Tabledesmatières Interférencespardivisiondufrontd’onde PhysiquePTLycéeJulesFerry

Interférences par division du front d’onde

Objectifs: Décrire et interpréter une figure d’interférence par division du front d’onde.

Table des matières

I Dispositif des trous d’Young et des fentes d’Young 2

I.1 Réalisation de sources cohérentes par division du front d’onde . . . 2 I.2 Trous d’Young à grande distance d’un écran . . . 5 I.3 Montage à deux lentilles : observation à l’infini . . . 7

II Description de la figure d’interférence 9

II.1 Ordre d’interférences et franges . . . 9 II.2 Interfrange . . . 11 II.3 Exemple . . . 12

III Perte de cohérence 13

III.1 Perte de cohérence spatiale . . . 13 III.2 Perte de cohérence temporelle . . . 17

I Dispositif des trous d’Young et des fentes d’Young

I.1 Réalisation de sources cohérentes par division du front d’onde

M

S1

S2

Reprenons quelques élément de démonstration du chapitre précédent. On consi- dère deux sources lumineuses ponctuelles S₁ et S₂, dont les ondes scalaires s’écrivent :

s1(M, t) =s01(M) cos(ω1.t−ϕ1(M)) et s2(M, t) =s02(M) cos(ω2.t−ϕ2(M)).

On cherche l’expression de l’intensité lumineuse en un pointM atteint par les deux ondes. Le principe de superposition donne l’onde enM :

s(M, t) =s1(M, t) +s2(M, t) L’éclairement au pointM donne :

E(M) =D

(s₁(M, t) +s₂(M, t))²E La linéarité de la valeur moyenne donne la suite de calcul suivant :

E(M) =

s²₁(M, t) +

s²₂(M, t)

+ 2.hs1(M, t).s2(M, t)i Cependant par définition nous avons :E1(M) =

s²₁(M, t)

etE2(M) =

s²₂(M, t)

les éclairements au pointM des sourcesS1 etS2.

Propriété:

L’éclairement en un pointM résultant de la superposition de deux ondes lumineuses est égale à la somme de trois termes :

i-l’éclairement dû à la sourceS1:E1(M) = 1

2s²₀₁(M) ; ii-l’éclairement dû à la sourceS₂ :E₂(M) =1

2s²₀₂(M) ;

iii- le terme d’interférence:E₁₂(M) = 2.hs₁(M, t).s₂(M, t)iqui représente l’écart à la superposition des deux éclairements individuels des sources.

Rechercher les conditions d’interférence c’est rechercher l’ensemble des conditions sur les ondes scalairess1(M, t) et s2(M, t) tel que le terme d’interférence soit non nul. On développe alors le calcul du terme d’interférence :

E12(M) = 2.hs1(M, t).s2(M, t)i

E12(M) = 2.hs01(M) cos(ω1.t−ϕ1(M)×s02(M) cos(ω2.t−ϕ2(M))i E12(M) = 2

s₀₁(M).s₀₂(M).1

2(cos((ω₁+ω₂).t−ϕ₁(M)−ϕ₂(M)) + cos((ω₁−ω₂).t−ϕ₁(M) +ϕ₂(M)))

E12(M) = s₀₁(M).s₀₂(M) hcos((ω1+ω₂).t−ϕ₁(M)−ϕ₂(M))i+hcos((ω1−ω₂).t−ϕ₁(M) +ϕ₂(M))i Ici on remarque une première chose :

i-Quelles que soient les valeurs de ω₁ et ω₂ : hcos((ω1+ω₂).t−ϕ₁(M)−ϕ₂(M))i= 0. Ce terme est alors toujours nul.

ii-Le terme :hcos((ω₁−ω₂).t−ϕ₁(M) +ϕ₂(M))ipeut être non nul à la condition qu’il ne dépende plus explicitement du temps.

On trouve ainsi une première condition d’interférence : les ondes lumineuses doivent être synchrones, c’est à dire queω1=ω2=ω.

Considérons cette condition respectée :

E12(M) =s01(M).s02(M)hcos(ϕ2(M)−ϕ1(M))i

En tenant compte de la relation fondamentale de l’optique ondulatoire on a : ϕ₂(M) = 2π(S₂M) λ0

+ϕ(S₂) et ϕ1(M) =2π(S1M)

λ0

+ϕ(S1) ainsi le terme d’interférence donne : E12(M) =s01(M).s02(M)

cos

2π λ0

((S2M)−(S1M)) +ϕ(S2)−ϕ(S1)

Le modèle d’émission de la lumière sous forme de train d’onde implique que la phase à l’origine :ϕ(S2) etϕ(S1) sont aléatoire.

