Champ magnétostatique
Objectifs: Etudier les propriétés d’un champ magnétique.
Calculer un champ magnétostatique à haut degré de symétrie.
Table des matières
I Courant électrique et champ magnétique 2
I.1 Débit de charge . . . 2
I.2 Distribution de courant et intensité . . . 2
I.3 Définition du champ . . . 4
II Champ magnétique, étude des symétries 5 II.1 Force de Lorentz, symétrie . . . 5
II.2 Propriétés de symétrie du champ magnétique . . . 6
II.3 Première lecture de carte . . . 7
III Calculs de champ magnétique 8 III.1 Flux du champ magnétique . . . 8
III.2 Circulation du champ : théorème d’Ampère . . . 9
III.2.a Cas du fil épais . . . 9
III.2.b Cas d’une distribution linéique . . . 11
III.3 Equations locales . . . 12
III.4 Energie du champ magnétique . . . 12
III.4.a Le solénoïde . . . 12
III.4.b Densité volumique d’énergie magnétique . . . 15
I Courant électrique et champ magnétique
I.1 Débit de charge
M
Dans un référentiel galiléenR, muni d’un repère orthonormé direct (O,−→ex,−→ey,−→ez), on considère un ensemble de charges q animées de la même vitesse−→v par rapport àR.
On notenv le nombre de charge par unité de volume, alors nv s’ex- primer enm−3.
Avec nv on peut exprimer la densité volumique de charge ρ comme ρ=q.nv, en effet le calcul de :
ˆˆˆ
q.nvdτ =Qtot
donne la charge totale contenue dans un volume définit de l’espace.
Soit−→
dS(M) une surface élémentaire au voisinage d’un pointM. Cette surface est définie par un opérateur extérieur qui cherche à déterminer le nombre de charges qui traversent −→
dS(M) entre les dates : t et t+dt. Donc pendant la durée :t+dt−t=dt.
Comme toutes les charges sont animées de la même vitesse −→v, toutes les charges ont parcourues la distancek−→vk.dt pendant cette duréedt.
Toutes les charges qui traversent cette surface −→
dS(M) sont alors contenues dans un volume de contrôle cylindrique dτ de section
−→
dS(M) et de hauteurk−→vk.dt: dτ =−→
dS.−→v .dt
En considérant une situation simple pour laquelle−→
dS et −→v sont coli- néaires de même sens :dτ =v.dS.dt.
Le calcul du nombre de charge contenu dans ce volume donne : dN=nv.dτ =nv.v.dS.dt
correspond au nombre de charge recherché. On peut aussi calculer la valeur de la charge qui à traversé−→
dS durantdt, il suffit de calculer :
δQ=q.dN =q.nv.v.dS.dt Une remarque fondamentale est alors qu’on peut définir un débit de charge :
δQ
dt =q.nv.v.dS Définition:
On appellecourant électrique à travers une surface −→
dS fixe dans un référentiel galiléenR, le débit de charge à travers cette surface. On note :
δI =δQ
dt =q.nv.v.dS il s’exprime en A.
I.2 Distribution de courant et intensité
Le courant électrique apparaît clairement comme un débit de charge à travers sur surface. Il peut être intéressant d’en donner une définition en fonction du flux d’un champ vectoriel.
Reprenons l’expression du débit de charge, sans effectuer le produit scalaire on trouve : δQ
dt =q.nv.−→v .−→ dS(M).
Sachant queρ=q.nv on exprime :
δQ
dt =ρ−→v .−→ dS(M) Définition:
On appelledensité volumique de courantle champ vectoriel noté−→
j(M) tel que :
−
→j(M) =ρ(M).−→v(M) avec−→v la vitesse des charges etρla densité volumique de charge.
