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EM21 – Champ électrostatique entre deux plaques

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

EM11 – Modèle de Drüde

(2)

EM12 – Résistances

(3)

EM13 – Effet Hall

(4)

EM14 – Courant électrique dans un conducteur ohmique

(5)
(6)
(7)

EM21 – Champ électrostatique entre deux plaques

(8)
(9)

EM22 – Electromètre

(10)

EM23 – Equation de Poisson

(11)

EM24 – Topographie

(12)

EM25 – Anneau chargé

(13)
(14)

EM31 – Distribution volumique entre deux plans

(15)
(16)
(17)
(18)
(19)

EM32 – Champ créé par une boule

(20)
(21)

EM33 – Faisceau de particules chargées à symétrie cylindrique

1°)

a) Le problème est à symétrie cylindrique d’où : 𝐸𝐸�⃗ = 𝐸𝐸(𝑟𝑟)𝑢𝑢����⃗𝑟𝑟

Donc, on applique le théorème de Gauss à un cylindre de rayon r d’axe Oz et de hauteur h tel que :

φ =𝐸𝐸. 2π𝑟𝑟ℎ = 𝑄𝑄ε𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖0 𝐸𝐸�⃗ = 𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 2πε0𝑟𝑟ℎ 𝑢𝑢����⃗𝑟𝑟 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑟𝑟 <𝑅𝑅 ∶ 𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = ρπ𝑟𝑟2 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟 <𝑅𝑅) = ρ0

0𝑟𝑟⃗

𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑟𝑟 > 𝑅𝑅 ∶ 𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = ρπ𝑅𝑅²ℎ 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟 > 𝑅𝑅) = ρ0𝑅𝑅20𝑟𝑟 𝑢𝑢����⃗𝑟𝑟 b) 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑟𝑟 < 𝑅𝑅 ∶ 𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 =∫0𝑟𝑟ρ𝑑𝑑τ = ρ0�1 + 𝑟𝑟2

𝑅𝑅2� 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑θ𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑟𝑟 0

𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 =ρ0� �𝑟𝑟+ 𝑟𝑟3

𝑅𝑅2� 𝑑𝑑𝑟𝑟 ∗2π= 2πρ0𝑟𝑟2 2 +

𝑟𝑟4 4𝑅𝑅2

𝑟𝑟 0

⇒ 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟 <𝑅𝑅) = ρ0

0.𝑟𝑟 �1 + 𝑟𝑟2 2𝑅𝑅2� 𝑢𝑢����⃗𝑟𝑟

𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑟𝑟 > 𝑅𝑅 ∶ 𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = �𝑅𝑅ρ𝑑𝑑τ

0 =� ρ0�1 + 𝑟𝑟2

𝑅𝑅2� 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑θ𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑅𝑅 0

𝑄𝑄𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = ρ0� �𝑟𝑟+ 𝑟𝑟3

𝑅𝑅2� 𝑑𝑑𝑟𝑟 ∗2π = 2πρ0𝑅𝑅2 2 +

𝑅𝑅4 4𝑅𝑅2

𝑅𝑅 0

⇒ 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟 >𝑅𝑅) = 3

4 .ρ0ε𝑅𝑅02𝑟𝑟 𝑢𝑢����⃗𝑟𝑟

2°) Le conducteur filiforme est le cas limite précédent où 𝑅𝑅 → 0 d'où la conservation de la charge s'écrit :

λ =ρ0π𝑅𝑅2⇒ λ

π= ρ0𝑅𝑅2

⇒ 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟) = 2πελ

0𝑟𝑟𝑢𝑢����⃗𝑟𝑟

3°) En appliquant le théorème de Gauss:

- 𝑆𝑆𝑆𝑆 0 < 𝑟𝑟 < 𝑅𝑅1 ∶ 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟) = 0�⃗

- Si 𝑅𝑅1 < 𝑟𝑟 < 𝑅𝑅2 ∶ 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟) = 2ρε0

0�𝑟𝑟 −𝑅𝑅𝑟𝑟12�.𝑢𝑢����⃗ 𝑟𝑟 - Si 𝑟𝑟 > 𝑅𝑅2 ∶ 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟) = 2ρε0

0𝑟𝑟. (𝑅𝑅22− 𝑅𝑅12).𝑢𝑢����⃗ 𝑟𝑟

4°) Cette fois : ρ0π (𝑅𝑅22− 𝑅𝑅12) =σ 2π𝑅𝑅1⇒ρ0(𝑅𝑅22 − 𝑅𝑅12) = 2σ 𝑅𝑅1 ⇒ 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟 < 𝑅𝑅1) = 0�⃗ 𝑒𝑒𝐸𝐸 𝐸𝐸�⃗(𝑟𝑟 > 𝑅𝑅1) = σ ε𝑅𝑅1

0𝑟𝑟𝑢𝑢����⃗𝑟𝑟

(22)

EM34 – Energie coulombienne de deux noyaux miroirs

1°) La sphère de rayon r a déjà été construite, elle porte la charge 𝑞𝑞(𝑟𝑟) = 𝜌𝜌 43π𝑟𝑟3, l’opérateur va amener la charge 𝑑𝑑𝑞𝑞 = 𝜌𝜌 4π𝑟𝑟2𝑑𝑑𝑟𝑟 (couronne sphérique concentrique) de l’infini à r. Par conséquent : δ𝑊𝑊𝑜𝑜𝑜𝑜 =𝑑𝑑𝑞𝑞� 𝑉𝑉(𝑟𝑟)− 𝑉𝑉()�

⇒δ𝑊𝑊𝑜𝑜𝑜𝑜 = 𝑑𝑑𝑞𝑞 � 𝜌𝜌

43π𝑟𝑟3

4πε0𝑟𝑟 −0� = 𝜌𝜌 4π𝑟𝑟2𝑑𝑑𝑟𝑟 ×ρ𝑟𝑟2

0 δ𝑊𝑊𝑜𝑜𝑜𝑜 = 4πρ20 𝑟𝑟4

Pour obtenir la sphère de rayon R, on intègre cette expression pour r variant de 0 à R, il vient :

𝐸𝐸𝑖𝑖𝑜𝑜𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 =4πρ2

0 � 𝑟𝑟4𝑑𝑑𝑟𝑟

𝑅𝑅

0

= 4πρ20 𝑅𝑅

5

5 Or : 𝑄𝑄 = 𝜌𝜌 43π𝑅𝑅3⇒ρ2 = 9

16π2𝑅𝑅6𝑄𝑄2

𝐸𝐸𝑖𝑖𝑜𝑜𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 = 4π

0 × 9𝑄𝑄

2

16π2𝑅𝑅6×𝑅𝑅

5

5 = 3 4πε0𝑄𝑄

2

5𝑅𝑅

L’énergie électrostatique de constitution d’un noyau atomique est égale à : 𝐸𝐸𝑖𝑖𝑜𝑜𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 =3

5 × 𝑄𝑄2

4πε0𝑅𝑅 > 0

(23)

EM35 - Recherche d’une distribution de charges

(24)

EM36 – Distribution volumique entre deux sphères concentriques

(25)

EM37 - Champ dans une cavité cylindrique

(26)

Donc : 𝐸𝐸�⃗ =𝐸𝐸����⃗1 +𝐸𝐸����⃗2 = 2𝜀𝜀𝜌𝜌

0𝐻𝐻����������⃗1𝐻𝐻2

(27)

EM38 – Champ dans une cavité sphérique

(28)

EM39 – Étude d'un champ électrique à distribution cylindrique

(29)

EM41 - Champ et potentiel créés par deux fils infinis

(30)
(31)

4°) On a :

�𝑟𝑟12 =𝑟𝑟2+𝑎𝑎2+ 2𝑎𝑎𝑟𝑟cosθ 𝑟𝑟22 =𝑟𝑟2+𝑎𝑎2−2𝑎𝑎𝑟𝑟cosθ

⎩⎪

⎪⎧

𝑟𝑟1 =𝑟𝑟 �1 +2𝑎𝑎

𝑟𝑟 cosθ+𝑎𝑎2 𝑟𝑟2

12

1 𝑟𝑟2 =1

𝑟𝑟�1−2𝑎𝑎

𝑟𝑟 cosθ+𝑎𝑎2 𝑟𝑟2−12

𝑟𝑟1 ~ 𝑟𝑟 �1 + 𝑎𝑎

𝑟𝑟cosθ 1

𝑟𝑟2~ 1

𝑟𝑟�1 +𝑎𝑎

𝑟𝑟cosθ

𝑟𝑟1

𝑟𝑟2 = �1 +𝑎𝑎

𝑟𝑟cosθ2𝑟𝑟1

𝑟𝑟2 ~ 1 + 2𝑎𝑎

𝑟𝑟cosθ Or :