On trouve alors laseconde conditionpour le terme d’interférence soit non nul :les déphasage à l’origine doivent être constante

Propriété:

Pour observer des interférences il est nécessaire de respecter deux conditions :

i-les ondes lumineuses doivent être synchrones, c’est-à-dire que les sources ponctuelles S1 et S2 émettent une onde monochromatique de même pulsationω₁=ω₂.

ii-ledéphasage à l’origine doit être constantest non plus aléatoire :ϕ(S₂)−ϕ(S₁) =cte.

Lorsque ces deux conditions respecté le terme d’interférence est non nul, on dit que le sources S₁ et S₂ sont cohérentes :

E(M) =E1(M) +E2(M) + 2p

E1.E2cos

2π.δ(M) λ0

Cette formule est appeléeformule de Fresnel.

La condition de synchronisme est relativement simple à respecter, il suffit d’utiliser des sources lumineuses mono- chromatique, avec un élargissement spectrale ∆λfaible afin de pouvoir le négliger dans un premier temps et considérer que les sources sont parfaitement monochromatiques.

Si les deux sourcesS1etS2sont physiquement indépendantes, par exemple deux atomes différents, alors elles émettent des trains d’onde de façon aléatoire et jamais nous ne pourront faire en sorte de rendre constant le déphasage à l’ori- gine :ϕ(S2)−ϕ(S1).

Définition:

On appellesource ponctuelle primaireune source lumineuse ponctuelle qui produit la lumière qu’elle émet.

On appelle source ponctuelle secondaire un point qui atteint par une onde lumineuse peut être considéré comme une source lumineuse à son tour. Mais il n’est pas le siège de processus d’émission de la lumière par des atomes.

Une façon simple de créer des sources cohérentes, c’est-à-dire qui peuvent interférer, c’est de réaliser deux sources ponctuelles secondaires à partir d’une source primaire unique. Voici le processus :

1- la source primaireS émet un train d’onde de phase à l’origine ϕ(S), sa pulsation est ω.

2- ce train d’onde atteint deux sources secondairesS₁ etS₂. Les phases enS₁ et S₂sont donc : ϕ(S₁) =ϕ(S) +2π

λ0

(SS₁) et ϕ(S₂) =ϕ(S) +2π λ0

(SS₂)

3- on observe l’éclairement produit en un pointM de l’espace par la superposition des ondes émises depuis les sources secondairesS₁ etS₂. C’est deux sources respectent bien les conditions d’interférences puisque le déphasage à l’origine ϕ(S₂)−ϕ(S₁) = 2π

λ0

((SS₂)−(SS₁)) =ctequi ne dépend que de paramètres géométriques.

S

M

x y

X Y

S1O S2

D d

d S

S1

S₂

M(x,y,z=D)

z a

X

d

D

Une façon de rendre constant le déphasage à l’origine est le montage destrous d’Young.

Définition:

Le système des trous d’Youngpermet de réaliser deux sources ponctuelles secondaires cohérente. Il s’agit d’un écran opaque percé de deux trous qui, éclairés par une source primaires ponctuelle monochromatique, vont consti- tuer deux sources ponctuellescohérentes.

Comme chaque trou intercepte le même front d’onde on parle dedivision du front d’onde Remarques :

i-Chaque trou d’Youg diffracte la lumière de la source primaire. Elles se comportent comme des sources ponctuelles qui émettent dans un cône d’angleθ tel que sinθ= λ

2.r avecr la rayon d’un trou.

ii-Dans toute la suite on considérera que l’amplitude des ondes issues deS1 etS2, sont identiques. On fera interférer des ondes de même amplitude.

S1

S2

S

champ d'interférences Chaque cône de diffraction émis depuis les sources secon-

daires vont se superposer dans un zone de l’espace.

Définition:

On appelle champ d’interférencesla zone de l’es- pace éclairée par les deux ondes cohérentes dans la- quelle les rayons issus des deux sources peuvent inter- férer.

C’est dans cette zone nécessairement limité qu’est éventuellement observable le phénomène d’interfé- rence.

On remarque que quelle que soit la position de l’écran dans le champ d’interférence, dans le cas des trous d’Young, qu’on observera les interférence.

Propriété :

La figure d’interférence est observable quelle que soit la position de l’écran dans le champ d’interférence.

On dit que les interférence sont non localisées.

I.2 Trous d’Young à grande distance d’un écran

S

S1

S2

M(x,y,z=D)

z a

X

d

D

Considérons une source ponctuelle primaire monochromatique S placée à une distanced a d’un dispositif des trous d’Young distant de aest symétrique l’un de l’autre par rapport à l’axe op- tiqueOz. La sourceSest placée sur l’axe optique.

D’après ce que nous avons fait précédemment nous pouvons affirmer que les sources secondairesS₁et S₂ sont des sources cohérentes. On observe les in- terférences produites sur un écran à une distance Daen un pointM.

Considérant que chaque source secondaire émet une onde sphérique de même amplitude on peut écrire :

s1(M, t) =s0(M) cos(ω.t−ϕ1(M)) et s2(M, t) =s0(M) cos(ω.t−ϕ2(M)) Dans ce cas la formule de Fesnel donne directement l’éclairement au pointM :

E(M) = 2.E0

1 + cos2πδ(M) λ0

avecδ(M) la différence de marche entre les deux ondes issus deS₁et S₂ au pointM.