Son unité est : A.m−2 Remarques :
i-on rencontre parfois le terme d’intensité surfacique pour décrire le vecteur−→
j cela provient de son unité.
ii- lorsque dans le milieu existent plusieurs type de charge (électrons, protons etc...) toutes mobiles mais de vitesse différente il faut compter la contribution de chacune au courant électrique. On trouve alors :
−
→j =X
i
qi.nvi.−→vi=X
i
ρi.−→vi
Propriété:
L’intensité du courant électrique notée I, et donnée en ampère A s’exprime comme le flux du vecteur densité volumique de courant à travers une surface :
I= ˆˆ −→
j(M).−→ dS(M) Exemple :
R
Considérons un morceau de fil électrique assez long pour pour être modélisé par un cylindre infini d’axeOzparcouru par une densité volumique de courant−→
j(r) non uniforme et telle que :
−
→j(r) =j0
1− r
R −→ez
Par définition l’intensité du courant électrique qui traverse une section du fil est : ˆˆ
j0
1− r
R
.dS
etdS=rdrdθ, ce qui donne : I=j0
ˆ 2π 0
ˆ R 0
r−r2
R
dr= 2πj0
R2 2 −R2
3
Finalement :I=1 3j0.R2 Définition:
Lorsqu’une des dimensions est grande devant les deux autres, on peut modéliser les courant par une densité linéique de courant.
Dans ce cas−→ jL=
ˆˆ −→
j .dS avecS une section du fil.
On notera−→
jL=I−→n avec−→n un vecteur unitaire tangent au fil dirigé dans le sens du courant.
I.3 Définition du champ
Une charge ponctuelleq animée d’une vitesse−→v dans un référentielle galiléen est soumise de la part d’un champ magnétique −→
B à une force appelée force magnétiquetelle que −→
F =q.−→v ∧−→
B. Par analogie avec la description du champ électrostatique nous nous servirons de ceci pour définition.
Définition:
On appellechamp magnétique, noté−→
B(M), un champ vectoriel, tel que toute chargeqanimée d’une vitesse−→v par rapport à un référentiel galiléenR, est soumise de la part de−→
B à une force magnétique :
−
→F(M) =q.−→v ∧−→ B . L’unité dek−→
Bkest le Tesla noté T.
On retiendra les ordres de grandeurs suivant :
•le champ magnétique terrestre a une intensité moyenne :BT = 5.10−5T.
•le champ magnétique au coeur d’une étoile est de l’ordre deB= 1011T.
•le champ magnétique d’un aimant est environ :B= 0,1 T.
•le champ magnétique en RMN est de l’ordre de :B = 10 T
Soit une chargeqanimée d’une vitesse−→v dans une référentiel galiléen. On suppose qu’il existe dans l’espace deux champs magnétiques−→
B1et −→ B2.
Alors la charge qsubit de la part de chacun des champs magnétiques une force :−→
F1=q−→v ∧−→ B1 et −→
F2=q−→v ∧−→ B2. La résultante des actions magnétique s’écrit alors :
−
→F =q−→v ∧(−→ B1+−→
B2) Propriété:
Le champ magnétique respecte le principe de superposition, le champ magnétique résultant peut s’écrire : X
i
−
→Bi
L’experience d’Ørsted a permi au physicien danois de montrer que les sources du champ magnétique sont des courants. C’est-à-dire un mouvement de charge ordonné. On parle de champ magnétostatique lors ce champ ne dépend pas du temps.
A I = 0 B
A I > 0 B
II Champ magnétique, étude des symétries
II.1 Force de Lorentz, symétrie
Comme en électrostatique on peut utiliser le principe de Curie pour déterminer des propriétés de symétries et d’invariances du champ magnétique −→
B à partir de celles de courants. En électrostatique nous étions partie de la définition du champ−→
E. Mais nous aurions utiliser les propriétés de la force de Coulomb.
Un champ de force est un champ vectoriel qui respecte le principe de Curie. On va procéder de même ici, à partir du champ deforce magnétique. Or l’influence du champ magnétique se faisant à travers un produit vectoriel, les conclusions sont donc inversées pour le champ magnétique.
Considérons la situation suivante :
M M'
Deux charges de même signe et de même valeur sont placées en M et en M0 : q(M) =q(M0). On note−→v(M) la vitesse de la charge enM et −→v(M0) celle de la charge enM0 dans le même référentiel galiléen.
Ces deux vitesses étant symétriques l’une de l’autre par rapport à un plan Π, on construit ainsi un système de deux charges en mouvement symétriques. On suppose qu’existe de part et d’autre du plan Π un champ magnétique. Leprincipe de Curie donne une symétrie de la force magnétique appliquée sur chacune des charges par rapport au plan Π.
