EM11 – Modèle de Drüde
EM12 – Résistances
EM13 – Effet Hall
EM14 – Courant électrique dans un conducteur ohmique
EM21 – Champ électrostatique entre deux plaques
EM22 – Electromètre
EM23 – Equation de Poisson
EM24 – Topographie
EM25 – Anneau chargé
EM31 – Distribution volumique entre deux plans
EM32 – Champ créé par une boule
EM33 – Faisceau de particules chargées à symétrie cylindrique
1°)
a) Le problème est à symétrie cylindrique d’où : 𝐸𝐸�⃗ = 𝐸𝐸(𝑟𝑟)𝑢𝑢����⃗𝑟𝑟
Donc, on applique le théorème de Gauss à un cylindre de rayon r d’axe Oz et de hauteur h tel que :
φ =𝐸𝐸. 2π𝑟𝑟ℎ = 𝑄𝑄ε𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖0 ⇒ 𝐸𝐸�⃗ = 𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 2πε0𝑟𝑟ℎ 𝑢𝑢����⃗𝑟𝑟 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑟𝑟 <𝑅𝑅 ∶ 𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = ρπ𝑟𝑟2ℎ ⇒ 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟 <𝑅𝑅) = ρ0
2ε0𝑟𝑟⃗
𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑟𝑟 > 𝑅𝑅 ∶ 𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = ρπ𝑅𝑅²ℎ ⇒ 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟 > 𝑅𝑅) = ρ0𝑅𝑅2 2ε0𝑟𝑟 𝑢𝑢����⃗𝑟𝑟 b) 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑟𝑟 < 𝑅𝑅 ∶ 𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 =∫0𝑟𝑟ρ𝑑𝑑τ = ∫ ρ0�1 + 𝑟𝑟2
𝑅𝑅2� 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑θ𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑟𝑟 0
⇔ 𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 =ρ0� �𝑟𝑟+ 𝑟𝑟3
𝑅𝑅2� 𝑑𝑑𝑟𝑟 ∗2πℎ= 2πρ0ℎ �𝑟𝑟2 2 +
𝑟𝑟4 4𝑅𝑅2�
𝑟𝑟 0
⇒ 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟 <𝑅𝑅) = ρ0
2ε0.𝑟𝑟 �1 + 𝑟𝑟2 2𝑅𝑅2� 𝑢𝑢����⃗𝑟𝑟
𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑟𝑟 > 𝑅𝑅 ∶ 𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = �𝑅𝑅ρ𝑑𝑑τ
0 =� ρ0�1 + 𝑟𝑟2
𝑅𝑅2� 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑θ𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑅𝑅 0
⇔ 𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = ρ0� �𝑟𝑟+ 𝑟𝑟3
𝑅𝑅2� 𝑑𝑑𝑟𝑟 ∗2πℎ = 2πρ0ℎ �𝑅𝑅2 2 +
𝑅𝑅4 4𝑅𝑅2�
𝑅𝑅 0
⇒ 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟 >𝑅𝑅) = 3
4 .ρ0ε𝑅𝑅02𝑟𝑟 𝑢𝑢����⃗𝑟𝑟
2°) Le conducteur filiforme est le cas limite précédent où 𝑅𝑅 → 0 d'où la conservation de la charge s'écrit :
λℎ =ρ0π𝑅𝑅2ℎ ⇒ λ
π= ρ0𝑅𝑅2
⇒ 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟) = 2πελ
0𝑟𝑟𝑢𝑢����⃗𝑟𝑟
3°) En appliquant le théorème de Gauss:
- 𝑆𝑆𝑆𝑆 0 < 𝑟𝑟 < 𝑅𝑅1 ∶ 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟) = 0�⃗
- Si 𝑅𝑅1 < 𝑟𝑟 < 𝑅𝑅2 ∶ 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟) = 2ρε0
0�𝑟𝑟 −𝑅𝑅𝑟𝑟12�.𝑢𝑢����⃗ 𝑟𝑟 - Si 𝑟𝑟 > 𝑅𝑅2 ∶ 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟) = 2ρε0
0𝑟𝑟. (𝑅𝑅22− 𝑅𝑅12).𝑢𝑢����⃗ 𝑟𝑟
4°) Cette fois : ρ0π (𝑅𝑅22− 𝑅𝑅12)ℎ =σ 2π𝑅𝑅1ℎ ⇒ρ0(𝑅𝑅22 − 𝑅𝑅12) = 2σ 𝑅𝑅1 ⇒ 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟 < 𝑅𝑅1) = 0�⃗ 𝑒𝑒𝐸𝐸 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟 > 𝑅𝑅1) = σ ε𝑅𝑅1