Par définitionδ(M) = (SM)₂−(SM)₁. Il suffit alors pour exprimer l’éclairement en fonction de la position deM sur l’écran de déterminer l’expression de la différence de marche.

Méthode:

1- Décomposer les chemins optiques en utilisant le théorème de Malus.

S est sur l’axe optique du système :δ(M) = (SS2) + (S2M)−(SS1)−(S1M).

OrS est sur la médiatrice du segment [S2S1], alors d’après le théorème de MalusS1et S2sont sur une même surface d’onde émise depuisS. Par définition du chemin optique :

(SS2) = (SS1) 2- Calcul des distancesS1M etS2M.

La différence de chemin optique s’exprime alors :δ(M) = (SS₂)−(SS₁). On calcul chacune des distances à partir des coordonnées des points :

S₁=

a 2 0 0

S₂=

−a 2 0 0

M =

x

y

D Alors :

−−−→ S1M =

x−a 2 y

D

−−−→ S2M =

x+a 2 y

D

Ce qui donne pour les modules de chacun des vecteurs : S₁M =

r

x−a 2

2

+y²+D² S₂M = r

x+a

2 2

+y²+D²

Par construction la distance D a et on observe en un point M tel que x D et y D. On procède à un développement limité à l’ordre 2 et a

D : S₁M =D.

r

1 +(x−a/2)² D² + y²

D² S₂M =D.

r

1 +(x+a/2)² D² + y²

D² S₁M ≈D.

1 + (x−a/2)² 2D² + y²

2D²

S₂M ≈D.

1 +(x+a/2)² 2D² + y²

2D²

Finalement lorsqu’on regroupe ces deux expressions : S2M−S1M = (x+a/2)²

2D −(x+a/2)²

2D =a.x

D

En tenant compte de l’indice optique du milieu on a : (S2M)−(S1M) =n.(S2M−S1M) : δ(M) =n.a.x

D 3- Formule de Fresnel.

En utilisant la relation fondamentale de l’optique ondulatoire ∆ϕ(M) = 2πδ(M) λ0

, la formule de Fresnel :

E(M) =E0(M).

1 + cos2π.n.a.x λ₀.D

Propriété:

La différence de marche à grande distance de deux sources ponctuelles cohérente s’exprime : δ(M) =n.a.x

D

La formule de Fresnel donne pour des amplitudes égales des deux sources : E(M) =E₀(M)

1 + cosn.a.x λ₀.D

avecλ₀ la longueur d’onde dans le vide.

Remarques:

i-Sur l’écran dans le plan (M,−→ex,−→ey) l’éclairement est constant pourx=cte, on observe alors desfrangessombre et brillante parallèle à l’axey, orthogonal à l’axe des sources secondaires.

ii- Le contraste de la figure d’interférence est ici maximal : C= 1 puisque les deux sources secondaires ont la même amplitude.iii-Nous ne tenons pas compte ici du phénomène de diffraction qui se superpose ici aux interférences. En effet la figure d’interférence est expérimentalement observée dans la partie superposé des taches de diffraction due à chaque trous d’Young.

La figure d’interférence est une succession de franges sombres et brillantes.

Définition:

On appellefrange d’interférenceles surfaces sur l’écran telles que : E(M) =cte lorsque le terme d’interférence est non nul.

I.3 Montage à deux lentilles : observation à l’infini

Il est important également de connaître un second montage permettant d’obtenir une figure d’interférence, mais cette fois-ci en utilisant des ondes planes, c’est-à-dire des ondes provenant d’une source ponctuelle à l’infini.

Ce montage est réalisé grâce à deux lentilles convergentes. Considérons alors le montage ci-contre :

S

L

L

O

O

S

S

M

z x

x O x

f'

f'

La source primaire ponctuelle et monochromatiqueS est placée dans le plan focal objet d’une lentille convergente L1, les ondes après la lentille sont donc des ondes planes.

Après traversé des trous d’YoungS1et S2, sources ponctuelles secondaire et monochromatiques, on observe les inter- férences produites à l’infini, c’est-à-dire dans le plan focal image d’une lentille convergenteL2. Les sources secondaires étant issues d’une même source primaire, ponctuelle, monochromatique, elles sont cohérentes, alors elles peuvent in- terférer.

Considérant que leurs amplitudes sont identiques la formule de Fresnel donne l’éclairement en M : E(M) = 2.E0.

1 + cos2π.δ(M) λ0

Il s’agit de déterminer la différence de marche totale :δ(M) = (SM)2−(SM)1= (SS2M)−(SS1M).

