Champ électrostatique

(1)

Champ électrostatique

PC Lycée Dupuy de Lôme

(2)

1 Distribution de charges Porteurs de charge

2 Champ électrostatique Définition

Cas d’une charge ponctuelle Équations locales

Énergie potentielle d’une charge Lignes de champ

Définition Exemple Exemple Exemple Exemple Propriété

Propriétés de symétrie

Plans de Symétrie Conséquences

Invariances

Théorème de Gauss

Énoncé Application

E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Électromagnétisme 2 / 22

(3)

Distribution de charges Porteurs de charge

Description d’une distribution de charges statique

La distribution de charges pourra être ponctuelle, linéïque, surfacique ou volumique.

Charge ponctuelle : q placée en P Répartition linéïque :

Pour un é^lt dl(P)de la courbe de dens. linéïque de charge λ(P) : dq(P) =λ(P).dl(P)

Répartition surfacique :

Pour un é^lt dS(P) de la surface de dens. surfacique de charge σ(P): dq(P) =σ(P).dS(P)

Répartition volumique :

Pour un é^lt dτ(P) du volume de dens. volumique de charge ρ(P) : dq(P) =ρ(P).dτ(P)

(4)

Champ électrostatique Définition

Champ électrostatique

Une distribution de charges crée en un point M de l’espace un champ électrostatique Ð→

E(M) tel que l’action de cette distribution sur une charge q^′ placée en M a pour expression

Ð→ F =q^′.Ð→

E(M)

(5)

Champ électrostatique Cas d’une charge ponctuelle

bqO

r

b Ð→E

(M ) M

Loi de Coulomb

Une charge ponctuelle q enO crée en M un champ électrique

Ð→ E = 1

4.π.ǫ0

. q

OM³.ÐÐ→

OM

ǫ0= 1

4.π.10⁹ S.I :permittivité du vide

(6)

Champ électrostatique Équations locales

Équations locales en électrostatique

Un tout point M où la densité volumique de charge est ρ(M), le champ électrique vérifie les équations locales :

Ð→rotÐ→ E =Ð→

0 divÐ→

E =ρ(M) ǫ0

Pour l’opérateur rotationnel : ∬_SÐ→

rotÐ→ a ⋅

Ð→dS=∮ Ð→ a ⋅

Ð→ dl Pour l’opérateur gradient : ÐÐ→

gradA⋅ Ð→

dl=dA Potentiel électrostatique

Le champ électrostatique dérive d’un potentiel tel que - b

Ð→ E =−

ÐÐ→gradV

(7)

Champ électrostatique Énergie potentielle d’une charge

Une chargeq^′ est placée dans une zone de champ Ð→

E(M) et se déplace.

Travail de la force :

Énergie potentielle pour la charge :

(8)

Travail de la force : WA↷B=∫_A↷Bq^′.Ð→ E⋅

Ð→ dl Énergie potentielle pour la charge :

(9)

Énergie potentielle pour la charge : E_p(M) =q^′.V(M)

(10)

Énergie potentielle pour la charge : Circulation conservative

Le champÐ→

E(M) est à circulation conservative, la force électrostatique dérive donc d’une énergie potentielle.

b E_p(M) =q^′.V(M)

(11)

Champ électrostatique Lignes de champ Définition

ligne de champ

Tout déplacement élémentaire ÐÐÐ→

dOM le long d’une ligne de champ est colinéaire au champ électrique en M,Ð→

E(M) Ð→

E(M) =α.ÐÐÐ→

dOM ou Ð→

E(M)∧.ÐÐÐ→

dOM =0

Équipotentielle

L’ensemble des points de même potentiel forme une surface équipotentielle

(12)

UAB

+

−

(13)

ÐÐ→gradV

UAB

+

−

(14)

Ð→ Ligne E

de champ ÐÐ→gradV

UAB

+

−

(15)

Équipotentielle

Ð→ Ligne E

de champ ÐÐ→gradV

UAB

+

−

(16)

Champ électrostatique Lignes de champ Propriété

Lignes de champ électrique

Les lignes de champ sont orthogonales aux équipotentielles, orientées dans le sens des potentiels décroissants.