0𝑟𝑟𝑢𝑢����⃗𝑟𝑟
EM34 – Energie coulombienne de deux noyaux miroirs
1°) La sphère de rayon r a déjà été construite, elle porte la charge 𝑞𝑞(𝑟𝑟) = 𝜌𝜌 43π𝑟𝑟3, l’opérateur va amener la charge 𝑑𝑑𝑞𝑞 = 𝜌𝜌 4π𝑟𝑟2𝑑𝑑𝑟𝑟 (couronne sphérique concentrique) de l’infini à r. Par conséquent : δ𝑊𝑊𝑜𝑜𝑜𝑜 =𝑑𝑑𝑞𝑞� 𝑉𝑉(𝑟𝑟)− 𝑉𝑉(∞)�
⇒δ𝑊𝑊𝑜𝑜𝑜𝑜 = 𝑑𝑑𝑞𝑞 � 𝜌𝜌
43π𝑟𝑟3
4πε0𝑟𝑟 −0� = 𝜌𝜌 4π𝑟𝑟2𝑑𝑑𝑟𝑟 ×ρ𝑟𝑟2
3ε0 ⇒δ𝑊𝑊𝑜𝑜𝑜𝑜 = 4πρ2 3ε0 𝑟𝑟4
Pour obtenir la sphère de rayon R, on intègre cette expression pour r variant de 0 à R, il vient :
⇒ 𝐸𝐸𝑖𝑖𝑜𝑜𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 =4πρ2
3ε0 � 𝑟𝑟4𝑑𝑑𝑟𝑟
𝑅𝑅
0
= 4πρ2 3ε0 𝑅𝑅
5
5 Or : 𝑄𝑄 = 𝜌𝜌 43π𝑅𝑅3⇒ρ2 = 9
16π2𝑅𝑅6𝑄𝑄2
⇒ 𝐸𝐸𝑖𝑖𝑜𝑜𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = 4π
3ε0 × 9𝑄𝑄
2
16π2𝑅𝑅6×𝑅𝑅
5
5 = 3 4πε0𝑄𝑄
2
5𝑅𝑅
L’énergie électrostatique de constitution d’un noyau atomique est égale à : 𝐸𝐸𝑖𝑖𝑜𝑜𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 =3
5 × 𝑄𝑄2
4πε0𝑅𝑅 > 0
EM35 - Recherche d’une distribution de charges
EM36 – Distribution volumique entre deux sphères concentriques
EM37 - Champ dans une cavité cylindrique
Donc : 𝐸𝐸�⃗ =𝐸𝐸����⃗1 +𝐸𝐸����⃗2 = 2𝜀𝜀𝜌𝜌
0𝐻𝐻����������⃗1𝐻𝐻2
EM38 – Champ dans une cavité sphérique
EM39 – Étude d'un champ électrique à distribution cylindrique
EM41 - Champ et potentiel créés par deux fils infinis
4°) On a :
�𝑟𝑟12 =𝑟𝑟2+𝑎𝑎2+ 2𝑎𝑎𝑟𝑟cosθ 𝑟𝑟22 =𝑟𝑟2+𝑎𝑎2−2𝑎𝑎𝑟𝑟cosθ
⇒
⎩⎪
⎨
⎪⎧
𝑟𝑟1 =𝑟𝑟 �1 +2𝑎𝑎
𝑟𝑟 cosθ+𝑎𝑎2 𝑟𝑟2�
12
1 𝑟𝑟2 =1
𝑟𝑟�1−2𝑎𝑎
𝑟𝑟 cosθ+𝑎𝑎2 𝑟𝑟2�−12
⇒ �𝑟𝑟1 ~ 𝑟𝑟 �1 + 𝑎𝑎
𝑟𝑟cosθ� 1
𝑟𝑟2~ 1
𝑟𝑟�1 +𝑎𝑎
𝑟𝑟cosθ�
⇒ 𝑟𝑟1
𝑟𝑟2 = �1 +𝑎𝑎
𝑟𝑟cosθ�2 ⇒ 𝑟𝑟1
𝑟𝑟2 ~ 1 + 2𝑎𝑎
𝑟𝑟cosθ Or :
𝑉𝑉 = λ
2πε0𝐿𝐿𝐿𝐿 �𝑟𝑟𝑟𝑟12�~ λ
2πε0 × 2𝑎𝑎𝑟𝑟cosθ
⇒ 𝑉𝑉 = λ𝑎𝑎
πε0𝑟𝑟 cosθ
EM42 – Interaction d’une charge ponctuelle et d’un dipôle
électrostatique
EM43 - Deux sphères de densité opposée
EM44 – Dipôle électrostatique et condensateur plan
EM45 – Cristal de NaCl soumis à un champ
EM46 – Filet d’eau
La tige de plastique est électrisée, et ses charges créent un champ électrostatique dont l’intensité croît lorsque l’on s’approche du matériau chargé. L’eau est constituée de molécules 𝐻𝐻2𝑂𝑂 polaires. Sous l’effet du champ de la tige chargée, ces dipôles s’orientent dans le sens du champ, et sont attirés alors vers les zones de champ plus intense. Le filet d’eau dévie ainsi nettement de la verticale pour se rapprocher de la tige chargée.
EM51 - Champ créé par une nappe de courant
EM52 - Bobine Torique
1°)
2°) Soit :
Φ =𝑁𝑁𝑁𝑁 = 𝑁𝑁 � 𝐵𝐵�⃗.𝑑𝑑𝑆𝑆����⃗ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝐵𝐵�⃗ = 𝜇𝜇0𝑁𝑁𝑁𝑁
2π𝑟𝑟 𝑢𝑢����⃗ 𝑒𝑒𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑆𝑆θ ����⃗ = 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑟𝑟𝑢𝑢����⃗ θ
⇒Φ =𝑁𝑁𝜇𝜇0𝑁𝑁𝑁𝑁
2π 𝑎𝑎𝐿𝐿𝐿𝐿 �𝑅𝑅 +𝑅𝑅 𝑎𝑎� 𝑂𝑂𝑟𝑟 Φ =𝐿𝐿𝑁𝑁 ⇒ 𝐿𝐿 =𝜇𝜇0𝑁𝑁²
2π 𝑎𝑎 𝐿𝐿𝐿𝐿 �𝑅𝑅+𝑅𝑅 𝑎𝑎