Methode:

1- Décomposition des chemins optiques :

S₁

S₂

z

H K

vers S vers M

La première lentille L1 transforme l’onde sphérique émise depuis Sen une onde plane, on représente alors les surfaces d’onde aprèsL1. La lentille L2 produit l’exacte inverse, elle transforme l’onde plane en une onde sphérique convergent enM, on trace les surfaces d’onde avantL2.

Considérons les deux surfaces d’onde passant parS₁ et interceptant le rayons lumineux passant parS₂ alors :

δ(M) = (SH) + (HS2) + (S2K) + (KM)− (SS1) + (S1M) Les lentilles minces sont stigmatique etH etS1 sont sur une même surface d’onde émise depuisS alors :

(SH) = (SS₁)

De même le retour inverse de la lumière nous donne queS1 etK sont sur une même surface d’onde émise depuisM et donc :

(S1M) = (KM) Finalement la différence de marche s’exprime :

δ(M) = (HS₂) + (S₂K) 2- Utilisation des relations géométriques :

S

S

z

H K

vers S vers M

Par construction on retrouve les anglesαetϑentre les plans d’onde et le plan contenant les trous d’Young, alors :

HS₂=S₁S₂sinα S₂K=S₁S₂sinϑ Or par construction nous avons : tanα=x_S

f₁⁰ et tanϑ= x f₂⁰. Dans les conditions de Gauss nous avons : tanα≈α≈sinαet tanϑ≈ϑ≈sinϑet donc on trouve en notantS₁S₂=a:

δ(M) = n.a.xS

f₁⁰ +n.a.x f₂⁰

3- Formule de Fresnel :

La formule de Fresnel donne :

E(M) = 2E0

1 + cos2π λ0

n.a.x_S

f₁⁰ +n.a.x f₂⁰

Pour une position fixée de la sourceS on observe sur un écran des franges rectilignes àx=cte, et donc parallèles à l’axe y comme dans le cas précédent. Cependant ce sont les distances focales des lentilles qui interviennent en lieu est place de la distanceD précédente.

Remarque :

Dans l’étude précédente nous avons choisi de ne pas positionner la source primaire ponctuelleS en dehors de l’axe optique. On peut alors se demander l’effet d’une translation de la source le long d’un axe orthogonal à l’axe optique.

i- si on fixe S et donc xS et qu’on observe en différent point M et donc modifie x, notre oeil passe d’une frange

brillante à une frange sombre successivement.

ii- si on fixe M et donc x, et qu’on opère une translation S et donc modifie xS on remarque le même effet que précédemment. CependantM étant fixe sur l’écran c’est la figure d’interférence dans son ensemble qui est translatée.

Propriété:

Une translation de source primaire S sur un axe orthogonal à l’axe optique provoque une translation d’ensemble de la figure d’interférence.

II Description de la figure d’interférence

II.1 Ordre d’interférences et franges

En reprenant la formule de Fresnel dans un cas quelconque de sources cohérentes mais pas forcément de même amplitude nous avions obtenu :

E(M) = (E1+E2)

1 +Ccos2π.n.a.x λ0.D

Une étude précise de la figure d’interférence permet alors de retrouver un ensemble de paramètres caractéristique de la source primaire ou de l’ensemble des sources secondaires. Il nous faut alors des outils adaptés.

Définition:

On appelleordre d’interférencela grandeur notéeptelle que : p(M) =∆ϕ(M)

2.π = δ(M) λ₀

On remarque que l’ordre d’interférence peut-être interpréter comme le nombre de fois qu’est compté la longueur d’ondeλ0 dans la différence de marche. En effet on a tout autant :

δ(M) =p.λ₀

Utilisant l’expression de la différence de marche dans le cas de trous d’Young à grande distance d’un écran d’ob- servation :δ(M) = n.a.x

D et la définition de l’ordre d’interférence donne : E(M) = (E1+E2) (1 +Ccos(2π.p(M)))

La condition d’interférence constructive donne : cos(2π.p(M)) = 1 et donc 2π.p(M) = 2.k.π: p(M) =k avec k∈Z

La condition d’interférence destructive donne : cos(2π.p(M)) =−1 et donc 2π.p(M) =π+ 2.k.π p(M) =k+1

2 avec k∈Z Propriété:

L’éclairement sur l’écran est constant pour p(M) = cte. Alors une frange d’interférence est définit par un ordre p(M) =cte.

Lesinterférences sont constructivessi la frange est brillante et sil’ordre d’interférence et un entier relatif p(M) =k avec k∈Z

Lesinterférences sont destructivessi la frange est sombre et sil’ordre d’interférence est un demi-entrier p(M) =k+1

2 avec k∈Z

x y

p = 0 p = 1 p = 2 p = -1

p = -2 p = -3

p=1/2 p=3/2 p=5/2 p=-1/2

p=-3/2 Remarque:

i-la frange d’ordrep= 0 est une frange brillante elle se trouve enx= 0, en effet :

p(M) = δ(M) λ0

=n.a.x λ0.D

Doncp(M) = 0 six= 0. On peut alors déterminer les positions de franges d’ordre successifs.