On cherche alors la direction du champ magnétique de part et d’autre du plan Π qui permet au système cette symétrie des vitesses et de la force magnétique.
A partir de la définition :
−
→F =q.−→v ∧−→ B Appliquons un repère au système :−→
F(M) =F(M)−→ez et−→v(M) =−v(M)−→ey. Alors−→
B(M) =B(M)−→ex. De même :−→
F(M0) =F(M)−→ez et−→v(M0) =v(M0)−→ey. Alors−→
B(M0) =−B(M0)−→ex.
M M'
Remarque :
On remarque le champ magnétique est anti-symétrique par rapport au plan Π.
II.2 Propriétés de symétrie du champ magnétique
De cette analyse on peut déduire les propriétés de symétrie d’une distribution de courant et du champ magné- tique.
Considérons une distribution de courant constituée de deux boucles. Soient M1 et M2 deux points symétrique l’une de l’autre par rapport à un plan Π.
Définition:
On appelle plan de symétrie d’une distribution de courant, un plan Π tel que pour deux pointsM1 et M2 symétriques l’un de l’autre par rapport à Π :
−
→jn(M1) =−−→ jn(M2)
−
→jt(M1) =−→ jt(M2) avec−→
jnla composante normale de la densité de courant au plan Π et−→
jtsa composante tangentielle.
Considérons une situation similaire et deux points M1 et M2 symétriques l’un de l’autre par rapport à Π?.
Définition:
On appelle plan de symétrie d’une distribution de courant, un plan Π?tel que pour deux pointsM1 etM2symétriques l’un de l’autre par rapport à Π? :
−
→jn(M1) =−→ jn(M2)
−
→jt(M1) =−−→ jt(M2)
Propriété:
Le champ magnétique créé par une distribution de courant permanent est antisymétrique par rapport aux plans de symétrie Π. Si le pointM est sur ce plan, alors−→
B(M) est normal au plan Π.
Le champ magnétique créé par une distribution de courant permanent est symétrie par rapport aux plans d’anti- symétrie Π? de cette distribution. SiM appartient à Π?, alors−→
B(M) est contenue dans ce plan.
Exemples :
i-Définition de la base :
(−→er,−→eθ,−→ez) base cylindrique.
ii-Plan de symétrie de la distribution de courant :
Le plan (M,−→er,−→ez) est un plan de symétrie de la distribution de courant.
Le plan (M,−→er,−→eθ) est un plan d’anti-symétrie de la distribution de courant.
A priori trouver un unique plan de symétrie doit suffire à déterminer la direction du champ magnétique, puisque
−
→B(M) est orthogonal au plan (M,−→er,−→ez) donc :
−
→B(M) =B(M)−→eθ
z R
i-Définition de la base :
(−→er,−→eθ,−→ez) base cylindrique.
ii-Plan de symétrie de la distribution de courant :
Le plan (M,−→er,−→ez) est un plan d’ anti-symétrie de la distribution de courant.
Le plan (O,−→er,−→eθ) est un plan de symétrie de la distribution de courant.
A priori trouver un unique plan de symétrie doit suffire à déterminer la direction du champ magnétique, puisque
−
→B(O) est orthogonal au plan (O,−→er,−→eθ) donc :
−
→B(O) =B(O)−→ez En revanche on ne trouve pas de direction unique de−→
B en tout pointM de l’espace.
Propriété:
Les invariances des distributions de courant sont aussi les invariances du champ magnétique.
II.3 Première lecture de carte
Comme pour le champ électrostatique on peut représenter une carte du champ magnétique. On préfèrera une représentation des lignes de champ plutôt que de représenter en chaque point le vecteur champ local.
Une lecture de carte nous renseigne sur les symétries, d’anti-symétrie et position de source ainsi que le sens du courant.
Sur cette carte de champ on remarque deux plan de symétrie du champ −→
B :
(O,−→ey,−→ez) et (M,→−ex,−→ey)
Alors on sait qu’ils sont des plans d’anti-symétries de la distri- bution de courant. Les deux courants sont alors desens oppo- sés.
Le plan (O,−→ex,−→ez) est un plan d’anti-symétrie du champ. C’est alors un plan de symétrie de la distribution de courant.