Topographie

Les lignes de champ électrique sont nécessairement ouvertes

(17)

Champ électrostatique Propriétés de symétrie Plans de Symétrie

Principe de Curie

Le conséquences ont au moins les symétries de la cause ;

Cause : distribution des charges aux points P∈distribution Conséquence : Force électrostatique exercée sur une charge test placée en M

Champ symétrique Comme le champ Ð→

E et la force électrostatiqueÐ→ F =q.Ð→

E sont colinéaires, le champ électrique crée par une distribution de charges aura donc les mêmes symétries que la distribution.

(18)

Champ électrostatique Propriétés de symétrie Conséquences

x y

z

−q

q

(19)

x y

z

−q

q

(20)

x y

z

−q

q

(21)

x y

z

−q

q

(22)

x y

z

−q

q

(23)

x y

z

−q

q

(24)

x y

z

−q

q

Propriétés de symétries Si M∈Π_sym, alors Ð→

E(M) ∈Π_sym

(25)

x y

z

−q

q

Propriétés de symétries Si M∈Π_sym, alors Ð→

E(M) ∈Π_sym Si M∈Π_anti−sym, alors Ð→

E(M)⊥Π_sym

(26)

Champ électrostatique Invariances

Invariance par translation

Si la distribution est invariante pour un observateur par translation colinéairement à une directionÐ→

u, l’intensité du champ électrique sera indépendante de la coordonnée ÐÐ→

OM⋅Ð→ u

Invariance par rotation

Si la distribution est invariante pour un observateur par rotation par rapport à un axe ∆d’un angleθ, l’intensité du champ électrique sera indépendante de la coordonnée θ

Il sera important de choisir un système de coordonnées en fonction des invariances de la distribution.

(27)

Champ électrostatique Théorème de Gauss Énoncé

Forme intégrale dedivÐ→ E = ρ

ǫ0

:

Avec le théorème de Green-Ostrogradski :

Theorème de Gauss Le flux sortant deÐ→

E à travers une surface ferméeS enfermant une charge Qint est tel que

Φ_E =∬_P∈SÐ→ E ⋅

ÐÐ→dS_P =Q_int ǫ0

(28)

Champ électrostatique Théorème de Gauss Énoncé

Forme intégrale dedivÐ→ E = ρ

ǫ0

:

∭_M∈V divÐ→

E(M).dτM =∭_M∈V ρ(M) ǫ0

.dτM

Avec le théorème de Green-Ostrogradski : Φ_E =∬_P_∈_SdivÐ→

E ⋅

ÐÐ→dS_P =∭_M_∈_V ρ(M) ǫ0

.dτ_M

Theorème de Gauss Le flux sortant deÐ→

E à travers une surface ferméeS enfermant une charge Qint est tel que

Φ_E =∬_P∈SÐ→ E ⋅

ÐÐ→dS_P =Q_int ǫ0

(29)

Champ électrostatique Théorème de Gauss Application

Déterminer le champ crée en M avec le théorème de Gauss :

La distribution doit avoir les symétries et invariances suffisantes Le choix de la surface de Gauss se fait en fonction des symétries de la distribution. Elle doit contenir le point M

Calculer le flux deÐ→

E à travers la surface fermée choisie Repérer et calculer la charge à l’intérieur de cette surface.