𝑉𝑉 = λ

2πε0𝐿𝐿𝐿𝐿 �𝑟𝑟𝑟𝑟12~ λ

2πε0 × 2𝑎𝑎𝑟𝑟cosθ

𝑉𝑉 = λ𝑎𝑎

πε0𝑟𝑟 cosθ

(32)

EM42 – Interaction d’une charge ponctuelle et d’un dipôle

électrostatique

(33)

EM43 - Deux sphères de densité opposée

(34)

EM44 – Dipôle électrostatique et condensateur plan

(35)
(36)
(37)

EM45 – Cristal de NaCl soumis à un champ

EM46 – Filet d’eau

La tige de plastique est électrisée, et ses charges créent un champ électrostatique dont l’intensité croît lorsque l’on s’approche du matériau chargé. L’eau est constituée de molécules 𝐻𝐻2𝑂𝑂 polaires. Sous l’effet du champ de la tige chargée, ces dipôles s’orientent dans le sens du champ, et sont attirés alors vers les zones de champ plus intense. Le filet d’eau dévie ainsi nettement de la verticale pour se rapprocher de la tige chargée.

(38)

EM51 - Champ créé par une nappe de courant

(39)

EM52 - Bobine Torique

1°)

2°) Soit :

Φ =𝑁𝑁𝑁𝑁 = 𝑁𝑁 � 𝐵𝐵�⃗.𝑑𝑑𝑆𝑆����⃗ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝐵𝐵�⃗ = 𝜇𝜇0𝑁𝑁𝑁𝑁

𝑟𝑟 𝑢𝑢����⃗ 𝑒𝑒𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑆𝑆θ ����⃗ = 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑟𝑟𝑢𝑢����⃗ θ

⇒Φ =𝑁𝑁𝜇𝜇0𝑁𝑁𝑁𝑁

𝑎𝑎𝐿𝐿𝐿𝐿 �𝑅𝑅 +𝑅𝑅 𝑎𝑎 𝑂𝑂𝑟𝑟 Φ =𝐿𝐿𝑁𝑁 𝐿𝐿 =𝜇𝜇0𝑁𝑁²

𝑎𝑎 𝐿𝐿𝐿𝐿 �𝑅𝑅+𝑅𝑅 𝑎𝑎

(40)

EM53 - Champ créé par un faisceau cylindrique d'électrons

(41)

EM54 – Interaction entre deux moments magnétiques

(42)

EM55 - Modèles de fils

(43)

EM56 – Topographie

(44)

EM57 - Câble coaxial

(45)

EM58 – Effet Hall

EM59 – Champ magnétique terrestre

(46)

EM61 – Décharge d’un conducteur dans l’air

(47)

EM62 - Alternateur d’une éolienne

(48)
(49)
(50)

EM63 – Courants de Foucault dans un cylindre

(51)
(52)

EM64 – Bilan d’énergie dans un conducteur ohmique

(53)

EM65 – Pince ampèremétrique

(54)
(55)
(56)

EM66 – Supraconducteur

(57)
(58)

EM67 – Plaque de cuivre

(59)

EM68 - Energie magnétique dans une bobine

(60)

EM69 – Condensateur plan dans l’ARQS électrique

(61)
(62)
(63)

EM71 – Balance de Cotton

(64)

EM72 – Pendule conducteur

(65)
(66)

EM73 – Freinage électromagnétique

(67)
(68)

EM74 - Détection ampèremétrique

(69)
(70)

EM75 - Circuits électriques couplés

(71)
(72)

EM76 - Sens et signes

EM77 - Dissipation par effet Joule

(73)

EM78 – Deux tiges

(74)

EM79 – Oscillateurs couplés

Références

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