Ici on peut être dans le cas d’une spire de courant dans le plan (O,−→ex,−→ez), ou de deux fils parcourus par des courants en sens opposés.
Le champ magnétique est ici créé par 4 fils parallèles entre eux.
On trouve (O,−→ey,−→ez) comme plan de symétrie. Alors les courants en (−5,−5) et (5,−5) sont en sens opposés, tout comme les courants en (5,5) et (−5,5).
De même que le plan (O,−→ex,−→ez) est un plan de symétrie du champ magnétique et donc d’anti-symétrie des cou- rants.
Le plan (M,−→ex,−→ey) est lui un plan de symétrie du champ magnétique, on sait alors que les courants sont orthogo- naux à la carte de champ.
III Calculs de champ magnétique
III.1 Flux du champ magnétique
Dans chacune des cartes précédentes on peut représenter une surface fermée. Si on procède ainsi sur la carte si contre : i-Si la surface fermé passe par la distribu- tion de courant, alors les lignes de champ sont soient intérieures à la surface soient à l’extérieurs.
Aucune de sort et aucune de rentre.
ii-Sur les deux autres surfaces fermées, on remarque qu’il y a toujours autant de lignes de champ entrante que sortante des surfaces fermées.
Alors le flux de−→
B à travers une surface fer- mée est nul.
Propriété :
Le champ magnétique est un champ vectoriel àflux conservatif. C’est-à-dire que pour toute surface fermée Σ :
‹
Σ
−
→B(M).−→
dS(M) = 0 Les lignes de champ magnétique sont fermée (même à l’infini).
De façon local on a en tout point M de l’espace : div−→
B(M) = 0 (Appelé équation de Maxwell-flux).
Remarques :
i- Ce flux est alors le même à travers toute section d’un même tube de champ. Alorsle champ magnétique est
plus intense aux lieux de resserrement des lignes de champ.
ii-Le flux du champ−→
B est le même à travers toutes surface s’appuyant sur un même contour fermé.
III.2 Circulation du champ : théorème d’Ampère
I1 I2
I3
Comme en électrostatique nous avons un théorème permettant de calculer sim- plement le champ magnétique−→
B créé par une distribution de courant à haut degré de symétrie.
Propriété:
Théorème d’Ampère:
SoitDc une distribution de courant. Soit Γ un contour fermé et orienté selon la règle de la main droite. On note Σ une surface s’appuyant sur Γ.
La circulation de−→
B le long de Γ est égale à l’intensité totale du courant traver- sant la surface Σ multiplié parµ0.
Ce courant est appelé courantenlacé:
˛
Gamma
−
→B(M).−→
dl =µ0.Ienlacé=µ0 ˆˆ
Σ
−
→j .−→ dS
Dans l’exemple ci-contre la règle de la main droite donne−→
dS dans le même sens queI1, alorsI1est comptépositivement.
Le courant enlacé est alors ici : I1−I2−I3, le théorème d’Ampère donne :
˛
Γ
−
→B .−→
dl =µ0(I1−I2−I−3)
Tout comme la surface de Gauss, le contour d’Ampère est affaire de choix, il faut choisir le contour qui nous permettra de réaliser un calcul le plus simple possible.
Propriété:
Le contour d’Ampère est un contour ferméorienté, le champ magnétique doit être tangent à ce contour : i-si les lignes de champ magnétique se referme à distance fini, on choisi comme contour d’Ampère cette ligne de champ.
ii- si les lignes de champ magnétique se referment à l’infini, on choisi comme contour des portions de ligne de champ fermées par des arcs orthogonaux aux lignes de champ.
III.2.a Cas du fil épais
Un fil conducteur assimilé à un cylindre infini de rayon a et d’axe Oz est parcouru par un courant électrique d’intensitéI. On fait l’hypothèse que le courant est répartie de manière uniforme sur toute une sectionSdu cylindre :
I =
ˆˆ
S
−
→j0.−→ dS
−
→j0 = I πa2
−
→ez
Méthode:
1.Choix de la base d’étude : Base cylindrique (−→er,−→eθ,−→ez).
A priori :
−
→B(M) =Br(r, θ, z)−→er+Bθ(r, θ, z)−→eθ+Bz(r, θ, z)−→ez 2.Etude des symétries de la distribution au pointM.