(30)

Dipôle électrostatique Domaine d’étude

b b b

(−q)A O B(q)

Dipôle et Approximation dipolaire

Deux charges opposées −q et A etq enB constituent un dipôle électrostatique dont le moment dipolaire, exprimé en Debye, est

Ð→

p =q.Ð→

AB

On se placera dans l’approximation dipolaireOM ≫AB

(31)

Dipôle électrostatique Potentiel crée par un dipôle

Principe de superposition : Dans l’approximation dipôlaire :

AM² =

Ð→ 1 AM = De même

(32)

Principe de superposition :V(M) = −q

4.π.ǫ0.AM + q 4.π.ǫ0.BM Dans l’approximation dipôlaire :

AM² =

Ð→ 1 AM = De même

(33)

AM² = AO²+OM²+2.Ð→

OA⋅ ÐÐ→OM a²

4 +r²+r.a.cosθ r².(1+a

r.cosθ) Ð→ 1 AM = De même

(34)

AM² = AO²+OM²+2.Ð→

OA⋅ ÐÐ→OM a²

4 +r²+r.a.cosθ r².(1+a

r.cosθ) Ð→ 1 AM = 1

r.(1− a

2.r.cosθ) De même

(35)

AM² = AO²+OM²+2.Ð→

OA⋅ ÐÐ→OM a²

4 +r²+r.a.cosθ r².(1+a

r.cosθ) Ð→ 1 AM = 1

r.(1− a

2.r.cosθ) De même 1

BM = 1

r.(1+ a

2.r.cosθ)

(36)

AM² = AO²+OM²+2.Ð→

OA⋅ ÐÐ→OM a²

4 +r²+r.a.cosθ r².(1+a

r.cosθ) Ð→ 1 AM = 1

r.(1− a

2.r.cosθ) De même 1

BM = 1

r.(1+ a

2.r.cosθ) Potentiel crée par un dipôle

Dans l’approximation dipôlaire, le potentiel crée enM(r, θ, ϕ) par un dipôle placé en O a pour expression :

- b V(M) = p.cosθ 4.π.ǫ0.r²

(37)

Dipôle électrostatique Champ électrique

Relation champ-potentiel :

(38)

Relation champ-potentiel :Ð→

E(M) =−

ÐÐ→gradV(M) ÐÐ→gradA(r, θ) = ∂A

∂r.Ð→ e_r+

1 r

∂A

∂θ.Ð→ e_θ Pour le potentiel :

∂A

∂r =

∂A

∂θ =

(39)

E(M) =−

∂r.Ð→ e_r+

1 r

∂A

∂r =−2.p.cosθ 4.π.ǫ0.r³

∂A

∂θ =− p.sinθ 4.π.ǫ0.r²

(40)

E(M) =−

∂r.Ð→ e_r+

1 r

∂A

∂r =−2.p.cosθ 4.π.ǫ0.r³

∂A

∂θ =− p.sinθ 4.π.ǫ0.r²

Champ électrique crée par un dipôle

On déduit de l’expression du potentiel dans l’approximation dipolaire : b

Ð→

E(M) = p.cosθ

4.π.ǫ0.r³.(2.cosθ.Ð→

e_r+sinθ.Ð→ e_θ)

(41)

Dipôle électrostatique Topographie

(42)

Dipôle électrostatique Action d’un champ sur un dipôle

Ð→

E_ext Position initiale du dipôle

+ -

Action d’un champ extérieur uniforme sur un dipôle

On considère un champ extérieur uniforme dans la zone du dipôle. Pour le dipôle placé en M, on aura :

Moment: Ð→ Γ =Ð→

p ∧ Ð→

E_ext b Résultante: Ð→

F =Ð→ 0

Énergie potentielle: E_p =−Ð→ p ⋅

Ð→ E_ext

(43)

Ð→

E_ext Position initiale du dipôle

+ -

p ∧ Ð→

F =Ð→ 0

Ð→ E_ext

(44)

Ð→

E_ext Position à l’équilibre du dipôle

- +

p ∧ Ð→

F =Ð→ 0

Ð→ E_ext

(45)

Dipôle électrostatique Liaisons de Van de Waals

Dipôle induit

Polarisabilité

Sous l’action d’un champ électrique Ð→

E_ext, des atome ou molécule non polaires acquièrent un moment dipolaire Ð→

p. On définit la polarisabilitéα de l’atome ou de la molécule telle que

Ð→

p =ǫ0.α.Ð→ E_ext

(46)

Dipôle électrostatique Liaisons de Van de Waals

Solvatation