Pour l’ordre 0 la différence de marche est nulle, et pour l’ordre 1 la différence de marche est égale à la longueur d’onde dans le videλ₀ ainsi de suite.

ii-Comme chaque frange est caractérisée par une positionxet un ordrepon peut indiquer en indice de la position de la frange d’interférence l’ordre :xp=p.λ0.D

n.a . iii-l’ordre d’interférence peut être positif ou négatif.

Interprétation en terme de train d’onde

S

S1

S₂

Ecran D

ordre 0 ordre 1 ordre 2

Reprenons le schéma des trous d’Young à grande distance de l’écran d’observation. Considérons un train d’onde de longueur d’onde λ0 partant de la source primaire, sa longueur est lc la longueur de cohérence. Ce train d’onde traverse les deux trous d’Young. On se demande alors ce qui signifie en terme de train d’onde que l’ordre d’interférence est 0, 1 ou 2.

SourceS enM ordre 0 enM ordre 1 enM ordre 2

lc lc lc lc

La source émet un train d’onde avec une longueur d’onde λ et une longueur de cohérence l_c. Passant par les trous d’Young on va le faire interférer avec lui même. On parlera alors de 2 trains d’onde.

A l’ordre 0 les deux trains d’onde ont parcouru le même chemin optique. Ar- rivé enMil n’existe pas de différence de marche entre eux. Ils se superposent sur toute leur longueurl_c.

A l’ordre 1 le train d’onde passant par le chemin (SS₂M) a parcouru une distance plus longue. Il ar- rive alors avec un retard sur celui ayant parcouru (SS₁M). La différence de chemin parcouru est δ = λ0.

A l’ordre 2 on a le même raison- nement, mais cette fois-ci le train d’onde ayant parcouru (SS₂M) a vu son chemin allongé de 2λ₀.

Remarque :

De façon qualitative on remarque qu’il va exister un ordreptel queδ(M)> lcalors dans ce cas les deux trains d’onde (issu d’un unique) ne vont plus se superposer. Dans ce cas on observera sur l’écran un éclairement uniforme, mais plus d’interférences.

Propriété:

Il existe une valeur limite de la différence de marche δ(M) pour laquelle il n’est plus possible d’observer d’inter- férences. Si δ(M) > l_c longueur de cohérence de la source primaire, alors le terme d’interférence s’annule. Avec lc = λ²₀

∆λ on obtient le critère :

p > λ0

∆λ

II.2 Interfrange

i

La figure d’interférence donnée par un système de trous d’Young est périodique.

Définition:

On appelle interfrange notée i la période spatiale de la figure d’interférence.

L’expression de l’interfrange est donnée par la distance entre deux franges d’ordre successif :

xp=p.λ0.D

n.a et xp+1= (p+ 1)λ0.D n.a

Par définition l’interfrange s’exprime :i=xp+1−xp, en développant le calcul :

i = (p+ 1)λ0.D

n.a −p.λ0.D n.a i = λ0.D

n.a Propriété:

Dans le cas d’un système de trous d’Young l’interfrange est donnée par : i=λ0.D

n.a Remarque :

Tout comme l’ordre d’interférence, l’interfrange est un outil fondamentale de description de la figure d’interférence : i-iaugmente avec la distanceDd’observation de la figure d’interférence. Dans le cas d’une observation au foyer d’une lentille :i= λ₀.f⁰

n.a , il faut alors choisir une lentille de grande distance focale pour augmenter l’interfrange.

ii-Pour tout autre paramètres laissés constant, la mesure de l’interfrange permet de déterminer la valeur de la longueur d’onde des sources cohérentes.

λ₀= 450 nm λ₀= 550 nm λ₀= 650 nm

i= λ0.D

a = 1,8 cm i= λ0.D

a = 2,2 cm i=λ0.D

a = 2,6 cm

II.3 Exemple

S = F z

M S₁

S₂ f'

D a

e L

A' B'

A B

x

Considérons le montage des trous d’Young tel qu’un morceau de spath (cristal transparent) de forme parallélépipède rectangle d’épaisseureet d’indicen > nair. Le but de l’expérience est de mesurer l’indice optiquendu spath.

On cherche l’expression de l’éclairement en un pointM d’un écran d’observation à grande distanceDaetDxdu système des trous d’Young. Sous l’hypothèse que les amplitudes des ondes ponctuelles monochromatiques secondaires S1 etS2la formule de Fresnel donne :

E(M) = 2E0

1 + cos2π.δ(M) λ0

Afin d’éviter que le rayons traversant le spath soit incliné on place la source primaire ponctuelle monochromatiqueS au foyer principale objet de la lentilleL.