•Le plan (M,−→er,−→eθ) est un plan d’anti-symétrie de la distribution. En effet−→
j est normale à ce plan et pour deux pointsP etP0 symétrique−→
j(P) =−→ j(P0).
•Le plan (M,−→er,−→ez) est en revanche un plan de symétrie de la distribution de courant.
Leprincipe de Curie:−→
B(M) =Bθ(r, θ, z)−→eθ. 3.Etude des invariances de la distribution de courant.
Invariance par translation suivant l’axeOz.
Invariance par rotation d’angleθ.
Finalement :
−
→B(M) =Bθ(r)−→eθ
4.Définition du contour d’Ampère.
On choisit un contour d’Ampère Γ, cercle de rayonRcentré sur l’axeOz et passant parM.
˛
M∈Γ
−
→B(M).−→
dl(M) =µ0.Ienlacé 5.Calcul.
˛
M∈Γ
−
→B(M).−→
dl(M) =
˛
Bθ(r)−→eθ.(dl−→eθ)
= Bθ(r)
˛ dl(P)
= Bθ(r).2πR Pour le courant enlacé il faut considérer deux cas :R > aetR < a.
SiR > a
Ce cas ne pose pas de problème particulierIenlacé=I SiR < a
AlorsIenlacé est l’intensité du courant traversant une surfaceS délimité par le contour Γ de rayon R.
Ienlacé =
ˆˆ −→ j0.−→
dS= ˆˆ I
πa2
−
→ez.dS−→ez
= I
πa2 ˆˆ
dS=IR2 a2 Alors avec le théorème d’Ampère :
−
→B(M) = µ0.I 2πR
−
→eθ siR > a
−
→B(M) = µ0.I.R 2πa2
−
→eθ siR < a
III.2.b Cas d’une distribution linéique Méthode:
O z
x
y
Un fil conducteur assimilé à un fil infini
d’axe Oz est parcouru par un courant élec-
trique d’intensité I. Cette situation permet
de modéliser le champ magnétique proche du
fil.
1. Choix de la base d’étude : Base cylindrique (−→er,−→eθ,−→ez).
A priori :
−
→B(M) =Br(r, θ, z)−→er+Bθ(r, θ, z)−→eθ+Bz(r, θ, z)−→ez
2. Etude des symétries de la distribution au pointM.
Le plan (M,−→er,−→ez) est un plan de symétrie de la distribution de courant.
Leprincipe de Curie:−→
B(M) =Bθ(r, θ, z)−→eθ. 3.Etude des invariances de la distribution de courant.
Invariance par translation suivant l’axeOz.
Invariance par rotation d’angleθ.
Finalement :
−
→B(M) =Bθ(r)−→eθ
4.Définition du contour d’Ampère.
On choisit un contour d’Ampère Γ, cercle de rayonRcentré sur l’axeOz et passant parM.
˛
M∈Γ
−
→B(M).−→
dl(M) =µ0.Ienlacé 5.Calcul.
˛
M∈Γ
−
→B(M).−→
dl(M) =
˛
Bθ(r)−→eθ.(dl−→eθ)
= Bθ(r)
˛ dl(P)
= Bθ(r).2πR Pour le courant enlacé il n’y a pas de problème particulierIenlacé =I Alors avec le théorème d’Ampère :
−
→B(M) =µ0.I 2πR
−
→eθ
III.3 Equations locales
Propriété:
Pour un champ magnétostatique−→
B(M) créé par une densité volumique de courant−→
j(M), le théorème d’Ampère peut s’écrire sous forme locale appelééquation de Maxwell-Ampère:
−→ rot−→
B(M) =µ0.−→ j(M)
Considérons pour cela une distribution de courantDc de densité volumique−→
j(M). Soit un contour fermé Γ, soit Σ une surface s’appuyant sur ce contour fermé.
