M2−→M)−−→
E(M1−→M) = σ ε0
−
→n12
−
→E(M2 −→M) =−→
E(x, y, z−→0+) et−→
E(M1−→M) =−→
E(x, y, z−→0−) et−→n12=−→ez. On réalise deux projections de cette relation :
Ez(x, y, z−→0+)−Ez(x, y, z−→0−) = σ0
ε0
Ex(x, y, z−→0+)−Ex(x, y, z−→0−) = 0
Finalement les composantes du champ suivant−→ex sont continues à la traversée de la surface, et pas les composantes suivant−→ez.
II Condensateur plan
II.1 Capacité d’un conducteur
C
V
Soit un conducteur C seul et isolé dans l’es-
pace. Porté à un potentiel V constant il porte
une charge totale Q dont la répartition est
unique.
Propriété :
Pour un conducteur à l’équilibre électrostatique isolé dans l’espace et porté au potentiel V il existe une unique répartition de la charge.
Définition:
On appelle capacité d’un conducteur seul dans l’espace, notéC le coefficient de proportionnalité tel que :
Q=C.V
avecQla charge porté par le conducteur, etV sont potentiel.
C s’exprime en F.
II.2 Etude d’une carte d’équipotentielles
Considérons la situation suivante : deux plans Π1 et Π2, portés respectivement aux potentiels −V0 et V0 comme sur la carte d’équipotentiel ci-contre.
Chaque plan porte alors une charge Q1 et Q2 telle que la répartition des charges sur chaque plan est unique.
Le potentiel total dans tout l’espace est la superposition des potentiels dus à chaque plan.
Il existe un plan d’antisymétrie de la répar- tition de charge (O,−→ey,−→ez), le potentiel to- tal étant nul sur ce plan d’antisymétrie. De plus on remarque que ces équipotentielles sont quasi-circulaire loin des plans chargés.
Observons maintenant le même type de carte dans la situation où les plans sont à la fois plus proche l’un de l’autre est plan grand.
Remarques:
i-les équipotentielles sont, dans l’espace entre les plans Π1 et Π2 des portions de droites parallèles entre elles.
Alors comme les lignes de champ sont orthogonales aux équipotentielles, on peut déduire que le champ électrostatique entre les armatures est uniforme.
ii- les surfaces équipotentielles sont aussi très
entre les armatures que dans l’espaces en dehors.
iii- à l’extérieur de l’espace entre les deux plans, les équipotentielles sont plus éloignées les unes des autres le champ électrostatique y est moins intense.
iv-sur les bords des surfaces charges les équipotentielles et le lignes de champ sont courbes.
Définition:
On dit qu’on peutnégliger les effets de bordlorsqu’on peut négliger l’intensité du champ électrostatique proches des bords des surfaces chargées face à l’intensité du champ électrostatique entre les deux plans chargés.
Propriété:
On peut négliger les effets de bord lorsque la distanceeentre deux plans chargés est très petites devant√ S : e√
S avecS la surface des deux plans.
II.3 Etude du condensateur plan
Définition:
On appelle condensateur, l’association de deux conducteurs C1 et C2 en influence totale appelés armatures du condensateur et séparées par un isolant.
Deux conducteurs sont en influence totale si toute les lignes de champ partant de l’un vont sur l’autre.
A priori pour réaliser la configuration d’influence totale il est nécessaire que l’un des conducteurs soit placé dans une cavité creuse de l’autre.
Cependant cette situation est technologiquement très compliquée à réaliser, on peut considérer que deux surfaces proches l’une de l’autre telle quee√
S sont en influence totale.
Considérons une telle situation, on réalise ainsi un condensateur plan.
Définition:
On appelle condensateur plan, l’association de deux plans chargés Π1 et Π2 portés aux potentiels V0 et −V0 et portant les charges−Qet +Q, espacés d’une distanceeséparés par du vide.
z
y O
On cherche à exprimer la capacité de ce condensateur sous la forme :
C= Q
V0−(−V0) On considère que e √
S on peut négliger les effets de bord. Alors chaque plan peut être considéré comme un plan infini du point de vu de l’autre.