Il suffit comme précédemment de déterminer la différence de marche enM. Classiquement : δ(M) = (SM)₂−(SM)₁

δ(M) = (SS2) + (S2M)−(SS1)−(S1M) δ(M) = (SS2)−(SS1) + (S2M)−(S1M)

La partie (S2M)−(S1M) a déjà été calculé précédemment par un développement limité, on obtient de la même façon :

(S2M)−(S1M) = nair.a.x D

Mais il faut prendre garde à la partie avant les trous d’Young. Le rayon lumineux passant par S₁ traverse de l’air tandis que le rayon passant parS₂ traverse le spath. Il nous faut décomposer le chemin optique encore une fois :

(SS2)−(SS1) = (SA) + (AB) + (BS2)−(SA⁰)−(A⁰B⁰)−(B⁰S1) (SS₂)−(SS₁) = (AB)−(A⁰B⁰)

(SS2)−(SS1) = e(n−nair)

Finalement :δ(M) =e(n−nair) +n_air.a.x

D et la formule de Fresnel donne : E(M) = 2E0

1 + cos2π λ₀

e(n−nair) +nair.a.x D

Comme l’éclairement est uniquement une fonction de la coordonnéex sur l’écran la figure d’interférence est une succession de franges rectilignes sombres et brillantes parallèle à l’axe Oy. Cependant l’introduction du morceau de spath sur un bras de l’interféromètre à trous d’Young n’a pas qualitativement modifié la figure d’interférence. En effet si on calcul l’interfrange on a dans un premier temps l’ordrep(M) :

p(M) = δ(M) λ0

=

e(n−n_air) +n_air.a.x D λ0

Ce qui donne pourxp etxp+1 : xp=

p−e(n−nair) λ₀

λ0.D

n_air.a ; xp+1=

(p+ 1)−e(n−nair) λ₀

λ0.D n_air.a L’interfrange s’exprime alors :i=n_air.λ₀.D

a .

La présence du morceau de spath ne modifie pas l’interfrange, donc cette mesure ne permet de mesurern. Cependant on sait que chaque frange d’interférence est attachée à un ordre donné. Cherchons la position de la frange d’ordre p= 0 :

x0=−e(n−nair) D n_air.a

Initialement (sans la présence du morceau de spath) la position de la frange d’ordre 0 était :x⁰₀= 0. L’introduction du spath a réalisé une translation de l’ensemble de la figure d’interférence vers la bas de l’écran :x0<0.

La mesure de cette position de la frange d’ordre 0 permet de remonter à la valeur den: n=

n_air.a.x₀ D.e

+n_air Remarque :

Il faut se rendre compte qu’il existe cependant une difficulté technique à cette mesure. La source primaire étant mo- nochromatique il est impossible avec une telle source de distinguer la frange d’ordre 0 des autres.

On utilise alors une source avec une faible longueur de cohérence.

III Perte de cohérence

III.1 Perte de cohérence spatiale

S

S'

S1

S2

M

z x

h a

d D

Considérons dans un premier temps deux points sourcesSet S⁰ physiquement indépendants, émettant chacun une onde sphérique de même longueur d’onde :

s(P, t) =s₀(P).cos(ω.t−ϕ(P)) s⁰(P, t) =s₀(P).cos(ω.t−ϕ⁰(P)) On cherche à décrire la figure d’interférence observée sur un écran placé à grande distance D a d’un système de trous d’YoungS1 etS2éclairés par les deux sourcesS etS⁰.

Comme ces deux sources sont physiquement indépendantes, elles ne sont pas cohérentes entre elles. L’éclairement enMpoint de l’écran repéré par ses coordonnées (x, y, D) est :

Etot(M) =E(M) +E⁰(M)

En revanche chacun des éclairements individuel est donné par la formule de Fresnel : E(M) = 2E₀

1 + cos2π.δ(M) λ0

E⁰(M) = 2E₀

1 + cos2π.δ⁰(M) λ0

Il suffit de calculer les différences de marche δ(M) et δ⁰(M). Pour ceci on procède avec la même méthode que précédemment. Choisissons de commencer par la sourceS :

δ(M) = (SM)2−(SM)1

δ(M) = (SS2) + (S2M)−(SS1)−(S1M) δ(M) = (SS₂)−(SS₁) + (S₂M)−(S₁M)

Nous avons déjà effectué le calcul de la différence de chemin optique : (S2M)−(S1M) = n.a.x

D . Le calcul de la première partie de la différence de marche peut se faire à partir des coordonnées :

S =

h 2 0

−d

; S1=

a 2 0 0

; S2=

−a 2 0 0 Ce qui donne pour chacun des distances :

SS2= s

d²+ −a

2 −h 2

2

SS1= s

d²c+ a

2−h 2

2

Puis comme précédemment on cherche à faire apparaitre une petite quantité pour appliquer un développement limité à l’ordre 2 en a

d :

SS2=d.

r

1 + (−a/2−h/2)²

d² SS1=d.

r

1 + (a/2−h/2)² d² SS2≈d.