Le théorème d’Ampère permet d’obtenir dans un premier temps :
˛
M∈Γ
−
→B(M).−→
dl(M) =µ0.Ienlacé= ˆˆ
Sigma
µ0.−→ j(M).−→
dS(M)
De plus le théorème de Stokes-Ampère au contour fermé Γ :
˛ −→ B(M).−→
dl(M) = ˆˆ
M∈Σ
−→ rot (−→
B(M)).−→
dS(M). Alors : ˆˆ
M∈Σ
−→ rot (−→
B(M)).−→ dS(M) =
ˆˆ
M∈Σ
µ0.−→ j(M).−→
dS(M) Pour un contour aussi petit que voulu nous avons :
−→ rot −→
B(M)
=µ0.−→ j(M)
III.4 Energie du champ magnétique
III.4.a Le solénoïde
Etudions dans un premier temps la carte de champ magnétique produite par une bobine de 5 spires par- courues par le même courant I. Sur la carte ci- contre le plan contenant une spire est orthogonal au plan de la figure (O,−→ex,−→ey). Le courant élec- trique sort de la figure à gauche et entre à droite.
La densité linéique de courant est donc −→ jL = I−→eθ.
Le champ magnétique est la superposition des champs individuels de chacune des spires, on observe une forte courbure des lignes de champ en entrée et en sortie de la
bobine, le champ magnétique étant rectiligne sur un petit domaine au centre de la bobine. A l’extérieur de la bobine les lignes de champ magnétique sont courbes et plus éloignées les unes des autres.
Définition:
On appellesolénoïdel’association de N spires identiques, jointives, toutes parcourues par le même courant.
N est un nombre entier.
Remarque:
Technologiquement un solénoïde est obtenu par enroulement N fois d’un fil autour d’un cylindre de longueurl et de rayon R. Dans tout ce qui suit on négligera l’hélicité de l’enroulement pour ne considérer que la superposition de N spires individuelles jointives.
Considérons un solénoïde tel quelR. Une étude topographique du champ magnétique créé para ce système. donne les caractéristiques suivantes : i-les lignes de champ sont rectilignes à l’intérieur du solénoïde ;
ii- les lignes de champ s’écartent rapidement du solénoïde lorsqu’elles sortent ;
iii-les lignes de champ magnétique sont plus éloi- gnées entres elles à l’extérieur du solénoïde qu’au centre.
Propriété:
Pour un solénoïde tel quelRon dit qu’on peut négliger les effets de bord. C’est-à-dire qu’on peut négliger le champ magnétique à l’extérieur du solénoïde face au champ magnétique au centre.
Dans ce cas on adopte le modèle du solénoïde infini, pour lequel :
−
→Bext=−→ 0.
La détermination du champ magnétique créé à l’intérieur d’un solénoïde suit la même procédure classique qu’établie précédemment.
Considérons un solénoïde d’axe Oz de rayon R et infini- ment long. Ce solénoïde est parcouru par un courant élec- trique d’intensité I, tel que −→
jL = I−→eθ, on note n = N
l le nombre de spire par unité de longueur du solé- noïde.
Méthode :
1.Choix de la base d’étude : Base cylindrique (−→er,−→eθ,−→ez).
A priori :
−
→B(M) =Br(r, θ, z)−→er+Bθ(r, θ, z)−→eθ+Bz(r, θ, z)−→ez
2.Etude des symétries de la distribution au pointM.
Le plan (M,−→er,−→eθ) est un plan de symétrie de la distribution de courant.
Leprincipe de Curie:−→
B(M) =Bz(r, θ, z)−→ez. 3.Etude des invariances de la distribution de courant.
Invariance de la distribution de courant par translation suivant l’axeOz.
Invariance de la distribution de courant par rotation d’angleθ.
Finalement :
−
→B(M) =Bz(r)−→ez 4.Définition du contour d’Ampère.
La principale difficulté ici vient du fait qu’à l’intérieur du solénoïde les lignes de champ ne sont pas fermées. Il faut alors choisir des portions de lignes fermées par des arcs orthogonaux à ces portions.
Ici on choisit deux contours d’Ampère différents :
z
R A B
D C
A' B'
C' D'
i-le contourABCD permet de montrer que le champ magnétique est uniforme au coeur du solénoïde ; ii-le contour A0B0C0D0 permet de déterminer l’expression du champ magnétique.
˛
ABCD
−
→B(M).−→
dl(M) = 0
˛
A0B0C0D0
−
→B(M).−→
dl(M) =µ0.Ienlacé 5.Calcul.