Pour calculer cette capacité il existe plusieurs méthodes.
Méthode 1 : utilisation du théorème de superposi- tion.
En utilisant les résultats sur le plan infini chargé par une densité surfacique et le théorème de superposition on
−
→E1(z > e) = σ 2ε0
−
→ez
−
→E1(z < e) = −σ 2ε0
−
→ez
−
→E2(z >0) = −σ 2ε0
−
→ez
−
→E2(z >0) = σ 2ε0
−
→ez
Le théorème de superposition donne :−→
E(z > e) = −→
E1(z > e) +−→
E2(z > 0) =−→
0 , pour −→
E(e > z >0) =−→ E1(z <
e) +−→
E2(z >0) = −σ ε0
−
→ez et−→
E(<0) =−→
E1(z < e) +−→
E2(z <0) =−→ 0
z
Le calcul de la circulation du champ électrostatique entre les armatures deeà 0 donne : Z e
0
−
→E .−→ dl =
Z e
0
−σ ε0
−
→ez.dz−→ez
De plus on sait que la circulation de−→
E est égale à la différence de potentiel, alors Z e
0
−
→E .−→
dl =−V0−V0=−2V0. En rassemblant ces deux expressions :
−σ ε0
.e=−2V0
Puis avecσ=Q
S on trouve :
C= Q
2V0 = Sε0
e Remarques :
i-on remarque que la capacité augmente avec la surface des armatures. En effet des armatures plus étendues permette d’accumuler plus de charge et d’augmenter la capacité.
ii- la capacité augmente également avec la valeur de ε0. En effet si on remplace le vide par un matériaux isolant il faut utiliserεr.ε0 avecεr une constante sans dimension caractéristique de l’isolant estεr>1.
iii- par contre la capacité diminue sie augmente. Dans ce cas il faut, pour comprendre, utiliser la lecture des cartes de champ. Sieaugmente les équipotentielles sont plus éloignées les unes des autres alors le champ électrostatique est
Méthode 2 : utilisation de l’équation de Laplace.
Dans l’espace inter-armature on utilise l’équation de Laplace : ∆V = 0. Par intégration on obtient : V(z) =A.z+B
puis on utilise les conditions aux limites : V(z= 0) =−V0 =B et V(z=e) =A.e−V0 =V0, donne :A= 2V0 e . Le potentiel s’exprime entre les armatures :
V(z) =2V0
e .z−V0
La relation :−→
E =−−−→
grad(V) donne :
−
→E =−2V0
e
−
→ez= −σ ε0
−
→ez
Finalement on conclu :C= Q 2V0
= Sε0 e
III Aspects énergétiques
III.1 Densité volumique d’énergie électrostatique
On rappel l’expression de la densité volumique d’énergie électrostatique : ue=ε0
2 E2
On peut alors calculer cette densité volumique d’énergie en tenant compte de l’expression du champ électrostatique trouvé dans l’espace inter-armature :
ue= ε0
2 2V0
e 2
Le théorème de superposition permet de conclure que cette énergie n’est contenue qu’entre les armatures du conden- sateur plan puisque−→
E =−→
0 ailleurs.
III.2 Energie emmagasinée dans un condensateur
Pour déterminer l’énergie totale emmagasinée dans l’espace inter-armature du condensateur il suffit d’intégrer sur tout le volume inter-armature :
E= ZZZ
ue.dτ = ZZZ ε
2 2V0
e 2
Comme le champ électrostatique est uniforme entre les armatures on obtient : E= ε0
2.(2V0)2
e2 .S.e= 1 2
ε0.S e (2V0)2 avec 2V0 la différence de potentiel entre les armatures et ε0.S
e = C, on retrouve l’énergie emmagasinée par un condensateur vue en électrocinétique :
E= 1 2C.U2