1 + 1

2

(−a/2−h/2)² d²

SS2≈d.

1 + 1

2

(a/2−h/2)² d²

Finalement on obtient :SS₂−SS₁=a.h

2d et la différence de marche depuisS : δ(M) = n.a.h

2d +n.a.x D De la même façon :

δ⁰(M) =−n.a.h

2d +n.a.x D L’éclairement totale en un pointM de l’écran s’écrit alors :

Etot= 2E0

1 + cos2π λ₀.

n.a.h

2d +n.a.x D

+ 2E0

1 + cos2π λ₀.

−n.a.h

2d +n.a.x D

On reconnait ici une somme de cosinus qui peut se factoriser : cosa+ cosb= 2 cosa+b

2 cosa−b

2 ce qui donne : Etot= 4E0

1 + cosπ.n.a.h

λ₀.d .cos2π.n.a.x λ₀.D

Propriété:

Dans le cas où les trous d’Young sont éclairés par deux sources ponctuelles monochromatique de même longueur d’ondeλ₀mais physiquement indépendante on peut exprimer l’intensité lumineuse sur un écran à grande distance des trous :

E_tot= 4E₀

1 +Ccos2π.n.a.x λ0.D

avecC= cosπ.n.a.h

λ0.d est appelé visibilitéet|C|est appelécontrastede la figure d’interférence.

Etudions différente configuration des sourcesS etS⁰, notamment l’influence de la distance entre les deux sources h:

h= 0 mm h= 3 mm h= 5 mm

La modification dehfait bien évoluer la visibilité de la figure d’interférence, et on remarque qu’il existe une valeur dehpour laquelle on n’observe plus de figure d’interférence mais un éclairement uniforme sur tout l’écran.

Définition:

On appellebrouillagele fait de ne plus observer la figure d’interférence sur l’écran mais un éclairement uniforme.

Il s’agit de la configuration pour laquelle le terme de visibilité est nul.

Remarques :

i-Dans la configuration choisie on trouve le premier brouillage pour h= 5 mm. De façon plus formel on trouveC= 0 pourh= λ0.d

2.n.a.

Connaissant tous les paramètres physiques saufhl’observation du premier brouillage (par variation deapar exemple) permet de retrouver cette valeur de h distance entre S et S⁰. Cette technique peut être utilisé en astronomie pour mesurer la distance entre les deux composantes d’une étoile double (méthode de Fizeau).

ii- On constante également que pour h >5 mm la figure d’interférence retrouve une visibilité non nul, mais comme C < 0 on parle d’inversion de contraste. Aux positions ultérieurs des franges brillantes on trouvera des franges sombres.

iii- Sur les figures précédente on remarque qu’il y a brouillage lorsque les franges brillante produite par une source

primaireSpar exemple, se trouvent aux mêmes positions que les franges sombres produites par la source primaireS⁰. Ce phénomène permet d’extraire un critère semi-quantitative de brouillage de la figure d’interférence. Notons pS(M) et pS⁰(M) les ordres d’interférences au point M de l’écran des franges données par S et parS⁰ après passage des ondes par les trous d’Young.

Les observations précédentes permettent de conclure qu’il y a brouillage si :

|pS(M)−pS⁰(M)|=1 2 Propriété:

Pour deux sources ponctuelles monochromatique physiquement indépendante il y a brouillage de la figure d’inter- férence si :

|pS(M)−pS⁰(M)|=1 2

Comment peut-on exploiter ce critère pour étudier la figure d’interférence produite par une source étendue, c’est- à-dire constituée d’une infinité de point source primaire mais d’extension finie ?

h

z x

S

M

O

D S1

S2

a

d X

Considérons une source étendue de taillehsuivant l’axeOX parallèle à l’axe des trous d’Young. Un point de la source notéS produit sur l’écran d’observation une figure d’interférence dont l’éclairement est décrit par :

ES(M) = 2E0

1 + cos2π λ0

n.a.X

d +n.a.x D

Chaque point sourceS de cette source étendue contribue à l’éclairement totale de sorte que l’éclairement Etot(M) soit la superposition des éclairements : chaque point étant physique- ment indépendant des autres.

De l’étude du cas précédent on tire le critère de visibilité de la figure d’interférence : Propriété:

La figure d’interférence produite par un système de trous d’Young éclairé par une source monochromatique étendue de taille hest visible si le réseau de franges produit par les bords de la source et décalée de moins d’une moitié d’interfrange du réseau de franges produit par le centre de la source soit :

|p_S=h/2(M)−pS=0(M)|< 1 2 L’exploitation de ce critère dans notre cas donne :

|p_S=h/2(M)−pS=0(M)| = n.a.h

2.dλ₀+n.a.x

D.λ₀ −n.a.x D.λ₀

|p_S=h/2(M)−p_S=0(M)| = n.a.h 2.dλ0

Et finalementh < λ0.d n.a

Définition:

On appellelongueur de cohérence spatiale de l’interféromètre, la grandeur notél_s, longueur maximale que doit avoir une source pour produire une figure d’interférence visible à travers le dispositif des trous d’Young.

ls=λ0.d n.a c’est une caractéristique de l’interféromètre.