Le long du contour ABCD:
˛
ABCD
−
→B(M).−→ dl(M) =
ˆ B A
Bz(rA)−→ez.dl−→ez+ ˆ C
B
Bz(r)−→ez.dl−→er+ ˆ D
C
Bz(rC)−→ez.dl(−−→ez) + ˆ A
D
Bz(r)−→ez.dl−→er
En supprimant tous les produits scalaires nuls et en notant :AB=L=CDon obtient :
˛
ABCD
−
→B(M).−→
dl(M) =Bz(rA).L−Bz(rC).L= 0
Propriété:
Le champ magnétique à l’intérieur d’unsolénoïde infiniest uniforme dirigé suivant l’axe du solénoïde. Pour tous points tels querA6=rC :
−
→B(rA) =−→ B(rC) Le long du contour A’B’C’D’ :
De la même façon mais sans oublier que−→
B(rC0) =−→ Bext :
˛
A0B0C0D0
−
→B(M).−→ dl(M) =
ˆ B0 A0
Bz(rA0)−→ez.dl−→ez+ ˆ C0
B0
Bz(r)−→ez.dl−→er+ ˆ D
C
−
→Bext−→ez.dl(−−→ez) + ˆ A0
D0
Bz(r)−→ez.dl−→er Alors :
˛
A0B0C0D0
−
→B(M).−→
dl(M) =Bz(rA0).L=µ0.Ienlacé
Le calcul du courant enlacé par le contour d’Ampère nécessite l’utilisation du nombre de spires enlacé par le contour de longueurL.
Ienlacé=n.L
Propriété:
Un solénoïde infini possédant n spires par unité de longueur, parcouru par un courant d’intensitéI stationnaire, créé un champ nul à l’extérieur−→
Bext=−→
0 et un champ uniforme à l’intérieur, dirigé suivant l’axe du solénoïde :
−
→B =µ0.n.I−→ez
III.4.b Densité volumique d’énergie magnétique
La présence d’un champ magnétique dans l’espace permet de modifier la trajectoire d’une charge en mouvement.
Alors il y a transfert d’énergie du champ magnétique à la charge. Par analogie avec l’électrostatique on cherche l’ex- pression de ladensité volumique d’énergie magnétique. Pour cela on s’appuie sur l’exemple du solénoïde infini.
Le flux du champ magnétique à travers toute surface fermée est nul :div−→
B = 0, or cela n’est pas le cas pour des surface ouverte.
En effet il faut se souvenir de la loi de Faraday: −dΦB
dt =e, avecela f.e.m. Cependant ici, dans le domaine de la magnétostatique :
dΦB
dt = 0.
Utilisant l’exemple du solénoïde infini procédons au calcul du flux du champ magnétique à travers la surface deN spires.
ΦB=N.
ˆˆ
spire
−
→B(M).−→ dS(M) avec−→
dS=r.dr.dθ−→ez, or le champ magnétique à l’intérieur est uniforme :−→
B =µ0.n.I−→ez : ΦB =N.µ0.n.I.π.R2
Pour un solénoïde tel quelRc’est-à-dire un solénoïde infini on peut tout de même donner :N =n.l, alors : ΦB =µ0.π.R2.n2.l.I
Définition:
On appellecoefficient d’auto-induction, la grandeur notéeL, constante de proportionnalité entre le courantI et le flux du champ magnétique créé par ce même courant :
ΦB=L.I sont unité est le Henry : H.
Par définition on trouve le coefficient d’auto-induction du solénoïde : L=µ0.π.R2.n2.l
De plus l’électrocinétique nous a permis de déduire que l’énergie emmagasinée dans une bobine s’exprime :E = 1
2L.I2.
En développant l’expression deL:
E= µ0.n2
2 .π.R2.l.I2 On remarque plusieurs choses :
i-π.R2.l=Vsolénoïde. ii- µ0.n2
2 .π.R2.l.I2= 1 2µ0
B2.
Finalement l’énergie magnétique emmagasinée dans un solénoïde est :E = 1 2µ0
VsolénoïdeB2 Propriété:
En tout M de l’espace où règne un champ magnétique, il existe une forme d’énergie liée au champ. On appelle densité volumique d’énergie magnétique la grandeur notéeumtelle que :
um= 1 2µ0
k−→ B(M)k2 son unité est le J.m−3.