III.2 Perte de cohérence temporelle

On s’intéresse maintenant à l’effet d’une source non mono- chromatique sur la figure d’interférence produite pr les trous d’Young. Considérons alors une source ponctuelle S dont le spectre est constitué deux de raies de longueur d’onde λ1

et λ2 dans le vide telles que ∆λ = λ2 − λ1 > 0. On note λ0 = λ2+λ1

2 la longueur d’onde moyenne et ∆λ λ0.

On peut considéré que cette source est constitué de deux points si- tués au même lieux mais émettant deux ondes de longueur d’onde dif- férente. L’éclairement sur un écran loin du dispositif des trous d’Young

et alors la superposition des éclairement dus à chaque longueur d’onde. Pour plus de simplicité et sans retirer aucune généralité on supposera que chaque raie possède une amplitude identique. On dispose alors des vibrations suivante pour chaque raie :

s₁(P, t) =s₀(P) cos

ω₁.t−2π.(SP) λ1

s₂(P, t) =s₀(P) cos

ω₂.t−2π(SP) λ2

Chaque onde donne un éclairement :Ei(M) = 2.E0(M)

1 + cos2πδ(M) λi

pouri∈ {1,2}. L’éclairement résultant s’écrit alors :

Etot(M) = E1(M) +E2(M) Etot(M) = 2.E0(M)

1 + cos2πδ(M) λ1

+ 2.E0(M)

1 + cos2πδ(M) λ2

Etot(M) = 2E0(M)

2 + cos2πδ(M) λ1

+ cos2πδ(M) λ2

Etot(M) = 4E0(M)

1 + cosπδ(M) 1

λ₁ − 1 λ₂

×cosπδ(M) 1

λ₁ + 1 λ₂

On peut simplifier cette écrire en utilisantλ₀ et ∆λ: 1

λ₁ − 1

λ₂ = λ2−λ1

λ₁.λ₂ 1 λ₁+ 1

λ₂ = λ1+λ2

λ₁.λ₂

Or par définition on aλ2=λ0+∆λ

2 etλ1=λ0−∆λ 2 . Par suite :

λ2+λ1= 2λ0 λ1.λ2≈λ²₀

On reste à l’ordre 1 en ∆λ

λ₀ . Finalement on obtient : Etot(M) = 4E0(M)

1 + cos

πδ(M).∆λ λ²₀

.cos

2πδ(M) λ₀

Propriété:

Dans le cas d’un système de trous d’Young éclairé par une source ponctuelle primaire émettant un doublet, l’éclai- rement sur un écran loin des trous d’Young peut s’écrire sous la forme :

Etot(M) = 4E0(M)

1 +Ccos

2πδ(M) λ0

avecC= cos

πδ(M).∆λ λ²₀

le terme de visibilité ou de contraste.

La figure d’interférence faire apparaitre des zones d’annulation du contraste appeléeanti-coïncidence.

On détermine la position des ces anti-coïncidence en étudiant la situation où :C= 0 : δ(M) =

k+1

2 λ²₀

∆λ k∈N Propriété:

Dans le cas d’une source ponctuelle émettant un doublet les anti-coïncidences correspondent aux cas où la différence de marche est un demi-entier de la longueur de cohérence de la source :

δ(M) =

k+1 2

.l_c

en effetlc= λ²₀

∆λ

On cherche comme avec la source étendue un critère sur l’ordre d’interférence :p(λ₁) = δ λ1

= λ²₀ 2.∆λ.λ1

etp(λ₂) = δ

λ2

= λ²₀ 2.∆λ.λ2

ce qui donne pourk= 1 première anti-coïncidence : p(λ₁)−p(λ₂) = λ²₀

2.∆λ 1

λ1

− 1 λ2

p(λ1)−p(λ2) = 1 2

Propriété:

Dans le cas d’une source ponctuelle émettant un spectre continu de largeur spectrale ∆λ et de longueur d’onde moyenneλ0, on noteλmax=λ0+∆λ

2 .

On peut appliquer le critère semi-quantitatif pour savoir si la figure d’interférence peut être observé. Il suffit que :

|p(λmax)−p(λ)|<1 2 avecp(λ) l’ordre d’interférence pour la longueur d’ondeλ.

Propriété:

Dans le cas d’une source non monochromatique il est nécessaire que δ(M)< lc c’est-à-dire que la différence de marche soit plus petite que la longueur d’un train d’onde pour observer la figure d’interférence avec une bonne visibilité.

On retrouve le critère établi plus haut.

Propriété:

De façon générale toute perte de cohérence spatiale ou temporelle (spectre non monochromatique), s’accompagne d’une perte de visibilité (contraste) de la figure d’interférence.